100测评网高三数学复习海淀区高三文科数学试题 0904

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海淀区高三文科数学试题 0904 (1)若 sin ? ? cos ? ? 0 ,且 cos ? ? 0 ,则角 ? 是 (A)第一象限角 (B) 第二象限角 (C)第三象限角 (2)函数 f ( x) = 2x 的反函数 y ? f ?1 ? x ? 的图象是

( ) (D)第四象限角 ( )

y 2 1

y 2 1

y 2 1
1 2 x

o
(A)

1

2

x
(B)

o
(C)

o
(D) (

1

2

x

(3)若向量 a =(1,2) ,b =(1,-3) ,则向量 a 与 b 的夹角等于 (A) 45
?


?

(B) 60

?

(C) 120

?

(D) 135 )

(4)已知 l 是直线, ? 、 ? 是两个不同平面,下列命题中真命题是( (A)若 l // ? , l // ? ,则 ? // ? (C)若 l ^ ? , l // ? ,则 ? ^ ?

(B)若 ? ^ ? , l // ? ,则 l ^ ? (D)若 l // ? , ? // ? ,则 l // ? ( )

(5)“ a ? 2 ” 是 “ “直线 2 x + ay - 1 = 0 与直线 ax + 3 y - 2 = 0 平行” 的 (A)充分必要条件 (C)必要而不充分条件 (6)函数 f ( x) ? sin( (B)充分而不必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ( )

? ? x) 的一个单调增区间为 4 3? 7 ? ? 3? ? ? ) (A) ( , (B) (? , ) (C) ( ? , ) 4 4 4 4 2 2 (7)若实数 a, b, c 成公差不为 0 的等差数列,则下列不等式不成立 的是 ...
(A) b - a + (C) b ? ac
2

(D) (?

3? ? , ) 4 4
( )

1 c- b

2

(B) ab + bc + ca ? a (D) b - a ? c

2

b2 + c 2

b

(8)对于数列 {an } ,若存在常数 M ,使得对任意 n ? N * , an 与 an ?1 中至少有一个不小于 M ,则记作

{an } M ,那么下列命题正确的是(
(A).若 {an }
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)

M ,则数列 {an } 各项均大于或等于 M
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(B) 若 {an } (C)若 {an } (D)若 {an }

M , {bn } M ,则 {an ? bn } 2M
2 M ,则 {an } M2

M ,则 {2an ? 1} 2M ? 1

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. (9)函数 y ? sin πx 的最小正周期是 . (10)在 (2 ? x )6 的展开式中, x 的系数是__________(用数字作答).

A ,且三角形 F1 AF2 是顶角为 120?的等腰三角形形, (11)椭圆的两个焦点为 F 1 、 F2 ,短轴的一个端点为
则此椭圆的离心率为 .

B ?A C ,?BAC ? 90? , (12) 已知四面体 P — A B C 中,PA ? PB ? PC , 且A 则异面直线 PA 与 BC
所成的角为 (13)在 ?ABC 中, AC = .

6, BC = 2 , B = 60 ,则∠A 的大小是

; AB =

.

? x ≤1, ? (14.) 若实数 x, y 满足 ? y ≤ x, , 则 z ? 3x ? 2 y 的最小值是 ? 2 2 ?x ? y - 4x ? 2≥ 0
此不等式组表示的平面区域的面积是 三、解答题: (15) (本小题共 12 分) 已知 A ? x | x ? a |? 4 , B ? x | x ? 2 |? 3 . (I)若 a ? 1 ,求 A ? B ; (II)若 A ? B ? R,求实数 a 的取值范围. .

; 在平面直角坐标系中,

?

?

?

?

(16) (本小题共 14 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 为直角梯形,且

AB // CD , ?BAD ? 90 ,PA ? AD ? DC ? 2 ,AB ? 4 .
(I)求证: BC ? PC ; (II)求 PB 与平面 PAC 所成的角的正弦值; (III)求点 A 到平面 PBC 的距离.

P

A D B C

(17) (本小题共 13 分)
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已知数列 {an }前 n 项的和为 Sn ,且满足 Sn = 1- nan (n = 1 , 2, 3 ,) . (Ⅰ)求 a1 、 a2 的值; (Ⅱ)求 an .

(18) (本小题共 13 分) 3 名志愿者在 10 月 1 日至 10 月 5 日期间参加社区服务工作,若每名志愿者在这 5 天中任选两天参 加社区服务工作,且各名志愿者的选择互不影响.求 (Ⅰ)这 3 名志愿者中在 10 月 1 日都 参加社区服务工作的概率; . (Ⅱ)这 3 名志愿者中在 10 月 1 日至多有 1 人参加社区服务工作的概率. (19). (本小题共 14 分) 已知函数 f ?x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ?x? ? 2x3 ? mx2 ? ?1 ? m?x . (I)当 m ? 2 时,求 f ?x ? 的解析式; (II)设曲线 y ? f ?x ? 在 x ? x0 处的切线斜率为 k,且对于任意的 x0 ?? ?1,1? -1≤k≤9,求实数 m 的取值范 围.

(20) (本小题共 14 分)

在△ PAB 中,已知 A ? 6 ,0 、 B (I)求动点 P 的轨迹方程;

?

?

?

6 ,0 ,动点 P 满足 PA ? PB ? 4 .

?

(II)设 M ?? 2,0? , N ?2,0? ,过点 N 作直线 l 垂直于 AB ,且 l 与直线 MP 交于点 Q , ,试在 x 轴上确 定一点 T ,使得 PN ? QT ; (III)在(II)的条件下,设点 Q 关于 x 轴的对称点为 R ,求 OP ? OR 的值.

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文科数学试题答案 选择题:CADC 填空题: (9)2 15 解: (I)当 a = 1 时, A = {x - 3 < x < 5} . ????????????2 分 ????????????4 分 ????????????6 分 ????????????8 分 BABD

(10)240 (11)

3 2

(12 ) 90 (13)45°

3 + 1(14)0 2 -

?
2

B = {x x < - 1或x > 5}. \ A? B
(II)

{x -

3 < x < - 1}.

A = {x a - 4 < x < a + 4}.
R

B = {x x < - 1或x > 5}. 且 A ? B

\

ì a- 4< - 1 ? ? í ? ? ? a+ 4> 5

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10 ????????????11 分 ????????????12 分



\ 1< a < 3. \ 实数 a 的取值范围是 (1,3) .
注 若答案误写为 1 剟a 16 解:方法 1 (I)证明:在直角梯形 ABCD 中,

3 ,扣 1 分
AB // CD , ?BAD ? 90 , AD ? DC ? 2
?????????1 分

? ?ADC ? 90? ,且 AC ? 2 2 .

取 AB 的中点 E ,连结 CE , 由题意可知,四边形 AECD 为正方形,所以 AE ? CE ? 2 ,

1 1 AB ? 2 ,所以 CE ? AB , 2 2 ? ABC 则 为等腰直角三角形, 所以 AC ? BC , ?????????2 分 又因为 PA ? 平面 ABCD ,且 AC 为 PC 在平面 ABCD 内的射影, BC ? 平面 ABCD ,由三垂线 定理得, BC ? PC ?????????4 分 (II)由(I)可知, BC ? PC , BC ? AC , PC AC ? C , 所以 BC ? 平面 PAC ,??????5 分 PC 是 PB 在平面 PAC 内的射影,所以 ?CPB 是 PB 与平面 PAC 所成的角,??6 分
又 BE ?
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又 CB ? 2 2 ,??????7 分

PB2 ? PA2 ? AB2 ? 20 , PB ? 2 5 ,??????8 分

sin CPB ?

10 10 ,即 PB 与平面 PAC 所成角的正弦为 5 5

????9 分

(III)由(II)可知, BC ? 平面 PAC , BC ? 平面 PBC , 所以平面 PBC ? 平面 PAC , ??????10 分 过 A 点在平面 PAC 内作 AF ? PC 于 F ,所以 AF ? 平面 PBC , 则 AF 的长即为点 A 到平面 PBC 的距离, ??????11 分 在直角三角形 PAC 中, PA ? 2 , AC ? 2 2 , ??????12 分 ?????13 分

PC ? 2 3 ,
所以 AF ? 方法 2 ∵ AP ? 平面 ABCD , ?BAD ? 90

2 6 2 6 即点 A 到平面 PBC 的距离为 3 3

????14 分

∴以 A 为原点,AD、AB、AP 分别为 x、y、z 轴,建立空间直角坐标系????1 分 ∵ PA ? AD ? DC ? 2 , AB ? 4 . ∴ B (0,4,0), D (2,0 ,0) , C (2,2,0) , P ( 0,0,2) ????2 分 (I)∴ BC ? (2, ?2,0), PC ? (2, 2, ?2) ∵ BC PC ? 0 ∴ BC ? PC , 即 ??????3 分

B C? P C

??????4 分

(II) ∵ AP ? (0,0, 2), AC ? (2, 2,0) 设面 APC 法向量 n ? ( x, y, z ) ∴?

? ? n AP ? 0 ? ?n AC ? 0

∴?

?

z ? 0,

?2 x ? 2 y ? 0

??????6 分

设 x ? ?1,? y ? 1 ∴ n ? (?1,1, 0) ∵ PB ? (0, 4, ?2) ∴ cos ? PB, n ??

??????7 分

PB n | PB | ? | n |
10 5
??????9 分

???8 分

=

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即 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值为

10 5

(III)由∵ PB ? (0, 4, ?2), PC ? (2, 2, ?2) 设面 PBC 法向量 m ? (a, b, c) ∴?

? ? m PB ? 0 ? ?m PC ? 0

∴?

? 4b ? 2c ? 0, ?2a ? 2b ? 2c ? 0

??????11 分

设 a ? 1,? c ? 2, b ? 1 ∴ m ? (1,1, 2) ∴点 A 到平面 PBC 的距离为 d ?

??????12 分

| AB m | |m|
2 6 3

??????13 分

=

∴点 A 到平面 PBC 的距离为 (17) (I) 当 n = 1 时,

2 6 3

??????14 分

a1 = 1- a1 .

????????????1 分 ????????????2 分 ????????????3 分 ????????????5 分

\ a1 =
当 n = 2 时,

1 . 2

a1 + a2 = 1- 2a2
1 6

\ a2 =
(Ⅱ)

Sn = 1- nan

\ 当 n ? 2 时 Sn- 1 = 1- (n - 1)an- 1
an = (n - 1)an- 1 - nan
????????????7 分

\ an =

n- 1 an- 1 n+ 1

????????????9 分

an =

2 a1 n(n + 1)

????????????10 分

=

1 n(n + 1)
1 符合上式 2
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????????????11 分

当 n = 1 时 a1 =
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????????????12 分

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\ an =

1 n (n + 1)

, 2 , , 3 ) (n = 1

????????????13 分

(18)解法 1: (I)这 3 名志愿者中在 10 月 1 号参加社区服务工作的人数恰好为 3 人的事件为 A ????????????1 分

?C ? P ? A? ? ?C ?

1 3 4

2 3 5

?

8 125

????????????5 分

8 . 125 (Ⅱ)这 3 名志愿者中在 10 月 1 号参加社区服务工作的人数至多为 1 人的事件为 B
这 3 名志愿者中在 10 月 1 号参加社区服务工作的人数恰好为 3 人的概率为 ????????????6 分

?C ? P ? B? ? ?C ?

2 3 4

2 3 5

?

1 1 2 C3 C4 ? C4 ?

2

?C ?

2 3 5

?

27 54 81 ? ? ????????????13 分 125 125 125
81 . 125

这 3 名志愿者中在 10 月 1 号参加社区服务工作的人数至多为 1 人的概率为

解法 2: (I)这 3 名志愿者中在 10 月 1 号参加社区服务工作的人数恰好为 3 人的事件为 A ????????????1 分

8 ?2? P ? A? ? ? ? ? ? 5 ? 125

3

????????????5 分

8 . 125 (Ⅱ)这 3 名志愿者中在 10 月 1 号参加社区服务工作的人数至多为 1 人的事件为 B
这 3 名志愿者中在 10 月 1 号参加社区服务工作的人数恰好为 3 人的概率为 ????????????6 分

27 54 81 ? 3? 1 ? 2 ?? 3 ? ???????????13 分 P ? B ? ? ? ? ? C3 ? ? ? ?? ? ? ?5? ? 5 ?? 5 ? 125 125 125
这 3 名志愿者中在 10 月 1 号参加社区服务工作的人数至多为 1 人的概率为 (19)解:(I)

3

2

81 . 125

f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, \ f (0) = 0. ?????????1 分

3 2 当 x ? 0 时, f ( x) = 2x + mx + (1- m) x .

当 x ? 0 时,

f ( x) = - f (- x)

?????????2 分

\ f ( x) = - (- 2x3 + mx2 - (1- m) x)
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= 2x3 - mx2 + (1- m) x

?????????3 分

ì ? 2 x3 + mx 2 + (1- m) x ? \ f ( x) = í 3 2 ? ? ? 2 x - mx + (1- m) x ì ? 2 x 3 + 2 x 2 - x, \ f ( x) = ? í 3 2 ? ? ? 2x - 2x - x
2

(x …0) (x < 0)

.

??????4 分

当 m = 2 时,

( x …0) ( x < 0) ( x …0) ( x < 0)

???5 分

ì ? 6x + 2mx + (1- m), (Ⅱ)由(I)得: \ f ? ( x) = ? í 2 ? ? ? 6x - 2mx + (1 - m),

???6 分

曲线 y ? f ?x ? 在 x ? x0 处的切线斜率,对任意的 x0 ?? ?1,1? ,总能不小于-1 且不大于 9, 则在任 意 x0 ?[?1,1] 时, - 1 剟 f ? ( x0 ) 成立 , 8 9恒 . .. ???7 分 成立 即可 9恒 . ..

∵ f? ( x) 是偶函数 ∴对任意 x0 ? (0,1] 时, - 1 剟 f ? ( x0 )
1 当? ○

m ? 0 时,由题意得 6

? f ?(0) ? ?1 ? ? f ?(1) ? 9
0 剟m 2 m 2 当0 ? ? ? 1时 ○ 6
∴ ????????9 分

ì m ? ? f? (- ) ? 1 ? ? 6 ? ? \ í f? (0) ? 9 ? ? f? (1) ? 9 ? ? ? ? ? ?
∴ ?6 ? m ? 0
3 当? ○

???????? 11 分

m ? 1时 6

ì f? (0) ? 9 ? \ ? í ? (1) ? 1 ? ? f?
∴ ?8 ? m ? ?6 1 ○ 2 ○ 3 得, ?8 剟m 综合○

2

????????13 分 ??????? 14 分

2}. \ 实数 m 的取值范围是 {m | ?8 剟m 0

(20) 解: (I)
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PA ? PB ? 4 ? AB ,∴ 动点 P 的轨迹是以 A 、 B 为焦点的双曲线的右支除去其与
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x 轴的交点. 设双曲线方程为

??????????1 分

x2 a2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) . a 2 b2
解得 ?

由已知,得 ? ∴b ?

? ?c ? 6, ? ? 2a ? 4,

? ?c ? 6, ? ? a ? 2,

2分

2.
x2 a2 ? ? 1 ( x ? 2) . 4 2

3分

∴动点 P 的轨迹方程为

4分

注:未去处点(2,0) ,扣 1 分 (II) 由题意,直线 MP 的斜率存在且不为 0,设直线 l 的方程 x =2. 设 MP 的方程为 y ? k ( x ? 2) . ∵点 Q 是 l 与直线 MP 的交点,∴ Q (2, 4k ) .设 P( x0 , y0 ) 5分

? x2 y 2 ? 1, ? ? 由? 4 2 ? y ? k ( x ? 2) ?

整理得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? (8k 2 ? 4) ? 0.

则此方程必有两个不等实根 x1 ? ?2, x2 ? x0 ? 2

?1 ? 2k 2 ? 0. ,且

8k 2 ? 4 ?2 x0 ? ? . 1 ? 2k 2
∴ y0 ? k ( x0 ? 2) ?

4k . 1 ? 2k 2

∴ P(

4k 2 ? 2 4k , ). 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

8分

设 T (t , 0) ,要使得 PN ? QT ,只需 PN ? QT ? 0. 由 N (2,0) , PN ? (? ∴ PN ? QT ? ?

8k 2 4k ,? ), QT ? (t ? 2, ?4k ) , 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
10 分

1 [8k 2 (t ? 2) ? 16k 2 ] ? 0. 2 1 ? 2k

∵ k ? 0, ?t ? 4. 此时 PN ? ?, QT ? ? ∴所求 T 的坐标为 (4,0). 11 分

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(III)由(II)知 R (2, ?4k ) ,∴ OP ? (

4k 2 ? 2 4k , ) , OR ? (2, ?4k ) . 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

∴ OP ? OR ?

4k 2 ? 2 4k 4 ? 8k 2 ? 2 ? ? ( ? 4 k ) ? ?4. 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
14 分

∴ OP ? OR ? 4. 说明 其他正确解法按相应步骤给分。

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