2019届高三数学上学期期中试题文

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2018-2019-1 学期高三年级期中考试试题 数学(文 科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 请将答案填在答题卡上.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的)

1.若全集

,则集合

等于( )

A. 2. 若
A. 3 曲线
A.

B.

C.

D.





的充分不必要条件,则 a 的取值范围是( )

B.

C.

D.

在点(0,1)处的切线方程是( )

B.

C.

D.

4. 给出如下四个命题: ①若“ 且 ”为假命题,则 、 均为假命题;

②命题“若 ,则

”的否命题为“若 ,则

”;

③命题“

”的否定是“

”;

④“

”是“

”的充分必要条件. 其中正确的命题个数是( )

A.4

B.3

C.2

D.1

5. 已知数列 为等差数列,若

,则

()

A.

B.

C.

D.

6. 函数

是( )

A.最小正周期为 的偶函数

B.最小正周期为 的奇函数

C.最小正周期为 的偶函数

D.最小正周期为 的奇函数

7. 已知 A.4

,以 A 为定义域,以 B 为值域的函数可以建立的个数是( )

B.5

C.6

D.8

-1-

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8. △ABC 中,点 D 在边 AB 上,CD 平分∠ACB,若

A.

B.

C.

9. 若 cos

,则 sin2 =( )

A. 10. 函数

B.

C.

的图象大致是( )



()

D.

D.

11. 数列 的前 项和为 ,若 ,

A.

B.

,则 a6 =( C.

) D.

12. 已知函数

是 上的偶函数,且满足

,在[0,5]上有且只有

在[–2013,2013]上的零点个数为( )

A.808

B.806

C.805

D.804

,则

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13.等差数列 的前 11 项和

,则

.

14.已知向量 15. 函数

为非零向量,若

,则

.

(其中 >0, < 的图

示,为了得到

的图象,只需将 f(x)的图



个单位长度.

16. 定 义 运 算

.令

.当

时,



.

象如图所 象向右平
的最大值

-2-

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三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.)
(一)必考题:共 60 分. 17.(本小题满分 12 分)



中,角 、 、 的对边分别为 、 、 ,

.

(1)求角 的大小;

(2)若



,求 的值.

18.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥

中,

平面

P


底面

是菱形,





(1)求证: (2)若

平面



.求棱锥

的高.

D A
C

B

19.(本小题满分 12 分) 某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生作为样本,将他们的期中考试数学成绩(满分 100 分,成绩 均为不低于 40 分的整数)分成六组: [40,50), [50,60), , [90,100)后得到如图的频率分布直方图. (1)求图中实数 a 的值; (2)若该校高一年级共有学生 500 人,试估计该校高一年级在这次考试中成绩不低于 60 分的人数; (3)若从样本中数学成绩在[40,50)与[90,100)两个分数段内的学生中随机选取两名学生,试用列举 法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率.

-3-

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频率 组距 a
0.025
0.020

0.010 0.005

0 40 50 60 70 80 90 100

(分数)

-4-

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20.(本小题满分 12 分)

已知椭圆

过点

,离心率是 ,

(1)求椭圆 的标准方程; (2)若直线 与椭圆 交于 两点,线段 的中点为

.求直线 与坐标轴围成的三角

形的面积.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数

,(其中

为在

处的导数, 为常数)

(1)求函数 (2)若方程

的单调区间; 有且只有两个不等的实数根,求常数 c 的值.

(二)选考题:共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分. 22. (本小题满分 10 分)

在平面直角坐标系 中,直线 的方程为

,曲线 的参数方程为

(为

参数) . (1)已知在极坐标系(与直角坐标系

取相同的长度单位,且以原点 为极点,以 轴正半轴

为极轴)中,点 的极坐标为(4, ),判断点 与直线 的位置关系;

(2)设点 是曲线 上的一个动点,求它到直线 的距离的最小值.

23.(本小题满分 10 分) 已知函数
(1)证明: (2)求不等式

. ;
的解集.

-5-

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2018-2019-1 学期期中考试试题参考答案

高三数学(文科)

一、选择题:本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

目要求的

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

答案 D

A

A

C

D

B

C

B

D

C

A

B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13. 16;

14. ;

15. ;

16. .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17. 解:(1)由

,得

.

………………3 分



.



,∴

. ………………6 分

(2)由正弦定理,得

.

………………9 分



,

,



.∴

.



.

18. (1)证明:因为四边形

是菱形,所以

又因为

平面

,所以

.



,所以 ⊥平面

.

(2)解:∵



设棱锥

的高为



………………8 分

.∵







,

………………11 分 ………………12 分 .
………………6 分
P

D A
B

C -6-

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……10 分



. 即棱锥

的高为

.

………………12 分

-7-

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19. 解:(1)由 (2)数学成绩不低于 60 分的概率为: 数学成绩不低于 60 分的人数为

(3)数学成绩在

的学生人数:

数学成绩在

的学生人数:

设数学成绩在

的学生为

,

数学成绩在

的学生为

两名学生的结果为:

,可得

......2 分

人 ......................6 分

人 人

频率 组距 a
0.025
0.020



0.010 0.005

0 40 50 60

70 80

90 100 (分数)

,

共 种;

其中两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的情况有

,

,

,

,

,

,

共 7 种,

因此,抽取的两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率为 20. 解:(1)设 为椭圆的半焦距,由已知可得

..............12 分

解得

∴椭圆的方程为

.....................4 分

(2)设

代入椭圆方程得



,由中点坐标公式得

可得直线 的方程为

两式相减得 ,
............9 分



可得



可得

-8-

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则直线 与坐标轴围成的三角形面积为

...................12 分

21.(1)由







解得

...................4 分

,而





的图像知

的递增区间是

,递减区间是

........8 分

(2)由(1)知

∴方程

有且只有两个实数根等价于

或1

或者 ....................12 分

22. 解:(I)把极坐标系下的点

化为直角坐标,得

.

因为点 的直角坐标(0,4)满足直线 的方程



所以点 在直线 上.

………………5 分

(II)设点 的坐标为

,则点 到直线 的距离为

.

由此得,当

时, 取得最小值,且最小值为 . …………10 分

23. 解:(1)证明:当

时,





时,

,所以





时,

.

所以

.

………………5 分

(2)由(I)可知,当

时,

,



的解集为空集;

-9-



时,



当 时,



综上,不等式

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的解集为



的解集为

.

的解集为

, , . ………………10 分

- 10 -


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