吕林根解析几何(第四版)(完整课件)(3)_图文

第一章
§1.1 向量的概念 §1.2 向量的加法 §1.3 数量乘向量 §1.4 向量的线性 关系与分解 §1.5 标架与坐标

向量与坐标
§1.6 §1.7 §1.8 §1.9 向量在轴上的射影 两向量的数量积 两向量的向量积 三向量的混合积

§1.10 三向量的双重向量积

§1.7 两向量的数量积
实例
F
?

?
s
M2

M1

一物体在常力 F 作用下沿直线从点 M 1移动 到点 M 2 ,以表示位移 s ,则力所作的功为
W ?| F || s | cos ? (其中 ? 为 F 与 s 的夹角)

启示:两向量作这样的运算,结果是一个数量.

定义1.7.1 两向量 a 和 b 的模和它们夹角
的余弦的乘积叫做 a 和 b 的数量积,记为 a ? b

或 ab ,即
a ? b ?| a || b | cos ?(a, b).

注1 由定理1.6.1,
| b | cos ?(a, b) =射影 b , | a | cos ?(a, b) =射影 b a , a

则 a ? b ?| a | 射影 b ?| b | 射影 a . a b

注2 由注1有, a ? e =射影 a . e
注3 a ? a ?| a | ? a .
2 2

定理1.7.1

a ? b ? a ? b ? 0.

证明: (?) a ? b ? cos ?(a, b) ? 0 ? a ? b ? 0.
(?) 若 a ? b ? 0 ,则 | a || b | cos ?(a, b) ? 0 .

如果 | a || b |? 0 ? a ? 0 或 b ? 0,则 a ? b .如果
| a || b |? 0 ? cos ?(a, b) ? 0 ? ?(a, b) ?

?
2

? a ? b.

数量积的运算律
定理1.7.2 数量积满足下面的运算规律 (1) 交换律 a ? b ? b ? a; (2) 结合律 (? a ) ? b ? a ? (?b ) ? ? (a ? b ), (3) 分配律 (a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c ;
2

(4) a ? a ? a ? 0 (a ? 0)

证明: 若 a, b 中有 0 ,则(1)~(4)显然成立.
若 a, b 中没有 0 ,则(1)和(4)显然成立. (2) 若? ? 0 ,则等式成立.若 ? ? 0 ,则
(? a) ? b ?| b |射影 b (? a) ?| b | ( ? 射影 b a )

? ?( | b | 射影 b a ) ? ? (a ? b) .

又 a ? (? b) ? (? b) ? a ? ? (b ? a) ? ? (a ? b), 所以
(? a ) ? b ? a ? (?b ) ? ? (a ? b ).

(3) (a ? b) ? c ?| c | 射影 c (a ? b)
?| c | (射影 c a ?射影 c b ) ?| c | 射影 c a ? | c | 射影 c b

? a ? c ? b ? c.

推论 (? a ? ?b ) ? c ? ? (a ? c ) ? ? (b ? c ).

这说明向量的数量积遵循多项式乘法.

例1 证明: 平行四边形对角线的平方和等
于各边平方和. 证明: 如图, OACB 中, 设 OA ? a, OB ? b, OC ? m,
2 2 2

B

C

O

A

BA ? n ,则有 m ? a ? b, n ? a ? b ,所以

m ? a ? 2a ? b ? b , n ? a ? 2a ? b ? b .

2

2

2

所以 m ? n ? 2a ? 2b ,即| m | ? | n | ? 2 | a | ?2 | b |
2 2 2

2

2

2

2

2

例2 证明: 如果一条直线与一个平面内的
两条相交直线都垂直, 那么它和平面内的任 何直线都垂直,即垂直平面. 证明: 设直线 n 与面 ? 内的两相交直线 a, b 垂直, c 为面 ? 内的任一直线,如图.
n

下证 n ? c .在 n, a, b, c 上分
别取非零向量 n, a, b, c ,则
?
c a
b

n ? a, n ? b ? n ? a ? 0, n ? b ? 0.

n

由于 a, b 相交,即 a, b 不共线,

由 a, b, c 共面,知存在? , ? ,使
c ? ? a ? ?b

?

c a
b


n ? c ? n(? a ? ? b) ? ? (n ? a) ? ? (n ? b) ? 0.

所以 n ? c ,即 n ? c .

例3 证明:三角形的三高交于一点.
证明: ?ABC 中,高AP, BP交 于点 P ,下证 PC ? AB .设 PA ? a,
PB ? b, PC ? c .则 AB ? b ? a, BC ? c ? b, CA ? a ? c.
P B
b

A

a c

C

由于 PA ? BC , PB ? CA ,则
a ? (c ? b) ? 0, b ? (a ? c) ? 0.

所以
a ? c ? a ? b ? b ? a ? b ? c.
a

A

即 (b ? a) ? c ? 0 .所以
AB ? PC

P B
b

c

C

所以三高交于一点.

直角坐标系下数量积的坐标运算
定理1.7.3 设 a ? X1i ? Y1 j ? Z1 k , b ? X 2 i ? Y2 j ? Z 2 k , 则 a ? b ? X 1 X 2 ? YY 1 2 ? Z1Z 2 . 证明: a ? b ? ( X1 i ? Y1 j ? Z1 k )( X 2 i ? Y2 j ? Z 2 k )
? X 1 X 2 i ? X 1Y2 i ? j ? X 1Z1 i ? k ?Y1 X 2 j ? i ? Y1Y2 j ? Y1Z 2 j ? k ? Z1 X 2 k ? i ? Z1Y2 k ? j ? Z1Z 2 k .
2 2 2

而 i, j, k 是两两垂直的单位向量,则有
i ? j ? j ? i ? 0, j ? k ? k ? j ? 0, i ? k ? k ? i ? 0,
i ?| i | ? 1,
2 2

j ?| j | ? 1, k ?| k | ? 1.
2 2

2

2

所以
a ? b ? X 1 X 2 ? YY 1 2 ? Z1Z 2 .

推论 设 a ? X i ? Y j ? Z k ,则
X ? a ? i, Y ? a ? j , Z ? a ? k .

空间两点距离
由 a ?| a | ?| a |? a ,这样有
2 2 2

定理1.7.4 设 a ? X i ? Y j ? Z k ,则
| a |? a ? X ? Y ? Z .
2 2 2 2

证明: 由定理1.7.3,有
a ? X ?Y ? Z .
2 2 2 2

所以 | a |? a ? X ? Y ? Z .
2 2 2

2

定理1.7.5 空间两点 P 1 ( x1 , y1 , z1 ), P 2 ( x2 , y2 , z2 ) 间的距离为
d ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 ) .
2 2 2

证明: 因为
PP 1 2 ? {x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1},

所以
2 2 2 d ?| PP | ? ( x ? x ) ? ( y ? y ) ? ( z ? z ) 1 2 2 1 2 1 2 1 .

向量的方向余弦
向量的方向角: 向量与坐标轴所成的角. 向量的方向余弦:方向角的余弦. 定理1.7.6 向余弦是 非零向量 a ? X i ? Y j ? Z k 的方
X X ?Y ? Z
2 2 2

cos ? ? cos ? ?

, ,

Y X 2 ?Y2 ? Z2

cos ? ?

Z X 2 ?Y2 ? Z2

.

且 cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1 ,其中? , ? , ? 分别为 向量 a 与 x 轴, y 轴, z 轴的交角. 证明: 因为 a ? i ?| a | ? cos ? ,且 a ? i ? Z ,则
cos ? ? X X 2 ?Y2 ? Z2 .

同理可证其余两式.

注:由该定理知模和方向余弦可决定向量.

两向量的交角
定理1.7.7 设非零向量 a ? X1 i ? Y1 j ? Z1 k ,
b ? X 2 i ? Y2 j ? Z 2 k ,则
a ?b cos ?(a, b) ? | a || b |

?

X 1 X 2 ? YY 1 2 ? Z1Z 2 X ?Y ? Z
2 1 2 1 2 1

X 2 ? Y2 ? Z 2
2 2

2

证明: 由
a ? b ?| a || b | cos ?(a, b), a ? b ? X 1 X 2 ? YY 1 2 ? Z1Z 2 ,
2 2 2 | b | ? X ? Y ? Z 2 2 2 , | a |? X ? Y ? Z , 2 1 2 1 2 1

立得结论.

推论 a ? X1 i ? Y1 j ? Z1 k 与 b ? X 2 i ? Y2 j ? Z 2 k 互
相垂直的充要条件是 X1 X 2 ? YY 1 2 ? Z1Z 2 ? 0.

例4 已经三点 A(1,0,0), B(3,1,1), C (2,0,1) ,且
BC ? a, CA ? b, AB ? c ,求(1) a 与 b 的夹角,(2)

a 在 c 上的射影.

解: (1)由 a ? BC ? {?1, ?1,0}, b ? CA ? {?1,0, ?1} , 则
a ? b ? 1,| a |? 2,| b |? 2.

a ?b 1 ? ? ? ?(a, b) ? . 所以 cos ?(a, b) ? | a || b | 2 3

(2) 由射影 a ? a ? c ,而 c
|c|

c ? AB ? {2,1,1} ?| c |? 2 ? 1 ? 1 ? 6.
2 2 2

a ? c ? {?1, ?1,0} ? {2,1,1} ? ?3.

所以
a ? c ?3 6 射影 c a ? ? ?? . 2 |c| 6

例5

利用两向量的数量积证明柯西-施瓦

茨(Cauchy-Schwarz)不等式
(? aibi ) 2 ? ? ai 2 ? ? bi 2 .
i ?1 i ?1 i ?1 3 3 3

证明: 令 a ? {a1 , a2 , a3}, b ? {b1 , b2 , b3} ,由
a ? b ?| a || b | cos ?(a, b) ?| a || b |

即得结论.


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