山东高考论坛新课标数学文一轮教师备课课件2.12导数的应用(二)_图文

掌 握 3 个 核 心 考 向 挖 掘 1 大 技 法 第十二节 导数的应用(二) 课 堂 限 时 检 测 [考情展望] 1.利用导数解决生活中的优化问题 .2.导数与方 程、函数零点、不等式等知识交汇命题,综合考查分析问题和解 决问题的能力. 考向一 [041] 导数在方程(函数零点)中的应用 (2014· 长沙模拟)已知函数 f(x)=ex(x2+ax-a),其中 a 是常数. (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若存在实数 k,使得关于 x 的方程 f(x)=k 在[0,+∞)上 有两个不相等的实数根,求 k 的取值范围. 【思路点拨】 (1)先求切点、切线斜率,再求切线方程; (2)利用导数判断函数 f(x)在[0,+∞)上的变化情况,数形结 合求解. 【尝试解答】 (1)由 f(x)=ex(x2+ax-a)可得 f′(x)=ex[ x2+(a+2)x]. 当 a=1 时,f(1)=e,f′(1)=4e. 所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y-e=4e(x-1), 即 y=4ex-3e. (2)令 f′(x)=ex[x2+(a+2)x]=0, 解得 x=-(a+2)或 x=0. 当-(a+2)≤0,即 a≥-2 时,在区间[0,+∞)上,f′(x)≥0, 所以 f(x)是[0,+∞)上的增函数, 所以方程 f(x)=k 在[0,+∞)上不可能有两个不相等的实数根. 当-(a+2) >0,即 a<-2 时,f′(x),f(x)随 x 的变化情况 如下表: x f′ (x ) f(x) 0 0 -a (0,-(a+2)) - ? -(a+2) 0 a+ 4 + ea 2 (-(a+2),+∞) + ? 由上表可知函数 f(x)在[0,+∞)上的最小值为 f(-(a+2))= a+4 a+ 2 . e 因为函数 f(x)是(0,-(a+2))上的减函数,是(-(a+2),+ ∞)上的增函数,且当 x≥-a 时,有 f(x)≥e-a(-a)>-a,又 f(0) =-a. 所以要使方程 f(x)=k 在[0,+∞)上有两个不相等的实数根, k ?a+4 ? ? 的取值范围是? a+2 ,-a? ?. e ? ? 规律方法 1 1.在解答本题(2)时应判断 f(x)>f(0)是否成立, 这是容易忽视的地方. 2.该类问题的求解,一般利用导数研究函数的单调性、极值 等性质,并借助函数图象,根据零点或图象的交点情况,建立含 参数的方程(或不等式)组求解,实现形与数的和谐统一. 对点训练 a (2014· 威海模拟)设 f(x)=ln x+ 2. x (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)的零点个数. 【解】 (1)f(x)的定义域是(0,+∞) 2 x -2a 1 2a ∵f′(x)=x- 3 = x x3 当 a≤0 时,f′(x)>0,(0,+∞)是 f(x)的增区间, 当 a>0 时,令 f′(x)=0,x=± 2a,(负舍去) 当 0<x< 2a时,f′(x)<0;当 x> 2a时,f′(x)>0 所以(0, 2a)是 f(x)的减区间,( 2a,+∞)是 f(x)的增区间, 综合:当 a≤0 时,f(x)的增区间是(0,+∞), 当 a>0 时,f(x)的减区间是(0, 2a),f(x)的增区间是( 2a, +∞). (2)由(1)知,当 a≤0 时,f(x)在(0,+∞)上是增函数,当 a= 0 时有零点 x=1, 当 a<0 时,f(ea)=a(e-2a+1)<0,f(e-a)=a(e2a-1)>0,(或 当 x→+0 时,f(x)→-∞,当 x→+∞时,f(x)→+∞), 所以 f(x)在(0,+∞)上有一个零点, 当 a>0 时,由(1)f(x)在(0, 2a)上是减函数,f(x)在( 2a,+ ∞)上是增函数, 所以当 x= 2a时,f(x)有极小值, 1 即最小值 f( 2a)= (ln 2a+1). 2 1 1 当 (ln 2a+1)>0,即 a> 时 f(x)无零点, 2 2e 1 1 当 (ln 2a+1)=0,即 a= 时,f(x)有一个零点, 2 2e 1 1 当 (ln 2a+1)<0,即 0<a< 时 f(x)有 2 个零点. 2 2e 1 1 综上:当 a> 时 f(x)无零点,当 a= 或 a=0 时 f(x)有一个 2e 2e 1 零点,当 0<a< 时 f(x)有 2 个零点. 2e 考向二 [042] 导数在不等式中的应用 2 (2013· 辽宁高考)(1)证明:当 x∈[0,1]时, x≤sin x≤x; 2 3 x (2)若不等式 ax+x2+ +2(x+2)cos x≤4 对 x∈[0,1]恒成立, 2 求实数 a 的取值范围. 【思路点拨】 2 利用构造法,分别判断 sin x 与 x,sin x 与 2 x 的大小关系;利用比较法或构造函数,通过导数求解范围. 【尝试解答】 2 cos x- . 2 当 ? ? π? π? x∈?0, ?时,F′(x)>0,F(x)在?0, ?上是增函数; 4? 4? ? ? (1)证明:记 F(x)=sin x- 2 x,则 F′(x)= 2 当 ?π ? ?π ? x∈? ,1?时,F′(x)<0,F(x)在? , 1?上是减函数,又 ?4 ? ?4 ? F(0) 2 = 0, F(1)>0,所以当 x∈[0,1]时, F(x)≥0,即 sin x≥ x. 2 记 H(x)= sin x- x,则当 x∈(0,1)时, H′(x)=cos x- 1<0, 所以 H(x)在[0,1]上是减函数,则 H(x)≤H(0)=0,即 sin x≤ x. 2 综上, x≤ sin x≤x, x∈ [0,1]. 2 (2)法一:因为当 x∈[0

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