广东省揭阳一中2012-2013学年高二下学期第一次阶段考数学文试题

揭阳一中 2012—2013 学年度高二级第二学期第一次阶段考试

文科数学试卷
(本试卷共 20 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟.)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.)

1.命题 p : ?x ? R, x ? 0 ,则 ?p 是

A. ?x0 ? R, x0 ? 0 C. ?x0 ? R, x0 ? 0 2. 函数 f ( x) ? x3 ? 3x 的递减区间是

B. ?x0 ? R, x0 ? 0 D. ?x ? R, x ? 0

A. ???? ? ?,?

6 2

????



????

6 2

,??

????

B. ?? 1,1?

C. ?? ?,?1?或 ?1,???

D.

???? ?

6, 2

6 2

????

3. 把红,黄,蓝,白 4 张纸牌随机地分发给甲,乙,丙,丁四个人,每人一张,则事件"甲

分得红牌"与事件"丁分得红牌"是





A.不可能事件 B.互斥但不对立事件 C.对立事件 D.以上答案都不对

4. 过抛物线 y2 ? 4x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x1, y1) 、 Q(x2 , y2 ) 两点,如果

x1 ? x2 ? 6,则 PQ ? ( )

A.8

B.9

C.10

D.11

5. 将一枚质地均匀的骰子抛掷一次,出现“正面向上的点数为 3”的概率是( )

A. 1 3

B. 1 4

C. 1 5

D. 1 6

6.曲线 y ? x4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为( )

A. x ? 4 y ? 3 ? 0 B. x ? 4 y ? 5 ? 0

C. 4x ? y ? 3 ? 0 D. 4x ? y ? 3 ? 0

?2x ? y ? 2 ? 0

7.设实数 x,

y

满足

? ?

y

?

2x ? 2

,则 x2 ? y2 的取值范围是( )

?? y ? 2

A.

? ??

4 5

,8???

? ? B. 1,2 2

C. ?1,8?

D.

? ? ?

2

5 5

,2

? 2?
?

8.已知焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程是 y ? ? 3x ,则双曲线的离心率是( )

A. 2 3 3

B. 2

C. 4

D. 4

3

9.

已知 a1, x, y, a2 成等差数列,

b1

,

x,

y,

b2

成等比数列.则

?a1 ? a2
b1b2

?2

? 2 的取值范围是(



A. ?0,2? B. ?? 2,0? ? ?0,2? C. ?? ?,?2?? ?2,??? D. ?? ?,?1?? ?1,???

10.设三次函数 f (x) 的导函数为 f ?(x) ,函数 y ? x ? f ?(x) 的图象的一部分如图所示,则正确

的是

A. f (x) 的极大值为 f ( 3) ,极小值为 f (? 3)

B. f (x) 的极大值为 f (? 3) ,极小值为 f ( 3) C. f (x) 的极大值为 f (3) ,极小值为 f (?3) D. f (x) 的极大值为 f (?3) ,极小值为 f (3)

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)

11.在一个小组中有 5 名女同学和 4 名男同学,从中任意地挑选 2 名同学担任交通安全宣传志

愿者,那么选到的两名都是女同学的概率是



12.若函数 f (x) ? x2 ? a 在 x ? 1 处取极值,则 a ?



x ?1

13.已知双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? 0,b

?

0) 的一条渐近线方程是

y

?

3x ,它的一个焦点在抛

物线 y2 ? 8x 的准线上,则双曲线的方程为



14. 过原点作曲线 y=ex 的切线,则切点的坐标为

, 切线的斜率为

.

三、解答题(本题共 6 小题,第 15—16 题每小题 12 分,第 17—20 题每小题 14 分,满分 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

15.(12 分)将 A、B 两枚骰子各抛掷一次,观察向上的点数,问: (I)共有多少种不同的结果? (II)两枚骰子点数之和是 3 的倍数的结果有多少种? (III)两枚骰子点数之和是 3 的倍数的概率为多少?

16.(12

分)设数列{an} 的前

n

项和为

Sn

,点

(n,

Sn n

)

(n ? N ? ) 均在直线

y

?

x?

1 2

上.

(1)求数列{an} 的通项公式;(2)设 bn ? 3an ,试证明数列{bn} 为等比数列.

17.(14 分)已知倾斜角为 60 的直线 L 经过抛物线 y2 ? 4x 的焦点 F,且与抛物线相交于 A 、 B 两点,其中 O 坐标原点. (1)求弦 AB 的长; (2)求三角形 ABO 的面积.
18. (14 分)已知函数 f (x) ? x3 ? bx 2 ? ax ? d 的图象过点 P(0,2), 且在点 M(-1,f(-1))处的切线方程为 6x ? y ? 7 ? 0 .
(Ⅰ)求函数 y ? f (x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 y ? f (x) 的单调区间.
19.(14 分)设 a 为实数, 函数 f (x) ? x3 ? x 2 ? x ? a. (Ⅰ)求 f (x) 的极值. (Ⅱ)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y ? f (x)与x 轴仅有一个交点.
20. (14 分)已知 a 为实数, f (x) ? (x 2 ? 4)(x ? a).
(1)若 f '(?1) ? 0 ,求 f (x) 在??2, 2? 上最大值和最小值; (2)若 f (x) 在 ???,? 2? 和?2,? ?? 上都是递增的,求 a 的取值范围。

揭阳一中 2012—2013 学年度高二级第二学期第一次阶段考试 文 科 数 学答 题 卷
座位号:

题次 一



15

16

17

18

19

20

得分

总分

一.选择题答题表(每小题 5 分,共计 50 分)

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

二.填空题答题栏(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

11._______________________

12._______________________

13._______________________

14._______________________

三.解答题(本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(12 分)

16.(12 分)

17.(14 分) 18.(14 分)
(第 19、20 题请在背面作答)

揭阳一中 2012—2013 学年度高二级第二学期第一次阶段考试
文科数学试卷参考答案
一、选择题:(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.本题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分)

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案 A

B

B

A

D

D

A

B

C

C

二、填空题:(本题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)

11. 5 18

12. 3

13. x2 ? y2 ? 1 3

14. (1,e), e

三、解答题:(本题共 6 小题,第 15—16 题每小题 12 分,第 17—20 题每小题 14 分,满分 80

分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

15.(本小题满分 12 分)

解: (I) 共有 6 ? 6 ? 36 种结果

………………4 分

(II)若用(a,b)来表示两枚骰子向上的点数,则点数之和是 3 的倍数的结果有:

(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(4,5),(5,4),

(3,6),(6,3),(6,6)共 12 种.

………………8 分

(III)两枚骰子点数之和是 3 的倍数的概率是:P= 12 ? 1 . 36 3

………12 分

16.(12 分)

解:(1)依题意得,

Sn n

?

n

?

1 2

,



Sn

? n2

? 1n. 2

……………(2 分)

当 n≥2 时,

an

?

Sn

?

Sn?1

?

(n2

?

1 2

n)

?

???(n

? 1)2

?

1 2

(n

? 1) ???

?

2n

?

1 2

;

……(6 分)



n=1

时,

a1

?

S1

? 12

?

1 2

?1 ?

3 2

?

2?1?

1 2

.

………………(7 分)

所以

an

?

2n

?

1 2

(n? N*) .

………………(8 分)

(2)证明:由(1)得 bn

? 3an

2n?1
?3 2



……………………(9 分)

2(n?1)? 1



bn?1 bn

3

2

?

2n?1

32

? 32

?9,

………………(11 分)

∴ {bn} 为等比数列.

………………(12 分)

17. (14 分) 解:(1)由题意得:直线 L 的方程为 y ? 3(x ?1) , ………………(2 分)

代入 y2 ? 4x ,得: 3x2 ?10x ? 3 ? 0 .

………………(4 分)

设点 A(x1, y1) , B(x2 , y2 ) ,则:

x1

?

x2

?

10 3

.

由抛物线的定义得:弦长

AB

?

x1

?

x2

?

p

? 10 3

? 2 ? 16 3

.

………………(6 分) ………………(9 分)

?3

(2)点 O 到直线 AB 的距离 d ?

?

3,

3?1 2

………………(12 分)

所以三角形 OAB 的面积为 S ? 1 AB ? d ? 4 3 .

2

3

………………(14 分

18. (14 分)解:(Ⅰ)由 f (x) 的图象经过 P(0,2),知 d=2,所以 f (x) ? x3 ? bx 2 ? cx ? 2,

f ?(x) ? 3x2 ? 2bx ? c.

由在 M (?1, f (?1)) 处的切线方程是 6x ? y ? 7 ? 0 ,知

? 6 ? f (?1) ? 7 ? 0,即f (?1) ? 1, f ?(?1) ? 6.

?

?3 ? ??? 1

2b ? c ?b?c

? ?

6, 2?

1.即???b2b??c

c ? 3,解得b ? 0,

?

c

?

?3.

故所求的解析式是 f (x) ? x3 ? 3x 2 ? 3x ? 2.

--------8 分

(Ⅱ) f ?(x) ? 3x2 ? 6x ? 3. 令3x2 ? 6x ? 3 ? 0,即x2 ? 2x ?1 ? 0.

解得 x1 ? 1 ? 2, x2 ? 1 ? 2. 当 x ? 1 ? 2,或x ? 1 ? 2时, f ?(x) ? 0; 当1 ? 2 ? x ? 1 ? 2时, f ?(x) ? 0.

故f(x ) ? x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 2 的增区间是(??,1 ? 2)和 (1 ? 2,??) ,

减区间是 (1 ? 2,1 ? 2) .

--------14 分

19. (14 分) 解:(I) f '(x) =3 x2 -2 x -1 若 f '(x) =0,则 x ==- 1 , x =1 3
当 x 变化时, f '(x) , f (x) 变化情况如下表:

x

(-∞,- 1 ) - 1

(- 1 ,1)

1

(1,+∞)

3

3

3

f '(x)

+

0



0

+

f (x)

极大值

极小值

∴ f (x) 的极大值是 f (? 1) ? 5 ? a ,极小值是 f (1) ? a ?1 --------8 分 3 27
(II)由(I)可知,取足够大的正数时,有 f (x) >0,取足够小的负数时有 f (x) <0,
结合 f (x) 的单调性可知:

5 ? a <0,或 a -1>0 时,曲线 y = f (x) 与 x 轴仅有一个交点, 27 ∴当 a ? (??, ? 5 ) ∪(1,+∞)时,曲线 y = f (x) 与 x 轴仅有一个交点。--------14 分
27

20. (14 分) 解:(1) f ' (x) ? 3x 2 ? 2ax ? 4 ,由 f ' (?1) ? 0, 得 3 ? 2a ? 4 ? 0 ? a ? 1 , 2
………………………………………………3 分
此时 f (x) ? (x2 ? 4)(x ? 1), f '(x) ? 3x2 ? x ? 4 ? ?3x ? 4?? x ?1? …… 4 分
2 令 f ' (x) ? 0, 得 x ? ?1或 4 . ………………………………………………5 分
3
当 x 变化时, f ' (x), f (x) 的变化情况如下表:

x f ' (x) f (x)

? 2 (?2,?1) ?1



0

0



极大值 9

2

(?1, 4)

4

3

3



0

↘ 极小值 ? 50 27

( 4 ,2) 2 3

↗0

?

f (x)max

?

f (?1) ?

9, 2

f (x)min

?

f ( 4) ? ? 50 . 3 27

……………… 8 分

(2) f ' (x) ? 3x 2 ? 2ax ? 4 的图象为开口向上且过点(0,? 4)的抛物线。… 9 分

? f (x) 在 ?? ?,? 2?和 ?2,? ??上都是递增的,

?当 x ? ?2 或 x ? 2 时, f ' (x) ? 0 恒成立, ………………………………11 分



? ? ?

f' f

(?2) ? 0 ' (2) ? 0

?

?4a ? 8 ??8 ? 4a

? ?

0 0

?

?2

?

a

?

2.

故 a 的取值范围为 ?? 2,2?.

…………………………………………………14 分


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