【通用版】2019年春中考数学总复习 第二轮 中考题型专题 (五)方程、不等式与函数的实际应用题试题

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专题复习(五) 方程、不等式与函数的实际应用题

1.(2016·永州)某种商品的标价为 400 元/件,经过两次降价后的价格为 324 元/件,并且两次降价的百分率相同. (1)求该种商品每次降价的百分率; (2)若该种商品进价为 300 元/件,两次降价共售出此种商品 100 件,为使两次降价销售的总利润不少于 3 210 元, 问第一次降价后至少要售出该种商品多少件? 解:(1)设该种商品每次降价的百分率为 x%,依题意得 2 400×(1-x%) =324, 解得 x=10 或 x=190(舍去). 答:该种商品每次降价的百分率为 10%. (2)设第一次降价后售出该种商品 m 件,则第二次降价后售出该种商品(100-m)件. 第一次降价后的单件利润为:400×(1-10%)-300=60( 元/件); 第二次降价后的单件利润为:324-300=24(元/件). 依题意得:60m+24×(100-m)=36m+2 400≥3 210,解得 m≥22.5. ∴m≥23. 答:为使两次降价销售的总利润不 少于 3 210 元,第一次降价后至少要售出该种商品 23 件. 2.“全民阅读”深入人心,读好书让人终身受益.为打造书香校园,满足同学们的读书需求,学校图书馆准备到 新华书店采购文学名著和科技阅读两类图书.经了解,20 本文学名著和 40 本科技阅读共需 1 520 元,一本文学名 著比一本科技阅读多 22 元(注:所采购的文学名著书价格都一样,所采购的科技阅读书价格都一样). (1)求每本文学名著和科技阅读各多少元; (2)若学校要求购买科技阅读比文学名著多 20 本,科技阅读和文学名著总数不低于 72 本,总费用不超过 2 000 元, 请你为学校求出符合条件的购书方案; (3)请你求出此次活动学校最多需投入资金多少元? 解:(1)设每本文学名著 x 元,每本科技 阅读 y 元.依题意,有
?20x+40y=1 520, ?x=40, ? ? ? 解得? ? ? ?x=y+22. ?y=18.

答:每本文学名著和科技阅读分别是 40 元,18 元. (2)设购买文学名著 m 本,则科技阅读(m+20)本,依题意,有
? ?m+m+20≥72, 8 ? 解得 26≤m≤28 . 29 ?40m+18(m+20)≤2 000. ?

由于 m 为正整数,∴m 取值为 26,27,28. 也就是说这次购买方案有 3 种,即文学名著 26 本,科技阅读 46 本;文学名著 27 本,科技阅读 47 本;文学名著 28 本,科技阅读 48 本. (3)由(2)知,此次活动购买最多图书为文学名著 28 本,科技阅读 48 本. ∴28×40+48×18=1 984(元). 答:此次活动学校最多需投 入资金 1 984 元. 3.(2016·孝感)孝感市在创建国家级园林城市中,绿化档次不断提升.某校计划购进 A,B 两种树木共 100 棵进行 校园绿化升级.经市场调查:购买 A 种树木 2 棵,B 种树木 5 棵,共需 600 元;购买 A 种树木 3 棵,B 种树木 1 棵, 共需 380 元. (1)求 A 种,B 种树木每棵各多少元; (2)因布局需要,购买 A 种树木的数量不少于 B 种树木数量的 3 倍.学校与中标公司签订的合同中规定:在市场价 格不变的情况下(不考虑其他因素),实际付款总金额按市场价九折优惠.请设计一种购买树木的方案,使实际所花 费用最省,并求出最省的费用. 解:(1)设 A 种,B 种树木每棵分别为 a 元,b 元,则
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? ? ?2a+5b=600, ?a=100, ? 解得? ?3a+b=380. ?b=80. ? ?

答:A 种,B 种树木每棵分别为 100 元,80 元. (2)设购买 A 种树木为 x 棵,则购买 B 种树木为(100-x)棵,则 x≥3(100-x),解得 x≥75. 设实际付款总金额为 y 元,则 y=0.9[100x+80(100-x)]=18x+7 200. ∵18>0,y 随 x 的增大而增大,∴x=75 时,y 最小. 即 x=75,y 最小值=18×75+7 200=8 550(元). ∴当购买 A 种树木 75 棵,B 种树木 25 棵时,所需费用最少,最少费用为 8 550 元. 4.(2016·龙东)甲、乙两车从 A 城出发前往 B 城,在整个行程中,两车离开 A 城的距离 y 与时刻 t 的对应关系, 如图所示: (1)A、B 两城之间的距离是多少千米? (2)求乙车出发后几小时追上甲车; (3)直接写出甲车出发后多长时间,两车相距 20 千米.

解:(1)由图象知 ,A、B 两城之间的距离是 300 千米. (2)设过(5,0),(10,300)的直线表达式为 y 甲=k1t+b1,则
?5k1+b1=0, ?k1=60, ? ? ? 解得? ∴y 甲=60t -300. ? ? ?10k1+b1=300. ?b1=-300.

设过(6,0),(9,300)的直线表达式为 y 乙=k2t+b2,则
? ? ?6k2+b2=0, ?k2=100, ? 解得? ∴y 乙=100t-600. ?9k2+b2=300. ?b2=-600. ? ?

当 y 甲=y 乙,即 60t-300=100t-600.解得 t=7.5. ∴7.5-6=1.5. 答:乙车出发后 1.5 小时追上甲车. 1 (3)①当 y 甲=20,即 60t-300=20,解得 t=5 . 3 1 1 ∴5 -5= (小时); 3 3 ②当 y 甲=y 乙+20,即 60t-300=100t-600+20,解得 t=7.∴7-5=2(小时); ③当 y 乙=y 甲+20,即 100t-600=60t-3 00+20,解得 t=8.∴8-5=3(小时); 2 2 2 ④当 y 甲=3 00-20,即 60t-300=300-20,解得 t=9 .∴9 -5=4 (小时). 3 3 3 1 2 答:甲车出发后 小时或 2 小时或 3 小时或 4 后,两车相距 20 千米. 3 3

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5.(2016·泰安)某学校是乒乓球体育传统项目学校,为进一步推动该项目的开展,学校准备到体育用品店购买直 拍球拍和横拍球拍若干副,并且每买一副球拍必须要买 10 个乒乓球,乒乓球的单价为 2 元/个,若购买 20 副直拍 球拍和 15 副横拍球拍花费 9 000 元;购买 10 副横拍球拍比购买 5 副直拍球拍多花费 1 600 元. (1)求两种球拍每副各多少元; (2)若学校购买两种球拍共 40 副,且直拍球拍的数量不多于横拍球拍数量的 3 倍,请你给出一种费用最少的方案, 并求出该方案所需费用. 解:(1)设直拍球拍每副 x 元,横拍球拍每副 y 元,由题意得
?20(x+20)+15(y+20)=9 000, ?x=220, ? ? ? 解得? ?5(x+20)+1 600=10(y+20). ?y=260. ? ?

答:直拍球拍每副 220 元,横拍球拍每副 260 元. (2)设购买直拍球 拍 m 副,则购买横拍球拍(40-m)副,由题意得 m≤3(40-m).解 得 m≤30. 设买 40 副球拍所需的费用为 w 元,则 w=(220+20)m+(260 +20)(40-m)=-40m+11 200. ∵-40<0,∴w 随 m 的增大而减小. ∴当 m=30 时,w 取最小值,最小值为-40×30+11 200=10 000(元). 答:购买直拍球拍 30 副,购买横拍球拍 10 副时,费用最少,最少为 10 000 元. 6.(2016·武汉)某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售,每年产销 x 件.已知产销两种产品的有关 信息如下表: 产品 甲 乙 每件售价 (万元) 6 20 每件成本 (万元) a 10 每年其他费用 (万元) 20 40+0.05x
2

每年最大产 销量(件) 200 80

其中 a 为常数,且 3≤a≤5. (1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为 y1 万元、y2 万元,直接写出 y1、y2 与 x 的函数关系式; (2)分别求出产销两种产品的最大年利润; (3)为获得最大年利润,该公司应该选择产销哪种产品?请说明理由. 解:(1)y1=(6-a)x-20(0<x≤200); 2 2 y2=(20-10)x-(40+0.05x )=-0.05x +10x-40(0<x≤80). (2)∵3≤a≤5,∴6-a>0.∴y 随 x 的增大而增大. ∴当 x=200 时,y1 的最大值为 1 180-200a. 2 2 y2=-0.05x +10x-40=-0.05(x-1 00) +460, ∵-0.05<0,0<x≤80, 抛物线开口向下,在对称轴的左侧,y 随 x 的增大而增大, ∴当 x=80 时,y2 的最大值为 440. (3)当 1 180-200a>440 时,a<3.7; 当 1 180-200a=440 时,a=3.7; 当 1 180-200a<440 时,a>3.7; ∴当 3≤a<3.7 时,选择产销甲种 产品获得最大年利润; 当 a=3.7 时,产销甲、乙两种产品获得的最大年利润一样; 当 3.7<a≤5 时,选择产销乙种产品获得最大年利润. 7.(2016·临沂)现代互联网技术的广泛应用,催生了快递行业的高速发展.小明计划给朋友快递一部分物品,经 了解有甲、乙两家快递公司比较合适.甲公司表示:快递物品不超过 1 千克的,按每千克 22 元收费;超过 1 千克, 超过的部分按每千克 15 元收费.乙公司表示:按每千克 16 元收费,另加包装费 3 元.设小明快递物品 x 千克. (1)请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用 y(元)与 x(千克)之间的函数关系式;
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(2)小明选择哪家快递公司更省钱? 解:(1)当 0<x≤1 时,y 甲=22x,y 乙=16x+3; 当 x>1 时,y 甲=22+15(x-1)=15x+7,y 乙=16x+3. 1 (2)①当 0<x≤1 时,令 y 甲<y 乙,即 22x<16x+3,解得 0<x< ; 2 1 令 y 甲=y 乙,即 22x=16x+3,解得 x= ; 2 1 令 y 甲>y 乙,即 22x>16x+3,解得 <x≤1. 2 ②当 x>1 时,令 y 甲<y 乙,即 15x+7<16x+3,解得 x>4; 令 y 甲=y 乙,即 15x+7=16x+3,解得 x=4; 令 y 甲>y 乙,即 15x+7>16x+3,解得 1<x<4. 1 1 综上可知:当 <x<4 时,选乙快递公司省钱 ;当 x=4 或 x= 时,选甲、乙两家快递公司快递费一样多;当 0<x 2 2 1 < 或 x>4 时,选甲快递公司省钱. 2 8.(2016·天水)天水市某企业接到 一批粽子生产任务,按要求在 19 天内完成,约定这批粽子的出厂价为每只 4 元.为按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人李红第 x 天生产的粽子数量为 y 只,y 与 x 满足如下关系 y
? ?32x(0<x≤5), =? ?20x+60(5<x≤19). ?

(1)李红第几天生产的粽子数量为 260 只? (2)如图,设第 x 天每只粽子的成本是 p 元,p 与 x 之间的关系可用图中的函数图象来刻画,若李红第 x 天创造的利 润为 w 元,求 w 与 x 之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大?最大利润是多少元?(利润=出厂价-成本)

1 解:(1)将 y=260 代入 y=32x,得 260=32x,解得 x=8 . 8 此时,x 值不满足 0<x≤5,故这种情况不存在. ∴5<x≤19 时,则有 20x+60=260,解得 x=10. ∴李红第 10 天生产的粽子数量为 260 只. (2)由图可知 p1=2(0<x≤9). 设 p2=kx+b(9<x≤19),将(9,2),(19,3)代入,得
?9k+b=2, ?k=0.1, ? ? ? 解得? ?19k+b=3, ?b=1.1. ? ?

∴p2=0.1x+1.1(9<x≤19). 当 0<x≤5 时,w=(4-2)×32x=64x,由一次函数的性质,知当 x=5 时,w 最大=320. 当 5<x≤9 时,w=(4-2)×(20x+60)=40x+120,由一次函数的性质,知当 x=9 时,w 最大=480. 2 2 当 9<x≤19 时,w=[4-(0.1x+1.1)]×(20x+60)=-2x +52x+174=-2(x-13) +51 2,由二次函数的性质, 知当 x=13 时,w 最大=512. ∴w 与 x 之间的函数表达式为:

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64x(0<x≤5), ? ? w=?40x+120(5<x≤9), ? ?-2x2+52x+174(9<x≤19). 由 320<480<512,知第 13 天时利润最大,最大利润是 512 元. 9.(2016·黄石)科技馆是少年儿童假日游玩的乐园.如图所示,图中点的横坐标 x 表示科技馆从 8:30 开门后经 过的时间(分钟),纵坐标 y 表示到达科技馆的总人数.图中曲线对应的函数解析式为
?ax (0≤x≤30), ? y=? 10:00 之后来的游客较少可忽略不计. 2 ?b(x-90) +n(30≤x≤90). ?
2

(1)请写出图中曲线对应的函数解析式; (2)为保证科技馆内游客的游玩质量,馆内人数不超过 684 人,后来的人在馆外休息区等待.从 10:30 开始到 12: 00 馆内陆续有人离馆,平均每分钟离馆 4 人,直到馆内人数减少到 624 人时,馆外等待的游客可全部进入.请问馆 外游客最多等待多少分钟?

1 2 解:(1)∵30 0=a×30 ,∴a= . 3 ∵n=700,b×(30-90) +700=300, 1 ∴b=- . 9 1 ? ?3x (0≤x≤30), ∴y=? 1 - (x-90) +700(30≤x≤90). ? ? 9
2 2 2

1 2 (2)∵- (x-90) +700 =684, 9 解得 x=78 或 x=102(舍去). ∴ 684-624 =15,15+30+(90-78)=57(分钟). 4

∴馆外游客最多等待 57 分钟. 10.(2016·荆门)A 城有某种农机 30 台,B 城有农机 40 台,现要将这些农机全部运 往 C,D 两乡,调运任务承包给 某运输公司.已知 C 乡需要农机 34 台,D 乡需要农机 3 6 台.从 A 城往 C,D 两乡运送农机的费用分别为 250 元/台 和 200 元/台,从 B 城往 C,D 两乡运送农机的费用分别为 150 元/台和 240 元/台. (1)设 A 城运往 C 乡该农机 x 台,运送全部农机的总费用为 W 元,求 W 关于 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取 值范围; (2)现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于 16 460 元, 则有多少种不同的调运方案?将这些方案设计出来; (3)现该运输公司对 A 城运往 C 乡的农机,从运输费中每台减免 a 元(a≤200)作为优惠,其他费用不变.如何调运, 使总费用最少? 解:依题意列表如 下: 表一:运送数量(台)

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送出地 数量 接收地 A B 合计 C D 合计

x 34-x 34 表二:运输费用(元/台)

30-x 6+x 36

30 40 70

送出地 费用 接收地 A B (1)W=250x+200(30-x)+150(34-x)+240(6+x) =140x+12 540. ∵表一中 的数是非负整数, ∴自变量 x 的取值范围是 0≤x≤30,且为整数. (2)∵W≥16 460, ∴140x+12 540≥16 460.解得 x≥28. ∴28≤x≤30.此时整数 x=28,29,30. ∴共有 3 种方案,如下表: 方案一 C A B 28 6 D 2 34

C

D

250 150

200 240

方案二 C 29 5 D 1 35

方案三 C 30 4 D 0 36

(3)W=(250-a)x+200(3 0-x)+150(34-x)+240(6+x) =(140-a)x+12 540. ①当 0<a<140 时,140-a>0,W 随 x 的增大而增大,∴x=0 时,W 最小. 此时,使总费用最少的方案为:从 A 至 C 乡运 0 台,从 A 至 D 乡运 30 台,从 B 至 C 乡运 34 台,从 B 至 D 乡运 6 台; ②当 a=140 时,各种调运费用相同 ,均是 12 540; ③当 140<a≤200 时,140-a<0,W 随 x 的增大而减小,∴x=30 时,W 最小. 此时,使总费用最少的方案为:从 A 至 C 乡运 30 台,从 A 至 D 乡运 0 台,从 B 至 C 乡运 4 台,从 B 至 D 乡运 36 台.

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