2015-2016学年高一数学人教A版必修一课件第1章1.2.1《函数的概念》_图文

自 主 学 习 · 基 础 知 识





1.2

函数及其表示

警 示

·

1.2.1 函数的概念

规 范





[学习目标] 1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖

合 关系的重要数学模型.能用集合与对应的语言刻画出函数,

作 探

体会对应关系在刻画数学概念中的作用.(重点、难点)2.了







· 解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域(重 作





难 疑

点).3.能够正确使用区间表示数集.(易混点)



? 一、函数的有关概

? 二、两个函数相等的条件 ? 1.定义相域同 _____;
对应关系
? 2.__________完全一致.

? 三、区间的概念及表示

? 1.一般区间的表示

?

设定义a,b∈R名,称且a<符b号,规定数轴如表下示:

{x|a≤x≤b} 闭区间 [_a_,___b_]_

{x|a<x<b} 开区间 (_a_,___b_)_

{x|a≤x<b}

半开半 闭区间

[_a_,___b_)_

{x|a<x≤b}

半开半 闭区间

(_a_,___b_]_

? 2.特殊区间的表示

定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a}

符号

(-∞, +∞)

[a,+∞)

(a,+ ∞)

(-∞, a]

(-∞,a)

? 1.判断(正确的打“√”,错误的打 “×”) ? (1)函数的定义域和值域一定是无限集 合.( ) ? (2)根据函数有定义,定义域中的一个x 可以对应着不同的y.( ) ? (3)f(a)表示当x=a时函数f(x)的值,是一

2.已知 f(x)= x+1,则 f(3)=( )

? A.2

B.4

D.【解10析】 ∵f(x)= x+1,

∴f(3)= 3+1=2.

【答案】 A

C . ±6

3.函数 f(x)= 1-1 2x有定义域是________(用区间表

示).

【解析】 由题意,需 1-2x>0,解得 x<12.

故 f(x)的定义域为???-∞,12???.

【答案】

???-∞,12 ???

4.集合???x???1<x≤10???用区间表示为________. 【解析】 集合???x???1<x≤10???用区间表示为(1,10]. 【答案】 (1,10]

? 预习完成后,请把你认为难以解决的问 题记录在下面的表格中
问题1 问题2 问题3 问题4

(1)(2014·长沙高一检测)设 M=???x???-2≤x≤2???,N= ???y???0≤y≤2???,函数 y=f(x)的定义域为 M,值域为 N,对于 下列四个图象,可作为函数 y=f(x)的图象为( )

? (2) 下 列 函 数 中 , f(x) 与 g(x) 相 等 的 是 ( A.)f(x)=x,g(x)=( x)2
B.f(x)=x,g(x)= x2 C.f(x)=x+2,g(x)=xx2--24
D.f(x)=x,g(x)=3 x3

? (3)判断下列对应是否为函数.
①A=R,B=R,f:x→y=x12; ②A=N,B=R,f:x→y=± x; ③A=N,B=N*,f:x→y=|x-2|; ④A={1,2,3},B=R,f(1)=f(2)=3,f(3)=4.

? 【解析】 (1)由函数定义可知任意作 一条直线x=a与函数图象至多有一个交点, 故选由项题设C定错义误域.中有元素-2,2 知选项 A 错误.由值
域为???y???0≤y≤2???知选项 B 错误. (2)对于 A,f(x)=x 的定义域为 R,g(x)=( x)2 的定
义域为???x???x≥0???,两函数的定义域不相同,所以不是相等 函数;对于 B,g(x)= x2=|x|,与 f(x)=x 的对应关系不 相同,所以不是相等函数;对于 C,

g(x)=xx2--24=x+2(x≠2),与 f(x)=x+2 的定义域不
同,所以不是相等函数;对于 D,g(x)=3 x3=x,与 f(x)=x 的对应关系和定义域都相同,所以是相等函
数,故选 D.

? 【答案】 (1)D (2)D
(3)①因为 A=R,B=R,对于 A 中的元素 x=0,在 对应关系 f:x→y=x12之下,在 B 中没有元素与之对应, 因而不能构成函数.
②对于 A 中的元素,如 x=9,y 的值为 y=± 9=±3, 即在对应关系 f 之下,B 中有两个元素与之对应,不符合 函数定义,故不能构成函数.

? ③对于A中的元素x=2,在对应关系f的 作 用 下 , |2 - 2| = 0?B , 从 而 不 能 构 成 函 数.
? ④依题意,f(1)=f(2)=3,f(3)=4,即A 中的每一个元素在对应关系f之下,在B中都 有唯一的元素与之对应,虽然B中有很多元 素在A中无元素与之对应,但依函数的定义, 仍能构成函数.

? 1.判断一个对应关系是否为函数的步 骤: ? (1)判断A,B是否是非空数集; ? (2)判断A中任一元素在B中是否有元素 与之对应; ? (3)判断A是任一元素在B中是否有唯一 确定的元素与之对应.

? 求下列函数的定义域.
(1)f(x)=x-1 2;(2)f(x)= 3x+2;
(3)f(x)= x+1+2-1 x. 【思路探究】 解答本题可根据函数解析式的结构特 点,构造使解析式有意义的不等式(组),进而解不等式求 解.

【解】 (1)∵x≠2 时,分式x-1 2有意义,∴这个函 数的定义域是???x???x≠2???.
(2)∵3x+2≥0,即 x≥-23时,根式 3x+2才有意义, ∴这个函数的定义域是?????x???x≥-23?????. (3)∵要使函数有意义,必须?????x2+ -1x≥ ≠00??????xx≥ ≠- 2. 1,∴ 这个函数的定义域是???x???x≥-1且x≠2???.

? 1.求解析式给出的函数的定义域就是 求使函数表达式有意义的自变量的取值集 合.已知函数y=f(x): ? (1)若f(x)为整式,则定义域为R; ? (2)若f(x)为分式,则定义域是使分母不 为零的实数的集合; ? (3)若f(x)是偶次根式,那么函数的定义

? (4)若f(x)是由几个部分的数字式子构成 的,那么函数的定义域是使各部分式子都 有意义的实数的集合;
? 5.若f(x)是由实际问题列出的,那么函 数的定义域是使解析式本身有意义且符合 实际意义的实数的集合.

(2014·济宁高一检测)函数 y=2x2-1-3xx-2定义域为 ()
A.(-∞,1] B.(-∞,2] C.???-∞,12???∪???-12,1??? D.???-∞,-12???∪???-12,1???

【解析】 要使函数 y=2x2-1-3xx-2有意义,则
?????12- x2-x≥3x0-,2≠0,即?????xx≤ ≠1-,12且x≠2, 所以 x≤1 且 x≠-12,故选 D. 【答案】 D

? (1)已知函数f(x)的定义域为[1,3],求 函数
? f(2x+1)的定义域; ? (2)已知函数f(2x+1)的定义域为[1,3], 求函数f(x)的定义域. ? 【思路探究】 (1)函数f(2x+1)的自变 量是x,而非2x+1,解不等式1≤2x+1≤3即

? 【解】 (1)∵函数f(x)的定义域为[1, 3],即x∈[1,3],函数f(2x+1)中2x+1的范 围与函数f(x)中x的范围相同, ? ∴2x+1∈[1,3],∴x∈[0,1], ? 即函数f(2x+1)的定义域是[0,1]. ? (2)∵x∈[1,3],∴2x+1∈[3,7], ? 即函数 f(x)的定义域是[3,7].

? 若已知f(x)的定义域为[a,b],则f(g(x)) 的定义域可由a≤g(x)≤b求出;若已知f(g(x)) 的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在 x∈[a,b]时的值域.

? 已知函数f(x)的定义域为(0,1),则f(2x) 的定义域为__________.
【解析】 因为 f(x)的定义域为(0,1),所以要使 f(2x) 有意义,须使 0<2x<1,即 0<x<12,所以函数 f(2x)的 定义域为?????x???0<x<12?????.
【答案】 ???0,12???

已知

f(x)



1 1+x

(x∈R





x≠ - 1) , g(x) = x2 +

2(x∈R).

? (1)求f(2),g(2)的值;

? (2)求f[g(3)]的值.

【 思 路 探 究 】 (1) 令x=2代入f(x),g(x) → 得出f(2),g(2)
(2) 求g(3) → 求f[g(3)]

【解】 (1)∵f(x)=1+1 x,∴f(2)=1+1 2=13, 又∵g(x)=x2+2,∴g(2)=22+2=6. (2)g(3)=32+2=11,∴f[g(3)]=f(11)=1+111=112.

? 1.f(x)表示自变量为x的函数,如f(x)= 2x,而f(a)表示的是当x=a时的函数值,如 f(x)=2x中f(3)=2×3=6.
? 2.求f{f[f(x)]}时,一般要遵循由里到外 的原则.

? 在题设条件不变的情况下,求g[f(3)]的 值【.解】 ∵f(3)=1+1 3=14,
∴g[f(3)]=g???14???=???14???2+2=3136.

? 1.函数的本质:两个非空数集间的一 种确定的对应关系.由于函数的定义域和 对应关系一经确定,值域随之确定,所以 判断两个函数是否相等,只须两个函数的 定义域和对应关系一致即可.
? 2.f(x)是函数符号,f表示对应关系, “y=

? 3.对于用关系式表示的函数.如果没 有给出定义域,那么就认为函数的定义域 是指使函数表达式有意义的自变量取值的 集合,这是求某函数定义域的依据.

? 相等函数判断中的误区 ? 下列各组函数相等函数的是( )
A.y=x+1 与 y=xx2--11 B.y=|x|+1 和 y=(x-1)2+1 C.y=2x 和 y=2x(x≤0) D.y=x2+1 和 y=t2+1

【易错分析】 易失分点一:忽视函数定义域,误 认为 y=xx2--11=x+1,而误选 A.
易失分点二:忽视对应关系,误认为定义域和值域 相同就是相等函数,而误选 B.

? 【防范措施】 1.判断函数相等时,对 较为复杂的函数解析式的化简要慎重,注 意其等价性,本例对选项A中第二个函数解 析式的化简易把定义域扩大,由解析式相 同而误认为是相等函数.
? 2.定义域相同,并且对应关系完全一 致的两个函数才相等.

【解析】 A 错误,由于函数 y=xx2--11中要求 x- 1≠0,即 x≠1,故两个函数的定义域不同,故不表示相 等函数.
? B错误,虽然定义域和值域相同,但对 应关系不相同,因而不是相等函数. ? C错误,显然定义域不同,因此不是相 等函数. ? D正确,虽然表示自变量的字母不同,

? [类题尝试]

? 下列各组中的两个函数为相等函数的是
A.f(x)= x+1· x-1,g(x)= (x+1)(x-1)
()
B.f(x)=( 2x-5)2,g(x)=2x-5

C.f(x)=x12-+x1与 g(x)=x12++x1

( D.f(x)=

xx)4与 g(t)=????

t ??2 t??

【解析】 A 中,f(x)= x+1· x-1的定义域为 {x|x≥1},g(x)= (x+1)(x-1)的定义域为{x|x≥1 或 x≤-1},它们的定义域不相同;B 中,f(x)=( 2x-5)2 的定义域为?????x???x≥52?????,g(x)=2x-5 的定义域为 R,定义域 不同,不是相等函数.

C 中,f(x)=x12-+x1与 g(x)=x12++x1的对应关系不同, 不相等.D 中,f(x)=( xx)4=x(x>0)与 g(x)=???? tt????2=t(t >0)的定义域与对应关系都相同,它们相等.
【答案】 D


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