【高考数学】2018-2019高三理科数学二轮:专题四立体几何第一讲 空间几何体的三视图、表面积和体积-含解析

专题四 第一讲 立体几何 空间几何体的三视图、表面积和体积 1. 由直观图判断三视图或由三视图想象直观图,以三视图为载 体,考查面积、体积的计算. 2.空间几何体的表面积与体积的计算,通常以几何体为载体与 球进行交汇考查,或蕴含在两几何体的“接”或“切”形态中. 1.(2016· 全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三 视图,则该几何体的表面积为( ) A.20π B.24π C.28π D.32π [解析] 由三视图可得圆锥的母线长为 S 22+?2 3?2=4,∴S 圆锥 侧=π×2×4=8π.又 圆柱侧=2π×2×4=16π,S 圆柱底=4π,∴该几何 体的表面积为 8π+16π+4π=28π.故选 C. [答案] C 2.(2017· 全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和 左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为 2,俯视 图为等腰直角三角形. 该多面体的各个面中有若干个是梯形, 这些梯 形的面积之和为( ) A.10 B.12 C.14 D.16 [ 解析 ] 该几何体由上方的三棱锥 A - BCE 和下方的三棱柱 BCE-B1C1A1 构成,其中面 CC1A1A 和面 BB1A1A 是梯形,则梯形的 ?2+4?×2 面积之和为 2× =12.故选 B. 2 [答案] B 3.(2017· 浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该 几何体的体积(单位:cm3)是( ) π A. +1 2 3π C. +1 2 π B. +3 2 3π D. +3 2 [解析] 由三视图可知该几何体是由底面半径为 1 cm, 高为 3 cm 的半个圆锥和三棱锥 S-ABC 组成的,如图,三棱锥的高为 3 cm, 1 1 底面△ABC 中,AB=2 cm,OC=1 cm,AB⊥OC.故其体积 V= × 3 2 ?π ? 1 1 ×π×12×3+ × ×2×1×3=?2+1?cm3.故选 A. 3 2 ? ? [答案] A 4. (2016· 全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1 内有一个体 积为 V 的球.若 AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则 V 的最大值 是( ) A.4π B. 9π 32π C.6π D. 2 3 [解析] 由题意可得若 V 最大,则球与直三棱柱的部分面相切, 若与三个侧面都相切,可求得球的半径为 2,球的直径为 4,超过直 三棱柱的高,所以这个球放不进去,则球可与上下底面相切,此时球 3 4 4π 27 9π 的半径 R= ,该球的体积最大,Vmax= πR3= × = .故选 B. 2 3 3 8 2 [答案] B 1 5. (2017· 山东卷)由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三 4 视图如下图,则该几何体的体积为________. [解析] 由三视图得该几何体的直观图(如图). 其中, 长方体的长, 宽, 高分别为 2,1,1, 圆柱体的底面半径为 1, 1 π 高为 1.所以该几何体的体积 V=2×1×1+ ×π×12×1=2+ . 2 2 [答案] 2+ π 2 考点一 空间几何体的三视图和直观图 1.三视图的排列规则 俯视图放在正(主)视图的下面,长度与正(主)视图的长度一样, 侧(左)视图放在正(主)视图的右面, 高度与正(主)视图的高度一样, 宽 度与俯视图的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等”. 2.原图形面积 S 与其直观图面积 S′之间的关系 S′= 2 S. 4 [对点训练] 1. (2017· 山东部分重点高中模拟)某几何体的正(主)视图和侧(左) 视图如图所示,则该几何体的俯视图不可能是( ) [解析] 由正(主)视图和侧(左)视图可知, 该几何体的顶点的正投 影只可能位于底面的某条边上,而不可能位于底面内部,能满足此要 求的有 A,B,D,故选 C. [答案] C 2.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为棱 BB1 的中点(如图),用 过点 A,E,C1 的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的正 视图为( ) [解析] 过点 A,E,C1 的平面与棱 DD1 相交于点 F,且 F 是棱 DD1 的中点, 截去正方体的上半部分, 剩余几何体的直观图如图所示, 则其正视图应为选项 C. [答案] C 3.(2017· 北京卷)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最 长棱的长度为( ) A.3 2 B.2 3 C.2 2 D.2 [解析] 由三视图得该四棱锥的直观图如图中 S-ABCD 所示, 由图可知,其最长棱为 SD,且底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,SB ⊥面 ABCD,SB=2,所以 SD= 22+22+22=2 3.故选 B. [答案] B 4. 一水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 ( 如图所 示),∠ABC=45° ,AB=AD=1,DC⊥BC,则该平面图形的面积为 ________. [解析] 如图,在直观图中,过点 A 作 AE⊥BC,垂足为 E, 则在 Rt△ABE 中,AB=1,∠ABE=45° ,∴BE= 而四边形 AECD 为矩形,AD=1, 2 . 2 ∴EC=AD=1,∴BC=BE+EC= 由此可还原原图形如图. 2 +1. 2 在原图形中,A′D′=1,A′B′=2, B′C′= 2 +1, 2 且 A′D′∥B′C′,A′B′⊥B′C′, 1 ∴该平面图形的面积为 S= (A′D′+B′C′)· A′B′ 2 1 ? 2 2? = ×?1+1+ ?×2=2+ . 2 ? 2 2? [答案] 2+ 2 2 由三视图还原到直观图的 3 步骤 (1)根据俯视图确定几何体的底面. (2) 根据正 ( 主 ) 视图或侧 ( 左 ) 视图确定几何体的侧棱与侧面的特 征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置. (3)确

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