【初中数学】河南省信阳市固始县2015-2016学年八年级(下)期中数学试卷(解析版) 人教版

河南省信阳市固始县 2015-2016 学年八年级(下)期中数学试卷

(解析版)
一、选择题(下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的,将正确答案的代号字母 填入题后括号内,每小题 3 分,共 24 分) 1.下列的式子一定是二次根式的是( A. 2.若 B. C. D. ,则( ) )

A.x≥6B.x≥0C.0≤x≤6D.x 为一切实数 3.下列二次根式中属于最简二次根式的是( A. B. C. D. ) )

4.一个直角三角形的周长是 12,斜边长为 5,则其面积为( A.6B.12C.24D.30 5.能够判定一个四边形是平行四边形的条件是( A.一组对角相等 B.两条对角线互相平分 C.两条对角线互相垂直 D.一对邻角的和为 180° 6.顺次连接矩形的四边形中点所得的四边形一定是( A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 ) )

7.如图,?ABCD 中,对角线 AC、BD 交于点 O,点 E 是 BC 的中点.若 OE=3cm,则 AB 的长 为( )

A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm 8. AB=6, 如图, 正方形 ABCD 中, 点 E 在边 CD 上, 且 CD=3DE, 将△ ADE 沿 AE 对折至△ AFE, 延长 EF 交边 BC 于点 G,连接 AG、CF.下列结论:①CE=4;②△ ABG≌△AFG;③BG=GC; ④AG∥CF.其中正确结论的个数是( )

A.1B.2C.3D.4

二、填空题(每小题 3 分,共 21 分) 9.使式子 10.计算: 有意义的 x 的取值范围是 = . . cm. cm2. .

11.边长为 4 的等边三角形的面积是

12.矩形 ABCD 的两条对角线相交于 O,∠AOD=120°,AB=3cm,则 BD= 13.已知菱形的边长和一条对角线的长均为 2cm,则菱形的面积为

14.将一根 24cm 的筷子,置于底面直径为 15cm,高 8cm 的圆柱形水杯中,如图所示,设 筷子露在杯子外面的长度为 hcm,则 h 的取值范围是 .

15.如图,△ ABC 中,AB=BC=AC=10,D 是 AB 边上的动点,E 是 AC 边的中点,将△ ADE 沿 DE 翻折得到△ A′DE,连接 BA′,则 BA′的最小值是 .

三、解答题(共 75 分) 16.(1)计算:4 + ﹣ +4 ;

(2)计算: 17.计算: (1)( (2)|

÷2

×



)( ﹣5|+2+



)﹣(

+1)2 )0 + .

+( )﹣1+(9﹣

18.先化简,再求值:1﹣

÷

,其中,x=



19.如图,在四边形 ABCD 中,AB=BC,对角线 BD 平分∠ABC,P 是 BD 上一点,过点 P 作 PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为 M,N. (1)求证:∠ADB=∠CDB; (2)若∠ADC=90°,求证:四边形 MPND 是正方形.

20.有一次,小明坐着轮船由 A 点出发沿正东方向 AN 航行,在 A 点望湖中小岛 M,测得 ∠MAN=30°,航行 100 米到达 B 点时,测得∠MBN=45°,你能算出 A 点与湖中小岛 M 的距 离吗?

21.如图,等边△ ABC 中,AO 是∠BAC 的角平分线,D 为 AO 上一点,以 CD 为一边且在 CD 下方作等边△ CDE,连接 BE. (1)求证:△ ACD≌△BCE; (2)延长 BE 至 Q,P 为 BQ 上一点,连接 CP、CQ 使 CP=CQ=5,若 BC=8 时,求 PQ 的长.

22. 用两个全等的等边三角形△ ABC 和△ ACD 拼成菱形 ABCD. 把一个含 60°角的三角尺与这 个菱形叠合,使三角尺的 60°角的顶点与点 A 重合,两边分别与 AB,AC 重合.将三角尺绕 点 A 按逆时针方向旋转. (1)当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC,CD 相交于点 E,F 时,(如图 1),通过观察 或测量 BE,CF 的长度,你能得出什么结论并证明你的结论; (2)当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC,CD 的延长线相交于点 E,F 时(如图 2),你 在(1)中得到的结论还成立吗?简要说明理由.

23.如图,点 A、F、C、D 在同一直线上,点 B 和点 E 分别在直线 AD 的两侧,且 AB=DE, ∠A=∠D,AF=DC. (1)求证:四边形 BCEF 是平行四边形, (2)若∠ABC=90°,AB=4,BC=3,当 AF 为何值时,四边形 BCEF 是菱形.

2015-2016 学年河南省信阳市固始县八年级(下)期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的,将正确答案的代号字母 填入题后括号内,每小题 3 分,共 24 分) 1.下列的式子一定是二次根式的是( A. B. C. D. )

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数对每个选项做判断即可. 【解答】解:A、当 x=0 时,﹣x﹣2<0, B、当 x=﹣1 时, C、∵x2+2≥2,∴ 无意义;故本选项错误; 符合二次根式的定义;故本选项正确; 无意义;故本选项错误; 无意义,故本选项错误;

D、当 x=±1 时,x2﹣2=﹣1<0, 故选:C.

【点评】本题考查了二次根式的定义.一般形如 时,

(a≥0)的代数式叫做二次根式.当 a≥0

表示 a 的算术平方根;当 a 小于 0 时,非二次根式(在一元二次方程中,若根号下

为负数,则无实数根).

2.若

,则(



A.x≥6B.x≥0C.0≤x≤6D.x 为一切实数 【分析】本题需注意的是二次根式的被开方数为非负数,由此可求出 x 的取值范围. 【解答】解:若 故选:A. 【点评】本题需要注意二次根式的双重非负性: ≥0,a≥0. 成立,则 ,解之得 x≥6;

3.下列二次根式中属于最简二次根式的是(



A.

B.

C.

D.

【分析】B、D 选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式;C 选项的被开方数中含有分 母;因此这三个选项都不是最简二次根式. 【解答】解:因为:B、 C、 D、 = =2 ; ; =4 ;

所以这三项都不是最简二次根式.故选 A. 【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意: (1)在二次根式的被开方数中,只要含有分数或小数,就不是最简二次根式; (2)在二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数),如果幂的指数等于或大于 2,也 不是最简二次根式.

4.一个直角三角形的周长是 12,斜边长为 5,则其面积为( A.6B.12C.24D.30



【分析】设一直角边长为 x,另一直角边长为 y,根据三角形的周长以及面积即可求出两直 角边的乘积,进而得到答案. 【解答】解:设一直角边长为 x,另一直角边长为 y, 由题意可得直角三角形的周长为 12,斜边长为 5,则可知两直角边长和为 7, 直角三角形面积为两直角边乘积的一半,根据勾股定理可得一直角边长 2+另一直角边长 2= 斜边长 2. 联立 ,将 x+y=7 两边同时平方,即可求得 xy=12,

面积 S= ×一直角边长×另一直角边长= xy=6, 故选:A. 【点评】 此题主要考查了勾股定理以及完全平方公式的应用, 熟练应用完全平方公式是解题 关键.

5.能够判定一个四边形是平行四边形的条件是( A.一组对角相等 B.两条对角线互相平分



C.两条对角线互相垂直 D.一对邻角的和为 180° 【分析】平行四边形的五种判定方法分别是:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边 形;(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(3)一组对边平行且相等的四边形是 平行四边形;(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;(5)对角线互相平分的四边 形是平行四边形.根据平行四边形的判定方法选择即可. 【解答】解:根据平行四边形的判定可知 B 正确. 故选 B. 【点评】本题考查了平行四边形的判定,在应用判定定理判定平行四边形时,应仔细观察题 目所给的条件,仔细选择适合于题目的判定方法进行解答,避免混用判定方法.

6.顺次连接矩形的四边形中点所得的四边形一定是( A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形



【分析】因为题中给出的条件是中点,所以可利用三角形中位线性质,以及矩形对角线相等 去证明四条边都相等,从而说明是一个菱形. 【解答】解:连接 AC、BD, 在△ ABD 中, ∵AH=HD,AE=EB ∴EH= BD, 同理 FG= BD,HG= AC,EF= AC, 又∵在矩形 ABCD 中,AC=BD, ∴EH=HG=GF=FE, ∴四边形 EFGH 为菱形. 故选:C.

【点评】本题考查了菱形的判定,菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据,常 用三种方法:①定义,②四边相等,③对角线互相垂直平分.

7.如图,?ABCD 中,对角线 AC、BD 交于点 O,点 E 是 BC 的中点.若 OE=3cm,则 AB 的长 为( )

A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm 【分析】由四边形 ABCD 是平行四边形,根据平行四边形的对角线互相平分,可得 OA=OC, 又由点 E 是 BC 的中点,易得 OE 是△ ABC 的中位线,继而求得答案. 【解答】解:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴OA=OC, ∵点 E 是 BC 的中点,OE=3cm, ∴AB=2OC=6cm. 故选 B. 【点评】 此题考查了平行四边形的性质以及三角形中位线的性质. 注意平行四边形的对角线 互相平分.

8. AB=6, 如图, 正方形 ABCD 中, 点 E 在边 CD 上, 且 CD=3DE, 将△ ADE 沿 AE 对折至△ AFE, 延长 EF 交边 BC 于点 G,连接 AG、CF.下列结论:①CE=4;②△ ABG≌△AFG;③BG=GC; ④AG∥CF.其中正确结论的个数是( )

A.1B.2C.3D.4

【分析】在直角△ ECG 中,根据勾股定理可证 BG=GC;根据翻折变换的性质和正方形的性质 可证 Rt△ ABG≌Rt△ AFG;通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF,由平行线的判定可得 AG∥CF 即可. 【解答】解:①正确, 理由: ∵正方形 ABCD 中,AB=6,点 E 在边 CD 上,且 CD=3DE, ∴CE=4, ②正确. 理由: ∵AB=AD=AF,AG=AG,∠B=∠AFG=90°, ∴Rt△ ABG≌Rt△ AFG(HL); ③正确. 理由: EF=DE= CD=2,设 BG=FG=x,则 CG=6﹣x. 在直角△ ECG 中,根据勾股定理,得(6﹣x)2+42=(x+2)2, 解得 x=3. ∴BG=3=6﹣3=GC; ④正确. 理由: ∵CG=BG,BG=GF, ∴CG=GF, ∴△FGC 是等腰三角形,∠GFC=∠GCF. 又∵Rt△ ABG≌Rt△ AFG; ∴∠AGB=∠AGF,∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF, ∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF, ∴AG∥CF; ∴正确的个数有①②③④. 故选 D

【点评】本题考查的是翻折变换的性质和正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定 理,平行线的判定,有一定的难度.

二、填空题(每小题 3 分,共 21 分) 9.使式子 有意义的 x 的取值范围是 x>﹣1 且 x≠1 .

【分析】根据分式及二次根式有意义的条件,即可得出 x 的取值范围. 【解答】解:∵式子 ∴ , 有意义,

解得:x>﹣1 且 x≠1. 故答案为:x>﹣1 且 x≠1. 【点评】 本题考查了二次根式有意义及分式有意义的条件, 关键是掌握二次根式的被开方数 为非负数,分式有意义分母不为零.

10.计算:

= 5﹣2



【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案. 【解答】解:∵2 ∴ 故答案为:5﹣2 <5, =5﹣2 . .

【点评】此题主要考查了二次根式的化简,正确掌握二次根式的性质是解题关键.

11.边长为 4 的等边三角形的面积是 4



【分析】根据等边三角形三线合一的性质可以求得高线 AD 的长度,根据 BC 和 AD 即可求得 三角形的面积. 【解答】解:如图,∵等边三角形三线合一, ∴D 为 BC 的中点,BD=DC=2, 在 Rt△ ABD 中,AB=4,BD=2, ∴AD= =2 ,

∴等边△ ABC 的面积为 BCAD= ×4×2 故答案为:4 .

=4



【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用,考查了三角形面积的计算,考查了等 边三角形各边长相等的性质,本题中根据勾股定理即可 AD 的长度是解题的关键.

12.矩形 ABCD 的两条对角线相交于 O,∠AOD=120°,AB=3cm,则 BD= 6 cm. 【分析】根据矩形性质得出 AC=BD,OA=OC= AC,BO=DO= BD,推出 OA=OB,求出 ∠AOB=60°,得出△ AOB 是等边三角形,推出 OB=AO=AB=3cm,即可得出答案.

【解答】解:

∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AC=BD,OA=OC= AC,BO=DO= BD, ∴OA=OB, ∵∠AOD=120°, ∴∠AOB=60°, ∴△AOB 是等边三角形, ∴OB=AO=AB=3cm, ∴BD=2OB=6cm, 故答案为:6. 【点评】本题考查了矩形性质和等边三角形的性质和判定的应用,注意:矩形的对角线互相 平分且相等.

13.已知菱形的边长和一条对角线的长均为 2cm,则菱形的面积为

cm2.

【分析】由四边形 ABCD 是菱形,可得菱形的四条边都相等 AB=BC=CD=AD,菱形的对角线互 相平分且相等即 AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,又因为菱形的边长和一条对角线的长均为 2cm, 易求得 OB=1cm,则可得 AC 的值,根据菱形的面积等于积的一半,即可求得菱形的面积. 【解答】解:根据题意画出图形,如图所示:

∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AB=BC=CD=AD=2cm,AC⊥BD,OA=OC,OB=OD, 又∵菱形的边长和一条对角线的长均为 2cm, ∴AB=AD=BD=2cm, ∴OB=1cm, ∴OA= ∴AC=2 cm, cm, cm2. .

∴菱形的面积为 故答案为:

【点评】此题考查了菱形的性质:菱形的对角线互相平分且垂直;菱形的四条边相等;菱形 的面积为对角线积的一半.

14.将一根 24cm 的筷子,置于底面直径为 15cm,高 8cm 的圆柱形水杯中,如图所示,设 筷子露在杯子外面的长度为 hcm,则 h 的取值范围是 7cm≤h≤16cm .

【分析】如图,当筷子的底端在 A 点时,筷子露在杯子外面的长度最短;当筷子的底端在 D 点时, 筷子露在杯子外面的长度最长. 然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出 h 的取 值范围.

【解答】解:如图,当筷子的底端在 D 点时,筷子露在杯子外面的长度最长, ∴h=24﹣8=16cm; 当筷子的底端在 A 点时,筷子露在杯子外面的长度最短, 在 Rt△ ABD 中,AD=15,BD=8, ∴AB= =17,

∴此时 h=24﹣17=7cm, 所以 h 的取值范围是 7cm≤h≤16cm. 故答案为:7cm≤h≤16cm.

【点评】本题考查了勾股定理的应用,求出 h 的值最大值与最小值是解题关键.

15.如图,△ ABC 中,AB=BC=AC=10,D 是 AB 边上的动点,E 是 AC 边的中点,将△ ADE 沿 DE 翻折得到△ A′DE,连接 BA′,则 BA′的最小值是 5 ﹣5 .

【分析】连接 BE,由等边三角形三线合一的性质可知 BE⊥AC,在△ BCE 中,由勾股定理可 求得 EC 的长,然后由翻折的性质可知 A′E=5,由三角形的三边关系可知当点 B、A′,E 在一 条直线上时,BA′有最小值,最小值=BE﹣A′E. 【解答】解:如图所示:连接 BE.

∵AB=BC=AC=10,

∴∠C=60°. ∵AB=BC,E 是 AC 的中点, ∴BE⊥AC. ∴BE= = =5 .

∵AC=10,E 是 AC 边的中点, ∴AE=5. 由翻折的性质可知 A′E=AE=5. ∵BA′+A′E≥BE, ∴当点 B、A′,E 在一条直线上时,BA′有最小值,最小值=BE﹣A′E=5 故答案为:5 ﹣5. ﹣5.

【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用,明确当点 B、A′,E 在一条直线 上时,BA′有最小值是解题的关键.

三、解答题(共 75 分) 16.(1)计算:4 (2)计算: ÷2 + × ﹣ . +4 ;

【分析】(1)先把各二次根式化为最简二次根式,然后合并即可; (2)根据二次根式的乘除法则运算. 【解答】解:(1)原式=4 =7 +2 ; +3 ﹣2 +4

(2)原式=1× × =1. 【点评】本题考查了二次根式的计算:先把各二次根式化为最简二次根式,再进行二次根式 的乘除运算,然后合并同类二次根式.

17.计算: (1)( (2)| )( ﹣5|+2+ ﹣ )﹣( +1)2 )0 + .

+( )﹣1+(9﹣

【分析】(1)原式利用平方差公式,完全平方公式化简,计算即可得到结果; (2)原式利用绝对值的代数意义,零指数幂、负整数指数幂法则,以及二次根式性质计算 即可得到结果. 【解答】解:(1)原式=10﹣7﹣2﹣2 (2)原式=5﹣ +2+ +3+1+2 = ﹣1=﹣2 +11. ;

【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

18.先化简,再求值:1﹣

÷

,其中,x=



【分析】先算除法,再算减法,最后把 x 的值代入进行计算即可. 【解答】解:原式=1﹣ =1﹣ = = 当 x= , ﹣2 时,原式= = .

【点评】 本题考查的是分式的化简求值, 分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简, 代入, 求值.许多问题还需运用到常见的数学思想,如化归思想(即转化)、整体思想等,了解这 些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助.

19.如图,在四边形 ABCD 中,AB=BC,对角线 BD 平分∠ABC,P 是 BD 上一点,过点 P 作 PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为 M,N. (1)求证:∠ADB=∠CDB; (2)若∠ADC=90°,求证:四边形 MPND 是正方形.

【分析】(1)根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ ABD≌△CBD,由全等三 角形的性质即可得到:∠ADB=∠CDB; (2)若∠ADC=90°,由(1)中的条件可得四边形 MPND 是矩形,再根据两边相等的四边形 是正方形即可证明四边形 MPND 是正方形. 【解答】证明:(1)∵对角线 BD 平分∠ABC, ∴∠ABD=∠CBD, 在△ ABD 和△ CBD 中, , ∴△ABD≌△CBD(SAS), ∴∠ADB=∠CDB;

(2)∵PM⊥AD,PN⊥CD, ∴∠PMD=∠PND=90°, ∵∠ADC=90°, ∴四边形 MPND 是矩形, ∵∠ADB=∠CDB, ∴∠ADB=45° ∴PM=MD, ∴四边形 MPND 是正方形.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正 方形的判定,解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定.

20.有一次,小明坐着轮船由 A 点出发沿正东方向 AN 航行,在 A 点望湖中小岛 M,测得 ∠MAN=30°,航行 100 米到达 B 点时,测得∠MBN=45°,你能算出 A 点与湖中小岛 M 的距 离吗?

【分析】 作 MC⊥AN 于点 C, 设 AM=x 米, 根据∠MAN=30°表示出 MC= m, 根据∠MBN=45°, 表示出 BC=MC= m 然后根据在 Rt△ AMC 中有 AM2=AC2+MC2 列出法方程求解即可. 【解答】解:作 MC⊥AN 于点 C, 设 AM=x 米, ∵∠MAN=30°, ∴MC= m, ∵∠MBN=45°, ∴BC=MC= m 在 Rt△ AMC 中, AM2=AC2+MC2, 即:x2=( +100)2+( )2, 解得:x=50+50 米, 米.

答:A 点与湖中小岛 M 的距离为 50+50

【点评】本题考查了勾股定理的应用,勾股定理不仅能在直角三角形中知两边求第三边,也 可以利用这一等量关系列出方程.

21.如图,等边△ ABC 中,AO 是∠BAC 的角平分线,D 为 AO 上一点,以 CD 为一边且在 CD 下方作等边△ CDE,连接 BE. (1)求证:△ ACD≌△BCE; (2)延长 BE 至 Q,P 为 BQ 上一点,连接 CP、CQ 使 CP=CQ=5,若 BC=8 时,求 PQ 的长.

【分析】(1)由△ ABC 与△ DCE 是等边三角形,可得 AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°, 又由∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°,即可证得∠ACD=∠BCE,所以根据 SAS 即可证得 △ ACD≌△BCE; (2)首先过点 C 作 CH⊥BQ 于 H,由等边三角形的性质,即可求得∠DAC=30°,则根据等腰 三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得 PQ 的长. 【解答】(1)证明:∵△ABC 与△ DCE 是等边三角形, ∴AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=60°, ∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°, ∴∠ACD=∠BCE, ∴△ACD≌△BCE(SAS);

(2)解:过点 C 作 CH⊥BQ 于 H,

∵△ABC 是等边三角形,AO 是角平分线, ∴∠DAC=30°, ∵△ACD≌△BCE, ∴∠PBC=∠DAC=30°, ∴在 Rt△ BHC 中,CH= BC= ×8=4, ∵PC=CQ=5,CH=4, ∴PH=QH=3, ∴PQ=6.

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形、等边三角形以及直角三角形的 性质等知识.此题综合性较强,但难度不大,解题时要注意数形结合思想的应用.

22. 用两个全等的等边三角形△ ABC 和△ ACD 拼成菱形 ABCD. 把一个含 60°角的三角尺与这 个菱形叠合,使三角尺的 60°角的顶点与点 A 重合,两边分别与 AB,AC 重合.将三角尺绕 点 A 按逆时针方向旋转. (1)当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC,CD 相交于点 E,F 时,(如图 1),通过观察 或测量 BE,CF 的长度,你能得出什么结论并证明你的结论; (2)当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC,CD 的延长线相交于点 E,F 时(如图 2),你 在(1)中得到的结论还成立吗?简要说明理由.

【分析】本题是一道开放性题,应先确定选择哪对三角形,再对应三角形全等条件求解. 【解答】解:(1)BE=CF. 证明:在△ ABE 和△ ACF 中, ∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°, ∴∠BAE=∠CAF. ∵AB=AC,∠B=∠ACF=60°,∴△ABE≌△ACF(ASA). ∴BE=CF;

(2)BE=CF 仍然成立. 证明:在△ ACE 和△ ADF 中, ∵∠CAE+∠EAD=∠FAD+∠DAE=60°, ∴∠CAE=∠DAF, ∵∠BCA=∠ACD=60°, ∴∠FCE=60°, ∴∠ACE=120°, ∵∠ADC=60°, ∴∠ADF=120°, 在△ ACE 和△ ADF 中, ∴△ACE≌△ADF, ∴CE=DF, ∴BE=CF,

【点评】三角形全等的判定是中考的热点,一般以考查三角形全等的方法为主,判定两个三 角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法, 看缺什么条件,再去证什么条件.

23.如图,点 A、F、C、D 在同一直线上,点 B 和点 E 分别在直线 AD 的两侧,且 AB=DE, ∠A=∠D,AF=DC. (1)求证:四边形 BCEF 是平行四边形, (2)若∠ABC=90°,AB=4,BC=3,当 AF 为何值时,四边形 BCEF 是菱形.

【分析】 (1)由 AB=DE,∠A=∠D,AF=DC,易证得△ ABC≌DEF,即可得 BC=EF,且 BC∥EF, 即可判定四边形 BCEF 是平行四边形; (2)由四边形 BCEF 是平行四边形,可得当 BE⊥CF 时,四边形 BCEF 是菱形,所以连接 BE, 交 CF 与点 G,证得△ ABC∽△BGC,由相似三角形的对应边成比例,即可求得 AF 的值. 【解答】(1)证明:∵AF=DC, ∴AF+FC=DC+FC,即 AC=DF. 在△ ABC 和△ DEF 中, , ∴△ABC≌△DEF(SAS), ∴BC=EF,∠ACB=∠DFE, ∴BC∥EF, ∴四边形 BCEF 是平行四边形.

(2)解:连接 BE,交 CF 于点 G, ∵四边形 BCEF 是平行四边形,

∴当 BE⊥CF 时,四边形 BCEF 是菱形, ∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC= =5,

∵∠BGC=∠ABC=90°,∠ACB=∠BCG, ∴△ABC∽△BGC, ∴ 即 = = , ,

∴CG= , ∵FG=CG, ∴FC=2CG= , = ,

∴AF=AC﹣FC=5﹣

∴当 AF= 时,四边形 BCEF 是菱形.

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形 的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题综合性较强,难度适中,注意 数形结合思想的应用,注意掌握辅助线的作法.


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