山东高考论坛新课标数学文一轮教师备课课件11.3直接证明与间接证明_图文

抓 住 2 个 基 础 知 识 点 挖 掘 1 大 技 法 第三节 直接证明与间接证明 掌 握 3 个 核 心 考 向 课 堂 限 时 检 测 [ 考情展望 ] 1.以不等式、立体几何、解析几何、函数与方 程.数列知识为载体,考查分析法、综合法和反证法的原理 .2.结 合具体问题考查学生运用上述三种方法解决问题的能力. 一、直接证明 内 容 综合法 分析法 利用已知条件和某些数学 定 定义、公理、定理等,经过 义 一系列的推理论证 ________, 最后推 成立 导出所要证明的结论_____ 实 质 由因导果 证明的结论 从要______________ 出发,逐 充分条件 , 步寻求使它成立的_________ 直至最后,把要证明的结论归 结为判定一个明显成立的条件 执果索因 实质 框图 表示 由因导果 P?Q1 → Q1?Q2 →?→ Qn?Q 执果索因 Q?P1 → P1?P2 得到一个明显 →?→ 成立的条件 二、间接证明 不成立 即在原命题的条件下,结论 反证法:假设原命题 ________( 矛盾 .因此说明假设错误, 不成立),经过正确的推理,最后得出______ 从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法. 反证法中的“矛盾”所包含的层面: (1)与已知条件矛盾; (2)与假设矛盾; (3)与定义、公理、定理矛盾; (4)与事实矛盾. 1 .用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于 60° ”时,应假设( ) A.三个内角都不大于 60° B.三个内角都大于 60° C.三个内角至多有一个大于 60° D.三个内角至多有两个大于 60° 【答案】 B 2 .命题“对于任意角 θ, cos4θ- sin4θ = cos 2θ”的证明: “cos4θ - sin4θ = (cos2θ - sin2θ)(cos2θ + sin2θ) = cos2θ - sin2θ = cos 2θ”过程应用了( A.分析法 B.综合法 C.综合法、分析法综合使用 D.间接证明法 ) 【解析】 【答案】 结合推理及分析法和综合法的定义可知,B正确. B 3.要证:a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明( A.2ab-1-a2b2≤0 ?a+b?2 C. -1-a2b2≤0 2 ) 4 4 a + b B.a2+b2-1- ≤0 2 D.(a2-1)(b2-1)≥0 【解析】 a2+b2-1-a2b2≤0 ?(a2-1)(b2-1)≥0. 【答案】 D 4.用反证法证明命题“如果 a>b,那么 a> b时,假设的 内容是________. 【解析】 ≤ b”. 3 结合反证法的原理可知,假设的内容是 “ a 3 3 3 【答案】 3 a≤ b 3 考向一 [170] 综合法 已知 a,b,c 为正实数,a+b+c=1,求证:a2+b2 1 +c ≥ . 3 2 【思路点拨】 c2≥ 2ac 求证. 法二 法一 利用 a2+ b2≥ 2ab, b2+ c2≥ 2bc, a2+ 1 1 1 设 a= + α,b= + β,c= + γ,则 α+ β+ γ= 0,代入 3 3 3 求证便可. 【尝试解答】 法一 ∵ a+ b+ c=1, ∴ (a+b+c)2=a2+ b2+c2+ 2ab+ 2ac+2bc ≤ a2+b2+c2+a2+ b2+a2+ c2+b2+c2= 3(a2+b2+c2) 2 2 2 1 ∴a +b +c ≥ . 3 1 1 1 法二 设 a= +α,b= + β,c= +γ. 3 3 3 则由 a+ b+ c=1 可知 α+ β+γ= 0 ?1 ?2 ?1 ? 2 ?1 ?2 2 2 2 ∴ a +b +c =? + α? +? + β? +? +γ? ?3 ? ?3 ? ?3 ? 1 2 = + (α+β+γ)+ α2+β2+ γ2 3 3 1 1 2 2 2 = +α +β +γ ≥ . 3 3 规律方法 1 1.综合法是“由因导果”的证明方法, 它是一种 从已知到未知?从题设到结论?的逻辑推理方法, 即从题设中的已知 条件或已证的真实判断?命题?出发, 经过一系列的中间推理, 最后 导出所要求证结论的真实性. 2.综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理. 对点训练 (2013· 安徽高考改编)设数列{an}满足 a1=2,a2+ * ? ? ? ? a - a + a + + a4=8,且对任意 n∈N ,函数 f(x)= n n 1 n 2? ?x+an+1cos x -an+2sin x 满足 ?π? f′?2 ?=0. ? ? 求证:数列{an}是等差数列. 【证明】 由题设可得 f′(x)=an-an+1+an+2-an+1sin x-an +2 cos x. 对任意 n∈N * ?π? ,f′?2 ?=an-an+1+an+2-an+1=0, ? ? 即 an+1-an=an+2-an+1,故{an}为等差数列. 考向二 [171] 分析法 1 1 1 已知 a>0, - >1,求证: 1+a> . b a 1-b 【思路点拨】 从条件难以向结论转化.转换角度从结论出 发,寻找使结论成立的充分条件. 【尝试解答】 1 1 由已知 - >1 及 a>0 可知 0<b<1, b a 1 要证 1+a> , 1-b 只需证 1+a· 1-b>1, 只需证 1+a-b-ab>1, a-b 1 1 只需证 a-b-ab>0 即 >1,即 - >1. ab b a 这是已知条件,所以原不等式得证. 规律方法 2 1.对于无理不等式,常用分析法证明.通过反推, 逐步寻找结论成立的充分条件,正确把握转化方向是使问题顺利 获解的关键. 2.对于较复杂的不等式,通常用分析法探索证明途径,然后 用综合法加以证明,分析法的特点是:从“未知

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