最新经典试题系列--高考题选编(选择题,填空题部分)---导数与极限


高考题选编---导数与极限
一.选择题
1. (湖南卷)数列{ an }满足: a1 ?

1 ,且对于任意的正整数 m,n 都有 am?n ? am ? an ,则 3

lim(a1 ? a2 ? ? ? an ) ?
n ??

A.

1 2

B.

2 3

C.

3 2

D.2

解 : 数 列 {an } 满 足 : a1 ?

1 1 , 且 对 任 意 正 整 数 m, n 都 有 am? n ? am ? an a2 ? a1? 1 ? a 1 ? a 1 ? , 3 9

1 1 1 a1 1 an ?1 ? an ? a1 ? an , ∴数列 {an } 是首项为 , 公比为 的等比数列。lim ( a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? ? , n ? ?? 3 3 3 1? q 2
选 A. 1 lim 2.(陕西卷) n→∞ 等于 2 2n( n +1- n2-1) A. 1 1 B. 2 1 C.4
2 2

D.0

n ?1 ? n ?1 1 lim 解:n→∞ = lim 2 2 2n( n +1- n -1) n?? 2n( n 2 ? 1 ? n 2 ? 1)( n 2 ? 1 ? n 2 ? 1)

n2 ? 1 ? n2 ? 1 1 = lim ? ,选 B. n?? 4n 2
3. (四川卷)已知 f ( x) ? ?

?2 x ? 3 , x ? 1 ,下面结论正确的是 ? 2 , x ?1
(B) f (1) ? 5 (D) lim f ( x ) ? 2
x? 1

(A) f ( x ) 在 x ? 1 处连续 (C) lim? f ( x) ? 2
x? 1

解:已知 f ? x ? ? ?

?2 x ? 3, x ? 1 ,则 lim f ( x) ? lim f ( x) ? 5 ,而 f (1) ? 2 ,∴ 正确的结论 x ?1? x ?1? ? 2, x ? 1

是 lim f ? x ? ? 5 ,选 D. ?
x ?1

4. (江西卷)对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,若满足(x-1) f ?(x) ?0,则必有 A. f(0)+f(2)?2f(1) B. f(0)+f(2)?2f(1) C. f(0)+f(2)?2f(1) D. f(0)+f(2)?2f(1) 解:依题意,当 x?1 时,f?(x)?0,函数 f(x)在(1,+?)上是增函数;当 x?1 时,f?(x)?0, f(x)在(-?,1)上是减函数,故 f(x)当 x=1 时取得最小值,即有 f(0)?f(1) ,f(2)?f(1) ,故 选C 5. (全国II)过点(-1,0)作抛物线 y ? x ? x ? 1 的切线,则其中一条切线为
2

1

(A) 2 x ? y ? 2 ? 0

(B) 3x ? y ? 3 ? 0

(C) x ? y ? 1 ? 0

(D) x ? y ? 1 ? 0

2 解: y? ? 2 x ? 1 ,设切点坐标为 ( x0 , y0 ) ,则切线的斜率为 2 x0 ? 1 ,且 y0 ? x0 ? x0 ? 1 ,于是切线方

程为 y ? x0 ? x0 ?1 ? (2x0 ? 1)( x ? x0 ) ,因为点(-1,0)在切线上,可解得 x0 =0 或-4,代入可验正 D
2

正确。选 D 6.(浙江卷) f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 2 在区间 ??1,1? 上的最大值是 (A)-2 (B)0 (C)2 (D)4

解: f ?( x) ? 3x2 ? 6 x ? 3x( x ? 2) ,令 f ?( x) ?0 可得 x=0 或 2(2 舍去) ,当-1?x?0 时, f ?( x ) ?0, 当 0?x?1 时, f ?( x ) ?0,所以当 x=0 时,f(x)取得最大值为 2。选 C 7.(海、宁理 10)曲线 y ? e 2 在点 (4,e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 A.
1 x

9 2 e 2
1 x 2

B. 4e

2

C. 2e

2

D. e

2

1 2 1 1x 2 解: ? y? ? (e )? ? e 2 , 曲线在点 (4,e ) 处的切线斜率为 e ,因此切线方程 2 2
为 y?e ?
2

1 2 1 e ( x ? 4), 则切线与坐标轴交点为 A(2,0), B(0, ?e2 ), 所以: S?AOB ? | ?e 2 | ?2 ? e 2 . 2 2

8.(陕西理 11)f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf‘(x)+f(x)≤0,对任意正数 a、b,若 a<b, 则必有 A.af(b) ≤bf(a) B.bf(a) ≤af(b) C.af(a) ≤f(b) D.bf(b) ≤f(a) 解:设 F(x)=

f ( x) f ( x) xf ' ( x) ? f ( x) ' ? 0 ,故 F(x)= ,则 F ( x) ? 为减函数,由 a<b 2 x x x



f (a ) f (b) ? ? af (b) ? bf (a ) ,选 A a b

x2 1 ? 3ln x 的一条切线的斜率为2,则切点的横坐标为 9.(全国 2 理 8)已知曲线 y ? 4
(A)3 解:已知曲线 y ? 知,只能选 A。
2 10.(江苏 9)已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的导数为 f '( x) , f '(0) ? 0 ,对于任意实数 x 都有

(B) 2

(C) 1

1 (D) 2

1 3 1 x2 1 ? 3ln x 的一条切线的斜率为2, y ' ? x ? = ,解得 x=3 或 x=-2,由选择项 2 x 2 4

f ( x ) ? 0,则

f (1) 的最小值为 f '(0)

2

A. 3 解: f ' ( x) ? 2ax ? b
2

B.

5 2

C. 2

D.

3 2

f'(0) ? b ? 0 对于任意实数 x 都有 f ( x) ? 0 ,
2

? 得 a ? 0 b ? 4ac ? 0, b ? 4ac ? c ? 0,

f (1) a ? b ? c a ? c 2 ac ? ? ?1 ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 ,当取 a=c 时取 f ' (0) b b b

等号。选 C. 11.(福建文理 11)已知对任意实数 x 有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且 x>0 时,f’(x)>0,g’(x)>0,则 x<0 时 A f’(x)>0,g’(x)>0 B f’(x)>0,g’(x)<0 C f’(x)<0,g’(x)>0 D f’(x)<0,g’(x)<0 解:由已知 f(x)为奇函数,图像关于原点对称,在对称区间的单调性相同;g(x)为偶函数,在对称区间的单调 性相反, x>0 时 f’’(x)>0,g’ (x) >0,递增,当 x<0 时, f(x) 递增, f ’(x)>0; g(x)递减, g’(x)<0,选 B. 12.(江西理 11)设函数 f ( x ) 是 R 上以 5 为周期的可导偶函数,则曲线 y ? f ( x) 在 x ? 5 处的切线的斜 率为 A. ?

1 5

B. 0

C.

1 5

D. 5

解:因为 f ( x ) 是 R 可导偶函数,所以 f ( x ) 的图象关于 y 轴对称,所以 f ( x ) 在 x=0 处取得极值,即

f ' (0) ? 0 ,又 f ( x) 的周期为 5,所以 f ' (5) ? 0 ,即曲线 y ? f ( x) 在 x ? 5 处的切线的斜率 0,选 B.
二. 填空题
? 2 1 ? 3 2 3 l a 1. (安徽卷) 设常数 a ? 0 , ax ? 则i ( ? ? 展开式中 x 的系数为 2 , m a ?a ? ??? ?) n ?? x? ?
r 解: Tr ?1 ? C4 a 4?r x8?2 r x 1 ? r 2
4

n

? __________.

,由 x

8? 2 r

x

1 ? r 2

3 1 r ? x3 , 得r ? 2, 由C4 a 4? r = 知a= ,所以 2 2

1 lim(a ? a 2 ? ??? ? a n ) ? 2 ? 1 ,所以为 1。 n ?? 1 1? 2
2. (福建卷)如图,连结△ABC 的各边中点得到一个新的△A1B1C1,又连结的△A1B1C1 各边中点得到, 如此无限继续下去,得到一系列三角形:△ABC,△A1B1C1,△A2B2C2,…, 这一系列三角形趋向于一个点 M,已知 A(0,0) ,B(3,0),C(2,2), 则点 M 的坐标是__________. 解:如图,连结 ?ABC 的各边中点得到一个新的 ?A1B1C1 , 又连结

?A1B1C1 的各边中点得到 ?A2 B2C2 ,如此无限继续下去,得到一系列三
角形:?ABC ,?A B1C1 ,?A2 B2C2 ,... , 这一系列三角形趋向于一个点 M。 已知 A(0,0), B(3,0), C (2, 2), 1 则点 M 的坐标是 ?ABC 的重心,∴ M= ( , )

5 2 3 3

3

r 3.(湖北卷)将杨辉三角中的每一个数 Cn 都换成

1 ,就得到一个如下图所示的分数三角形,成为 r (n ? 1)Cn

莱布尼茨三角形,从莱布尼茨三角形可看出

1 1 1 ,其中 x ? __________.令 ? ? r x r (n ? 1)Cn (n ? 1)Cn nCn ?1
1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 42 1 30 1 105 1 20 1 60 1 140


1 1 1 1 1 1 ,则 lim an ? __________. an ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3 n ?? 3 12 30 60 nCn?1 (n ? 1)Cn

1 2 1 6 1 3 1 12 1 30 1 20 1 4 1 5

1 12

1 1 1 60 30 6 1 1 1 105 42 7

解:第一个空通过观察可得。

1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = =( - )= ? - ? = - - + 2 (n+1) n n(n+1) n-1) n n-1 n+1 ?C ? ( ? n n-1 n n+1 n-1 n n n+ 1 = 1 1 2 + - . n-1 n+1 n

1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 =(1+ -1)+( + - )+( + - ) an ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 3 2 4 3 3 5 4 3 12 30 60 nCn?1 (n+ Cn 1)
+(

1 1 2 1 1 1 1 1 2 + - )+…+( + - )+( + - ) 4 6 5 n-2 n n-1 n-1 n+1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + +…+ )+( + + + +…+ )-2( + +…+ ) 2 3 n-1 3 4 5 6 n+1 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + +…+ )-( + +…+ ) 〕+〔 ( + + + +…+ ) 2 3 n-1 2 3 n 3 4 5 6 n+1

=(1+

=〔 (1+

-(

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + +…+ ) 〕=1- + - = + - ,所以 lim an ? n ?? 2 3 n n n+1 2 2 n+1 n 2
4

4. (江西卷)数列{

1 }的前 n 项和为 Sn,则 lim Sn=__________. n?? 4n 2-1

1 1 1 1 1 = =( - ) ,故 Sn=a1+a 2+…+a n 2 4n -1 (2n-1) 2n+1) 2 2n-1 2n+1 ? ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ( - )+ ( - )+…+ ( 1 - ) ( - + - +…+ = 1 - ) 2 3 2 3 5 2 2n-1 2n+1 2 3 3 5 2n-1 2n+1 1 1 1 1 1 = (1- ) ? lim Sn=lim ( - 1 )= 。 , n ?? n ?? 2 2 2n+1 2n+1 2 4 6 4 6 4 6 ( ? ) ? ( 2 ? 2 ) ? ... ? ( n ? n ) 5 7 5 7 ? __________. 5. (辽宁卷) lim 5 7 n ?? 5 4 5 4 5 4 ( ? ) ? ( 2 ? 2 ) ? ... ? ( n ? n ) 6 5 6 5 6 5 4 6 4 6 4 6 4 4 4 6 6 6 ( ? ) ? ( 2 ? 2 ) ? ... ? ( n ? n ) ( ? 2 ? ... ? n ) ? ( ? 2 ? ... ? n ) 5 7 5 7 ? 5 5 5 7 7 7 解: lim 5 7 n ?? 5 4 5 4 5 4 5 5 5 4 4 4 ( ? ) ? ( 2 ? 2 ) ? ... ? ( n ? n ) ( ? 2 ? ... ? n ) ? ( ? 2 ? ... ? n ) 6 5 6 5 6 5 6 6 6 5 5 5
解: a n=

4 1 6 1 [1 ? ( ) n ] [1 ? ( ) n ] 5 5 ?7 7 1 1 1 1 5 1? 1? ( )n ? ( )n 1 ? ( )n 5 7 7 ? lim 7 ? ?1 ? lim ? lim 5 n ?? 5 n ?? 1 n 1 n 4 1 n 1 n n?? 5 n [1 ? ( ) ] [1 ? ( ) ] ( ) ?( ) ( ) ?1 6 6 ?5 5 6 5 6 1 1 1? 1? 6 5
6.(上海卷)计算: lim
3 Cn =__________. n ?? n 3 ? 1

1? 3 ? 2 3 Cn n(n ?1)(n ? 2) n3 ? 3n 2 ? 2n ? lim n n 2 ? 1 ; 解: lim 3 ? lim ? lim n?? n ?1 n?? (n3 ?1)? n?? (n3 ?1)? 3! 3! n?? (1? 1 )? 6 3! n3
7.(上海卷)计算: lim

n(n 2 ? 1) ? ________ . n ?? 6n3 ? 1

1 n(n ? 1) n2 ? 1 。 ? lim 解: lim n ?? 6n3 ? 1 n ?? 1 6? 3 6 n 1 8. (天津卷)设函数 f ? x ? ? ,点 A0 表示坐标原点,点 An ?n, f ?n???n ? N * ?,若向量 x ?1 ?? ????? ????? ? ??????? ?? ? ? ? (其中 i ? ?1,0? ) , an ? A0 A1 ? A1 A2 ??? An?1 An , ?n 是 an 与 i 的夹角,
2

1?

设 S n ? tan?1 ? tan? 2 ? ? ? tan? n ,则 lim S n =__________.
n??

5

解:函数 f ? x ? ?

1 ,点 A0 表示坐标原点,点 An ?n, f ?n?? n ? N * ,若向量 x ?1

?

?

1 ?? ????? ????? ? ??????? ????? ? ?? ? ? ? 1 (其中 i ? ?1,0? ) , an ? A0 A1 ? A1 A2 ??? An?1 An = A0 An ,? n 是 an 与 i 的夹角,tan ? n ? n ? 1 ? n n(n ? 1)
设 S n ? tan?1 ? tan? 2 ? ? ? tan? n

1 1 1 1 ,则 lim S n =1. ? ??? ? 1? n?? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) n ?1

9.(重庆卷)

lim 1 ? 3 ? ? ? (2n ? 1) ? __________. 2n 2 ? n ? 1 n? ?

解: lim

1 ? 3 ? ? ? (2n ? 1) n2 1 ? lim 2 ? 。 2 n ?? n ?? 2n ? n ? 1 2n ? n ? 1 2

10.(福建卷)已知直线 x ? y ? 1 ? 0 与抛物线 y ? ax2 相切,则 a ? ______ . 解:直线 x ? y ? 1 ? 0 与抛物线 y ? ax2 相切,将 y=x-1 代入抛物线方程得 ax ? x ? 1 ? 0 ,
2

∴ ? ? 1 ? 4a ? 0 ,a=

1 。 4

11.(湖北卷)半径为 r 的圆的面积 S(r)= ? r2,周长 C(r)=2 ? r,若将 r 看作(0,+∞)上的变量,则 ( ? r2)`=2 ? r ①, ①式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

1 对于半径为 R 的球,若将 R 看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于○的式子: ②; 解:V


②式可以用语言叙述为:__________.
3

? ( ? R ) =4? R = ? R ,又
3

4 3

4 3

2

3 2 2 ? ( 故○式可填 ? R ) =4? R ,用语言叙述为“球的体积函

4 3

数的导数等于球的表面积函数。” 12.(湖南卷)曲线 y ? 解:曲线 y ?

1 和 y ? x2 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形面积是__________. x

1 2 和 y ? x 在它们的交点坐标是(1,1),两条切线方程分别是 y=-x+2 和 y=2x-1,它 x 3 们与 x 轴所围成的三角形的面积是 . 4
13.(辽宁理 13)已知函数 f ( x ) ? ?

?a cos x( x ≥ 0),
2 ? x ? 1( x ? 0)

在点 x ? 0 处连续,则 a ? __________.

解:因为 f ( x ) ? ?

?a cos x( x ≥ 0),
2 ? x ? 1( x ? 0)

在点 x ? 0 处连续,所以 lim f ( x) ? lim f ( x) ? f (0) ? a ? ?1 .
x ?0 ? x ?0 ?

14.(湖北文 13)已知函数 y ? f (x) 的图象在 M(1,f(1) )处的切线方程是 y ? __________.

1 ? x +2, f (1) ? f (1)= 2

6

解:由已知切点在切线上,所以 f(1)=

1 5 1 ? 2 ? ,切点处的导数为切线斜率,所以 f ? (1)= ,所以 2 2 2

f (1) ? f ? (1)=3.

7


相关文档

最新经典试题系列--高考题选编(选择题,填空题部分)---概率与统计
最新经典试题系列--高考题选编(选择题,填空题部分)---集合、函数与导数
高三模拟试题汇编——导数与极限填空题
最新经典试题系列-高考题选编(选择题,填空题部分)---数列与不等式
最新经典试题系列--高考题选编(选择题,填空题部分)---三角函数与平面向量
最新经典试题系列--高考题选编(选择题,填空题部分)---直线,平面间的位置关系及简单的几何体
2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编-112导数与极限填空题
2008年高考试题分类汇编------函数与导数填空题部分
2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编-111导数与极限选择题
2008年高考试题分类汇编三: 函数与导数(填空题部分)
电脑版