高三数学北师大版(文)复习讲义第1章 第3节 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”

第三节 全称量词与存在量词、逻辑联结词 “且”“或”“非”
[考纲传真] 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词 与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

1.全称量词与全称命题

(1)“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围

内,表示整体或全部的含义,这样的词叫作全称量词.

(2)含有全称量词的命题,叫作全称命题.

2.存在量词与特称命题

(1)“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的

含义,这样的词叫作存在量词.

(2)含有存在量词的命题,叫作特称命题.

3.全称命题和特称命题的否定

命题

命题的否定

任意 x∈M,p(x)

﹁ 存在 x∈M, p(x)

存在 x∈M,p(x)

﹁ 任意 x∈M, p(x)

4.简单的逻辑联结词

(1)常用的简单的逻辑联结词有“且”“或”“非”.

﹁ (2)命题 p 且 q,p 或 q, p 的真假判断

p

q

p且q

p或q

﹁ p









































[常用结论]

1.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律:

(1)p 或 q:有真则真.

(2)p 且 q:有假则假. ﹁
(3)p 与 p:真假相反.

2.含一个量词的命题的否定的规律是“改量词,否结论”.

﹁﹁

﹁﹁

3.命题 p 且 q 的否定是“ p 或 q”;命题 p 或 q 的否定是“ p 且 q”.

[基础自测]

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)命题“5>6 或 5>2”是假命题.

()

﹁ (2)命题 (p 且 q)是假命题,则命题 p,q 中至少有一个是假命题. ( )

(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.

()

(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”.

()

[解析] (1)错误.命题 p 或 q 中,p,q 有一真则真.

(2)错误.p 且 q 是真命题,则 p,q 都是真命题.

(3)错误.命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相

等”,是全称命题.

(4)错误.“对顶角相等”是全称命题,其否定为“有些对顶角不相等”.

[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×

﹁﹁ 2.(教材改编)已知 p:2 是偶数,q:2 是质数,则命题 p, q,p 或 q,p

且 q 中真命题的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

﹁﹁ B [p 和 q 显然都是真命题,所以 p, q 都是假命题,p 或 q,p 且 q 都

是真命题.] 3.下列命题中的假命题是( ) A.任意 x∈R,2x-1>0 B.任意 x∈N*,(x-1)2>0 C.存在 x∈R,lg x<1 D.存在 x∈R,tan x=2 B [对于 B,当 x=1 时,(x-1)2=0,故 B 项是假命题.] 4.命题:“存在 x∈R,x2-ax+1<0”的否定为________. 任意 x∈R,x2-ax+1≥0 [因为特称命题的否定是全称命题,所以命题“存
在 x∈R,x2-ax+1<0”的否定是“任意 x∈R,x2-ax+1≥0”.] 5.若命题“任意 x∈R,ax2-ax-2≤0”是真命题,则实数 a 的取值范围
是________. [-8,0] [当 a=0 时,不等式显然成立.
??a<0, 当 a≠0 时,依题意知?
??Δ=a2+8a≤0,
解得-8≤a<0.
综上可知-8≤a≤0.]

含有逻辑联结词的命 题及真假判断

1.在一次跳伞训练中,甲、乙两名学员各跳一次,设命题 p:甲降落在指

定范围.q:乙降落在指定范围.则命题“至少有一名学员没有降落在指定范围”

可表示为( )

﹁﹁ A.( p)或( q)

﹁ B.p 或( q)

﹁﹁ C.( p)且( q)

D.p 且 q

﹁ A [ p:甲没有降落在指定范围,

﹁ q:乙没有降落在指定范围.

﹁﹁ 则“至少有一名学员没有降落在指定范围”可表示为( p)或( q),故选 A.]

﹁ 2.若命题“p 或 q”是真命题,“ p”为真命题,则( )

A.p 真,q 真

B.p 假,q 真

C.p 真,q 假

D.p 假,q 假

﹁ B [命题“p 或 q”是真命题,则 p 或 q 至少有一个真命题,又“ p”是真

命题,则 p 是假命题,从而 q 一定是真命题,故选 B.]

3.(2019·泰安模拟)已知命题 p:任意 x>0,ln(x+1)>0;命题 q:若 a>b,

则 a2>b2.下列命题为真命题的是( )

A.p 且 q

﹁ B.p 且( q)

﹁ C.( p)且 q

﹁﹁ D.( p)且( q)

B [∵x>0,∴x+1>1,∴ln(x+1)>ln 1=0.

﹁ ∴命题 p 为真命题,∴ p 为假命题.

∵a>b,取 a=1,b=-2,而 12=1,(-2)2=4,此时 a2<b2, ﹁
∴命题 q 为假命题,∴ q 为真命题.





﹁﹁

∴p 且 q 为假命题,p 且 q 为真命题, p 且 q 为假命题, p 且 q 为假

命题.故选 B.] ﹁
[规律方法] “p 且 q”“p 或 q”“ p”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式. (2)判断其中命题 p,q 的真假.

(3)依据“或”——一真即真,“且”——一假即假,“非”——真假相反, ﹁
来确定“p 且 q”“p 或 q”“ p”等形式命题的真假.
全称命题、特称命题
【例 1】 (1)(2019·武汉模拟)命题“存在 x∈(0,+∞),ln x=x-1”的否 定是( )
A.任意 x∈(0,+∞),ln x≠x-1 B.任意 x?(0,+∞),ln x=x-1 C.存在 x∈(0,+∞),ln x≠x-1 D.存在 x?(0,+∞),ln x=x-1 (2)下列命题中的假命题是( ) A.任意 x∈R,x2≥0 B.任意 x∈R,2x-1>0 C.存在 x∈N,sinπ2x=1 D.存在 x∈R,sin x+cos x=2 (1)A (2)D [(1)改变原命题中的二个地方即可得其否定,存在改为任意,
否定结论,即 ln x≠x-1,故选 A. (2)当 x∈R 时,x2≥0 且 2x-1>0,故 A、B 是真命题. 当 x=1 时,sinπ2x=1,故 C 是真命题. 由 sin x+cos x= 2sin???x+π4???≤ 2, 故 D 是假命题.]
[规律方法] 1.对全称(特称)命题进行否定的两步操作 (1)改写量词:找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量 词,再改变量词. (2)否定结论:对原命题的结论进行否定.

2.全称命题、特称命题的真假判断方法 (1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合 M 中的每个元素 x 验证 p(x)成立;但要判断全称命题是假命题,只要能找出集合 M 中的一个 x=x0,使 得 p(x0)不成立即可. (2)要判断一个特称命题是真命题,只要在限定集合 M 中,至少能找到一个 x=x0,使 p(x0)成立即可,否则,这一特称命题就是假命题.
(1)命题:“存在 x>0,使 2x(x-a)>1”,这个命题的否定是 ()
A.任意 x>0,使 2x(x-a)>1 B.任意 x>0,使 2x(x-a)≤1 C.任意 x≤0,使 2x(x-a)≤1 D.任意 x≤0,使 2x(x-a)>1 (2)下列命题中,真命题是( ) A.任意 x∈R,x2-x-1>0 B.任意 α,β∈R,sin(α+β)<sin α+sin β C.存在 x∈R,x2-x+1=0 D.存在 α,β∈R,sin(α+β)=cos α+cos β (1)B (2)D [(1)命题的否定为任意 x>0,使 2x(x-a)≤1,故选 B.
2
(2)因为 x2-x-1=???x-12??? -54≥-54,所以 A 是假命题.当 α=β=0 时,有 sin(α+β)=sin α+sin β,所以 B 是假命题.x2-x+1=
2
???x-12??? +34≥34,所以 C 是假命题.当 α=β=π2时,有 sin(α+β)=cos α+cos β,
所以 D 是真命题,故选 D.]
根据命题的真假求参数的取值 范围
【例 2】 (1)已知命题“存在 x∈R,使 2x2+(a-1)x+12≤0”是假命题,

则实数 a 的取值范围是( )

A.(-∞,-1)

B.(-1,3)

C.(-3,+∞)

D.(-3,1)

(2)已知 p:存在 x∈R,mx2+1≤0,q:任意 x∈R,x2+mx+1>0,若 p

或 q 为假命题,则实数 m 的取值范围为( )

A.m≥2

B.m≤-2

C.m≤-2 或 m≥2

D.-2≤m≤2

(1)B (2)A [(1)原命题的否定为任意 x∈R,2x2+(a-1)x+12>0,由题意知,

为真命题,

则 Δ=(a-1)2-4×2×12<0,

则-2<a-1<2,则-1<a<3,故选 B.

(2)依题意知,p,q 均为假命题.当 p 是假命题时,任意 x∈R,mx2+1>0

恒成立,则有 m≥0;当 q 是假命题时,则有 Δ=m2-4≥0,m≤-2 或 m≥2.

??m≥0, 因此,由 p,q 均为假命题得?
??m≤-2或m≥2, 即 m≥2,故选 A.]

[规律方法] 根据命题的真假求参数的取值范围的方法与步骤

(1)求出当命题 p,q 为真时所含参数的取值范围. (2)根据复合命题的真假判断命题 p,q 的真假性. (3)根据命题 p,q 的真假情况,利用集合的运算(并、交、补)求出参数的取 值范围.

(1)已知命题 p:任意 x∈[1,2],使得 ex-a≥0.若﹁p 是假命题,

则实数 a 的取值范围为( )

A.(-∞,e2]

B.(-∞,e]

C.[e,+∞)

D.[e2,+∞)

(2)已知命题 p:存在 x∈R,x2-ax+4=0;命题 q:关于 x 的函数 y=2x2 +ax+4 在[3,+∞)上是增函数,若 p 且 q 是真命题,则实数 a 的取值范围是 ________.
﹁ (1)B (2)[-12,-4]∪[4,+∞) [(1) p 是假命题,则 p 是真命题,当 x∈[1,2] 时,e≤ex≤e2,由题意知 a≤(ex)min,x∈[1,2],因此 a≤e,故选 B. (2)若 p 是真命题,则 Δ=a2-16≥0,解得 a≤-4 或 a≥4. 若 q 是真命题,则-a4≤3,即 a≥-12. 由 p 且 q 是真命题知,命题 p、q 均是真命题. 因此 a 的取值范围是[-12,-4]∪[4,+∞).]


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