高考数学专题复习-第六单元-三角函数的图象与性质-B卷

单元训练金卷?高三?数学卷(B) 第六单元 三角函数的图象与性质

封 座位号

注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条
形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。



考场号





准考证号



一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的)

1.在 ?0,2π? 内,使 tan x ?1成立的 x 的取值范围为( )

A.

? ??

π 4

,

π 2

? ??

C.

? ??

π 4

,

π 2

? ??

? ??

5π 4

,

3π 2

? ??

B.

? ??

5π 4

,

3π 2

? ??

D.

? ??

π 4

,

π 2

? ??

? ??

5π 4

,

3π 2

? ??

【答案】D

【解析】结合正切函数

y

?

tan

x

的图象,可得使

tan

x

? 1 成立的

x

的取值范围

? ??



?

π 4

, kπ

?

π 2

? ??



k

?Z

.结合

x

?

?

0,2π?

,可得在

?

0,2π?

内,使

tan

x

?

1

成立的

x

的取值范围为

? ??

π 4

,

π 2

? ??

? ??

5π 4

,

3π 2

? ??



故选 D.

2.角? 的终边过点 P??4a,3a? ( a ? 0 ),则 2sin? ? cos? ? ( )

A. 2 5
【答案】C

B. ? 2 5

C. 2 或 ? 2 55

D.与? 的值有关

【解析】由题意得 r ? ??4a?2 ? ?3a?2 ? 5 a ,根据正弦函数值、余弦函数值的定义,

当 a ? 0 时, sin? ? 3 , cos? ? ? 4 ,则 2sin? ? cos? ? 2 ;当 a ? 0 时, sin? ? ? 3 , cos? ? 4 ,

5

5

5

5

5

则 2sin? ? cos? ? ? 2 ,故选 C. 5





姓名



班级

3.若? 是第三象限角,且 cos ? ? ? cos ? ,则 ? 是( )

2

22

A.第一象限角

B.第二象限角

C.第三象限角

D.第四象限角

【答案】B
【解析】∵? 是第三象限角,∴ (2k ?1)π ? ? ? (2k ?1)π ? π (k ?Z) ,
2

∴ kπ ? π ? ? ? kπ ? 3π (k ?Z) ,则 ? 是第二或第四象限角,又∵ cos ? ? ? cos ? ,

22 4

2

2

2

∴ cos ? ? 0 ,∴ ? 必为第二象限角,故选 B.

2

2

4.已知函数

f

?x?

?

sin

??? ? x

?

π 3

? ??

??

?

0?

的最小正周期为

π

,则该函数图象(

).

A.关于点

? ??

π 3

,

0

? ??

对称

B.关于直线 x ? π 对称, 4

C.关于点

? ??

π 4

,

0

? ??

对称

D.关于直线 x ? π 对称, 3

【答案】A

【解析】∵? ? 2 ,∴ f (x) ? sin(2x ? π) ,∴ f (π) ? 0 ,故选 A.

3

3

5.设

a

?

? ??

2

sin

x,

3 2

? ??



b

?

? ??

1 6

,

1 4

cos

x

? ??

,且

a∥b

,则

tan

x

的值为(

).

A. 1 4

B. 1 2

C.1

D. 2

【答案】C

【解析】∵ a∥b ,∴ (2sin x) ? (1 cosx) ? 3 ? 1 ? 0 ,∴ sin x cosx ? 1 ,

4

26

2



sin x cosx sin 2 x ? cos2

x

?

1 2

,∴

tan x tan2 x ?1

?

1 2

,解得 tan

x

? 1,故选

C.

6.已知函数 f ? x? ? 2sin ??x ? ? ? 的图象如图所示,则 f (0) ? ( ).

A. ?1

B.1

C. ? 2

D. 2

【答案】C

【解析】由图象知最小正周期 T

?

2 ? 5π 3 ?? 4

?

π 4

? ??

?

2π 3

?

2π ?

,故 ?

? 3 ,又

x

?

π 4

时,

f

(x)

?

0,



2 sin(3 ?

π 4

?

?)

?

0 ,可得 ?

?

2kπ

?

3 4

π

,所以

f

?0?

?

2 sin

? ??

2kπ

?

3 4

π

? ??

?

?

2 ,故选 C.

7.为了得到函数 y ? sin 2 x ? 3 sin x cos x 的图象,可以将函数 y ? sin 2x 的图象( ).

A.向左平移 ? 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度

6

2

B.向右平移 ? 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度

6

2

C.向左平移 ? 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度

12

2

D.向右平移 ? 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度

12

2

【答案】D

【解析】 y ? 1 (1 ? cos 2x) ? 3 sin 2x ? sin(2x ? π) ? 1 ,故选 D.

2

2

62

8.已知 sin(?

?

2π)

?

2 cos(π

??)

,则

sin3(π ?? ) ? 5cos3(4π ?? ) 4 cos3(7π ?? ) ? 3sin3(7π ? ? )

?





2

A. ? 3 8
【答案】A

B. 3 2

C. ? 13 56

D. 3 56

【解析】∵ sin(? ? 2π) ? 2cos(π ??) ,∴ ?sin(2π ??) ? ?2cos? , sin? ? ?2cos? ,则

tan? ? ?2,

∴ sin3(π ?? ) ? 5cos3(4π ?? ) ? sin3 ? ? 5cos3 ?

4 cos3(7π ?? ) ? 3sin3(7π ? ? ) ?4 cos3( π ?? ) ? 3sin3 ?

2

2

?

sin3 ? ? 5cos3 ? ?4sin3 ? ? 3sin3 ?

?

sin3 ? ? 5cos3 ? ? sin3 ?

? ?1?

5 tan3 ?

? ?1?

5 ?8

? ? 3 ,故选 A. 8

9.若

f

(x)

?

Asin(?x

??)

?1(?

?

0

),对任意实数 t

,都有

f

(t

?

π )

?

f

(?t

?

π )

,记

3

3

g(x) ? Acos(?x ? ?) ,则 g( π) 的值为( ). 3

A. 0

B. ?1

C. ? A

D. A

【答案】A

【解析】由题意

x

?

π 3



f

(x)

?

Asin(?x

??)

?1

的一条对称轴,∴

sin

? ??

π? 3

?

?

? ??

?

?1 或1,



cos

? ??

π? 3

?

?

? ??

?

0

,∴

g(

π 3

)

?

0

,故选

A.

10.已知函数 f (x) ? Atan(?x ? ?) (? ? 0 ,? ? ? )的部分图象如图所示,则 f ( 2? ) ?( ).

2

3

A.1 ? 3

B. 3 ?1

C. ? 2 ? 3

D. 2 ? 3

【答案】C

【解析】根据图象得T ? 2(3? ? ? ) ? ? ,∴? ? ? ? 2 ,

88 2

T

∵ f (3? ) ? Atan(3? ? ?) ? 0 ,∴ 3? ? ? ? k? ,∴? ? k? ? 3? ( k ?Z ).

8

4

4

4

∵ ? ? ? ,∴? ? ? .又 f (0) ? Atan? ? Atan ? ? 1,∴ A ? 1.

2

4

4

∴ f (x) ? tan(2x ? ? ) . 4

∴ f ( 2? ) ? tan(4? ? ? ) ? tan(? ? ? ) ? 1 ? 3 ? ?2 ? 3 .故选 C.

3

34

4 3 1? 3

11.函数 f (x) ? sin(?x ? ?) (其中? 是正数)的图象向右平移 ? 个单位后对应一个偶函数,向左 16

平移 3? 个单位后对应一个奇函数,则? 的最小值为( ). 16

A. 1 2
【答案】C

B.1

C. 2

D. 4

【解析】函数 f (x) 最小正周期的最大值为? ,此时? 最小,且? 的最小值为 2 .故选 C.

12.已知函数 f (x) ? 2sin ?x 在区间[? π , π]上递增,则正实数? 的最大值为( ).
34

A. 2

B. 3 2

C. 3 4

D. 2 3

【答案】B

【解析】令

?

π 2

?

?x

?

π 2

,∵ ?

?

0

,∴

?

π 2?

?

x

?

π 2?

,∴ [?

π 3

,

π] 4

?

????

π 2?

,

π 2?

? ??





?π ?? 4 ? ????

?π 2?
π ?? 3

π 2?

解得 0

?

?

?

3 2

,故选

B.

二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在题中横线上)

13.已知扇形的周长为 20 cm ,当扇形的面积最大时,扇形圆心角为弧度________.

【答案】 2

【解析】设扇形的弧长为 l ,半径为 R ,圆心角为? ,由已知条件 l ? 2R ? 20 ,

得 l ? 20 ? 2R ,由 0 ? l ? 2? R ,得 0 ? 20 ? 2R ? 2? R ,∴ 10 ? R ? 10 ; ? ?1

扇形的面积为

S扇

?

1 2

lR

?

1 2

(20

?

2R)R

?

?R2

?10R

?

?(R

?

5)2

?

25



当 R ? 5 时, S 最大,此时 l ?10 ,? ? l ? 2 , R

故当扇形所对的圆心角为 2 时,扇形有最大面积.

14.已知关于 x 的方程 sin2 x ? 2sin x ? a ? 0 有解,则 a 的取值范围是______. 【答案】 [?3,1]
【解析】∵关于的方程 sin2 x ? 2sin x ? a ? 0 有解,∴存在 x 使 a ? ?sin2 x ? 2sin x ,
而 ? sin2 x ? 2sin x ? 1? (sin x ?1)2 ,且 sin x???1,1?,∴ a ???3,1?.
15.若动直线 x ? a 与函数 f (x) ? sin x 和 g(x) ? cosx 的图像分别交于 M , N 两点,则 MN 的最
大值为_________.

【答案】 2

【解析】 MN ? sin x ? cosx ? 2 sin(x ? ? ) ,∴ MN 的最大值为 2 . 4

16.已知函数 y ? sin πx 的定义域为 ?a,b? ,值域为[? 1 ,1] ,则 b ? a 的取值范围是_______.

6

2

【答案】 ?4,8?

【解析】结合函数 y ? sin ?x 的图象可知 b ? a 的取值范围是 ?4,8? .
6

三、解答题(本大题有 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10 分)已知向量 a ? (1 , 3 ) , b ? (cos x,sin x) , x ? (π, 3π ) ;

22

2

(1)若 a∥b ,求 sin x 和 cos x 的值;

(2)若 a ? b ? 2 cos(12kπ ?13π ? x)(k ? Z) ,求 tan(x ? 5π) 的值.

6

12

【答案】(1)见解析;(2) ?3 .

【解析】(1)∵ a∥b ,? 1 sin x ? 3 cos x ,于是 sin x ? 3 cos x ,∴ tan x ? 3 ,

2

2

又 x ?(π, 3π) ,∴ x ? 4π ,∴ sin x ? sin 4π ? ?sin π ? ? 3 ;

2

3

3

32

cos x ? cos 4π ? ?cos π ? ? 1 .

3

32

(2) a ? b ? 1 cos x ? 3 sin x ? cos π sin x ? sin π cos x ? sin(x ? π) ,

2

2

6

6

6

而 2cos(12kπ ?13π ? x) ? 2cos(2kπ ? 2? ? x ? π) ? 2cos(x ? π)(k ? Z) ,

6

6

6

于是 sin(x ? π) ? 2cos(x ? π) ,即 tan(x ? π) ? 2 ;

6

6

6

?tan(x ?

5π ) 12

?

tan[(x ?

π) ? 6

π] ? 4

tan(x ? π) ? tan π

6

4

1? tan(x ? π) tan π

? 2?1 1? 2?1

?

?3 .

64

18.(12 分)已知函数 f (x) ? sin(2x ? ?) (?? ? ? ? 0), y ? f (x) 图象的一条对称轴是直线
x?? . 8
(1)求? 的值;

(2)画出函数 y ? f (x) 在区间[0,? ] 上的图象.

【答案】(1)? ? ? 3π ;(2)见解析. 4

【解析】(1) x ? π 是函数图象的对称轴,∴ sin(2 ? ? ? ?) ? ?1 ,

8

8

∴ π ? ? ? kπ ? π , k ?Z , ?π ? ? ? 0 ,∴? ? ? 3π .

4

2

4

(2)由 y ? sin(2x ? 3? )知: 4

故函数 y ? f (x) 在区间[0,? ] 上的图象是:

19.(12 分)已知函数 f (x) ? 2a sin(2x ? π) ? b 的定义域为[0, π ] ,函数的最大值为 1,最小值

6

2

为 ?5 . (1)求 a , b 的值;

(2)如何由 g(x) ? 2a sin 2x 的图象得到函数 f (x) 的图象.

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】(1)∵ 0 ? x ? π ,∴ ? π ? 2x ? π ? 5π ,则 ? 1 ? sin(2x ? π) ? 1 ;

2

6

66

2

3



a

?

0

,则由题设知

?2a ???a

? ?

b b

? ?

1 ?5

,解得

a

?

2



b

?

?3





a

?

0

,则由题设知

?2a ???a

? ?

b b

? ?

?5 1

解得

a

?

?2



b

?

?1



(2)当 a ? 0 时,由(1)知, f (x) ? 4sin(2x ? π) ? 3, g(x) ? 4sin 2x , 6

∵ f (x) ? 4sin[2(x ? π )] ? 3 , 12

∴将函数 g(x) ? 4sin 2x 的图象先向右平移 π 个单位,再向下平移 3 个单位即可; 12

当 a ? 0 时,由(1)知, f (x) ? ?4sin(2x ? π) ?1, g(x) ? ?4sin 2x , 6

∵ f (x) ? ?4sin[2(x ? π )] ?1, 12

∴将函数 g(x) ? ?4sin 2x 的图象先向右平移 ? 个单位,再向下平移 1 个单位即可. 12

20.(12 分)已知函数 f (x) ? 2sin x cos x ? 2cos2 x ( x?R ).

(1)求 f (x) 的最小正周期,并求 f (x) 的最小值及取得最小值时 x 的集合;

(2)令

g(x)

?

f

(x

?

π) 8

?1,若

g(x)

?

a

?

2 对于

x ? ????

π, 6

π? 3 ??

恒成立,求实数 a

的取值范围.

【答案】(1)见解析;(2) a ? 2 ? 2 .

【解析】(1) f (x) ? sin 2x ? cos 2x ?1 ? 2 sin(2x ? π) ?1 , 4

其最小正周期是 T ? 2π ? π , 2

又当 2x ? π ? ? π ? 2kπ ,即 x ? k? ? 3? ?k ? Z? 时,

42

8

∴函数 f (x) 的最小值为1 ? 2 .

此时

x

的集合为

??x ?

x

?

k? ?

3? ?k
8

? Z??? .
?

(2) g(x) ? f (x ? π) ?1 ? 2 sin(2x ? π ? π) ? 2 cos 2x .

8

44



x

?

????

π 6

,

π 3

? ??



2x

?

????

π 3

,

2π 3

? ??

,则

cos

2x

?

????

1 2

,1???



∴ g(x) ?

? 2 cos 2x ? ??
?

2, 2

? 2? .
?



g(x)

?

a

?

2

对于

x

?

????

π 6

,

π 3

? ??

恒成立,

则 a ? 2 ? g(x)max ? 2 ,∴ a ? 2 ? 2 .

21.(12 分)在某个旅游业为主的地区,每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变

化.现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数 f (n) 可近似地用函数

f

?n?

?

100

? ?

?

Acos ????n

?

2 3

π

? ??

?

k

? ? ?

来刻画.其中正整数

n

表示月份且

n ??1,12?

,例如

n

?1

时表示1

月份; A 和 k 是正整数;? ? 0 .
统计发现,该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律:

①各年相同的月份,该地区从事旅游服务工作的人数基本相同;

②该地区从事旅游服务工作的人数最多的 8 月份和最少的 2 月份相差约 400 人; ③ 2 月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人,随后逐月递增直到 8 月份达到最多.

(1)试根据已知信息,确定一个符合条件的 f (n) 的表达式;

(2)一般地,当该地区从事旅游服务工作的人数超过 400 人时,该地区也进入了一年中的旅游“旺

季”.那么,一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”?请说明理由.

【答案】(1)

f

(n)

?

200 cos

? ??

π 6

n

?

2 3

π

? ??

?

300

;(2)见解析.

【解析】(1)根据三条规律,可知该函数为周期函数,且周期为12 .

由此可得,T ? 2? ? 12 ? ? ? ? ;

?

6

由规律②可知,

f (n)max ? f (8) ? 100A ?100k ,

f (n)min ? f (2) ? ?100A ?100k , ∴ f (8) ? f (2) ? 200A ? 400 ,∴ A ? 2 .

又当 n ? 2 时, f ?2? ? ?100A?100k ?100,所以 k ? 3.

综上可得,

f

(n)

?

200

cos

? ??

π 6

n

?

2 3

π

? ??

?

300

符合条件.

(2)由题意,

f

(n)

?

200

cos

? ??

π 6

n

?

2 3

π

? ??

?

300

?

400

,可得

cos

? ??

π 6

n?

2 3

π

? ??

?

1 2



∴ 2kπ ? π ? π n ? 2 π ? 2kπ ? π , k ?Z ,

36 3

3

∴12k ? 6 ? n ?12k ? 2, k ?Z .

因为 n??1,12? , n ? N? ,所以当 k ?1时, 6 ? n ?10 ,

故 n ? 7 ,8,9,即一年中的 7,8,9 四个月是该地区的旅游“旺季”.
22.(12 分)已知函数 f (x) ? 1 ? sin x cosx, g(x) ? cos2 (x ? ? ) . 12
(1)设 x ? x0 是函数 y ? f (x) 的图象上一条对称轴,求 g(x0 ) 的值.

(2)若函数 h(x) ? f (?x) ? g(?x),(? ? 0) 在区间[? 2? , ? ]上是增函数,求? 的最大值.

2

2

33

【答案】(1)

g(x0 )

?

3 4

;(2)

1 2



【解析】(1)由已知, f (x) ? 1? sin x cosx ? 1 ? 1 sin 2x , 2

x?

x0 是函数 y

?

f (x) 图象的一条对称轴,∴ 2x0

? kπ ? π 2

(k ?Z) ,



g(x0 ) ? cos2 (x0

?

π )

12

?

1 2

[1

?

cos(2x0

?

π )]
6

?

1 [1? cos(kπ ? 2

2π )] , 3

当k

为偶数时,

g(x0 )

?

1 4

;当 k

为奇数时,

g(x0 )

?

3 4



(2) h(x) ? 1 ? 1 sin ?x ? 1[1? cos(?x ? π)]

2

2

6

? 1 (sin?x ? 1 sin ?x) ? 3 cos?x ? 3 ? 1 sin(?x ? ? ) ? 3 ,

2

2

4

22

32

当 x ?[? 2? , ? ]时,?x ? ? ?[? 2?? ? ? , ?? ? ? ] ,

33

3

3 33 3

? h(x)在x ?[? 2? , ? ] 上是增函数,且? ? 0 , 33

?[? 2?? ? ? , ?? ? ? ] ? [? ? , ? ],? ? 1 ,?最大值为1 .

3 33 3

22

2

2


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