高中数学教案——等比数列前n项和第一课时

2.5 等比数列的前 n 项和(一) 教学目标 ( 一) ( 二) 1. 2. ( 三) 1. 2. 知识与技能目标 等比数列前 n 项和公式. 过程与能力目标 等比数列前 n 项和公式及其获取思路; 会用等比数列的前 n 项和公式解决一些简单的与前 n 项和有关的问题. 情感与态度目标 提高学生的推理能力; 培养学生应用意识. 等比数列前 n 项和公式的理解、推导及应用. 教学重点 教学难点 灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单的有关问题. 教学过程 一、复习引入: 1.等比数列的定义. 2. 等比数列的通项公式: an ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0) , an ? am ? q m?1 (a1 ? q ? 0) 3. { an }成等比数列 ? a n ?1 ? =q( n ? N ,q≠0) an an ≠0 4.性质:若 m+n=p+q, am ? an ? a p ? aq 二、讲解新课: (一)提出问题 :关于国际相棋起源问题 62 63 例如:怎样求数列 1,2,4,…2 ,2 的各项和? 即求以 1 为首项,2 为公比的等比数列的前 64 项的和,可表示为: S64 ? 1 ? 2 ? 4 ? 8? ? 262 ? 263 由②—①可得: S 64 ? 2 64 ? 1 ① 2 S64 ? 2 ? 4 ? 8 ? 16? ? 263 ? 264 ② 这种求和方法称为“错位相减法” , “错位相减法”是研究数列求和的一个重要方法. (二)怎样求等比数列前 n 项的和? 公式的推导方法一: 一般地,设等比数列 a1 , a2 ? a3 ,?an ?它的前 n 项和是 由? S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ?an ?S n ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? a n n ?1 ?a n ? a1 q 得? 2 n?2 n ?1 ? ?S n ? a1 ? a1 q ? a1 q ? ? a1 q ? a1 q 2 3 n ?1 n ? ?qSn ? a1 q ? a1 q ? a1 q ? ? a1 q ? a1 q ? (1 ? q)S n ? a1 ? a1q n 当 q=1 时, S n ? na1 公式的推导方法二: 由定义, ∴当 q ? 1 时, S n ? a ? an q a1 (1 ? q n ) ① 或 Sn ? 1 1? q 1? q ② a a 2 a3 ? ??? n ? q a1 a2 an?1 由等比的性质, a 2 ? a3 ? ? ? a n S ? a1 ? n ?q a1 ? a2 ? ? ? an?1 S n ? an 即 S n ? a1 ? q ? (1 ? q)S n ? a1 ? an q (结论同上) S n ? an 围绕基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比定理,导出了公式. 公式的推导方法三: S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ?an = a1 ? q(a1 ? a2 ? a3 ? ?an?1 ) = a1 ? qSn?1 = a1 ? q(S n ? an ) ? (1 ? q)S n ? a1 ? an q (结论同上) “方程”在代数课程里占有重要的地位,方程思想是应用十分广泛的一种数学思想,利用方 程思想,在已知量和未知量之间搭起桥梁,使问题得到解决. (三)等比数列的前 n 项和公式: 当 q ? 1 时, S n ? a1 (1 ? q n ) ① 1? q 或 Sn ? a1 ? a n q 1? q ② 当 q=1 时, S n ? na1 思考:什么时候用公式(1) 、什么时候用公式(2)? (当已知 a1, q, n 时用公式①;当已知 a1, q, an 时,用公式②.) 三、例题讲解 例 1:求下列等比数列前 8 项的和. (1) 1 1 1 , , ,… 2 4 8 (2) a1 ? 27, a9 ? 1 ,q ? 0 243 8 解:由 a1= 1 1 1 1 , q ? ? ? , n ? 8, 得 4 2 2 2 S8 ? 1 ? ?1? ?1 ? ? ? 2? ? ?2? 1? 1 2 ? ? ? ? ? 255. 256 例 2:某商场第一年销售计算机 5000 台,如果平均每年的售价比上一年增加 10%,那么从第一年 起,约几年内可使总销售量达到 30000 台(保留到个位)? 解:根据题意,每年销售量比上一年增加的百分率相同,所以从第一年起,每年的销售量组成一 个等比数列{an},其中 a1=5000, q ? 1 ? 10% ? 1.1, Sn ? 30000 , n 于是得到 5000(1 ? 1.1n ) ? 30000 . 1 ? 1.1 整理得 1.1 ? 1.6. 两边取对数,得 n lg1.1 ? g1.6 答:约 5 年内可以使总销售量达到 30000 台. 例 3.求数列 1 , 2 , 3 , 4 用计算器算得 n ? 5 (年). 1 2 1 4 1 8 2 1 ,.... 前 n 项的和。 16 3 n ?1 例 4:求求数列 1, 3a, 5a , 7a ,....,(2n ? 1)a 练习:教材第 58 面练习第 1 题. 三、课堂小结: 1. 等比数列求和公式:当 q = 1 时, S n ? na1 的前 n 项的和。 a ? an q 当 q ? 1 时, S n ? 1 1? q a1 (1 ? q n ) 或 Sn ? 1? q ; 2.这节课我们从已有的知识出发,用多种方法(迭加法、运用等比性质、错位相减法、方程法) 推导出了等比数列的前 n 项和公式,并在应用中加深了对公式的认识. 四、课外作业: 1.阅读教材第 55~57 页; 2.《习案》作业十七.

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