2010~2011学年春季高等数学A(二)期中考试试卷

2010~2011 学年春季高等数学 A(二)期中考试试卷 一、填空题(每小题 2 分,共 20 分) 1. 设向量 a ? 2i ? j ? k ,b ? 4i ? 2 j ? ? k ,则当 ? ? 2. 方程 x 2 ? 2 y2 ? 3z 2 ? 1 所表示的曲面是 3. 函数 z ? ln(y ? x 2 ) ?
1 4? y

时,a 与 b 垂直。 。 。

的定义域是

4. 函数 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的两个偏导数 f x ( x0 , y0 ) 与 f y ( x0 , y0 ) 存在是函数
f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 可微的

条件。(在“充分、必要或充要”中

选一个填在横线上) 5. 曲线 x ? t , y ? t 2 , z ? t 3 在点 (1,1,1) 的法平面为 6. 函数 z ? x 2 y ? y 2 在点(2,1)处的全微分 dz ? 7. 函数 f ( x, y, z ) ? x y ? sin( x ? 2 y) ? z 2 在点 (0, 0, 0) 处的梯度为 8. 直线 L :
x?2 y?2 z?3 ? ? 与平面 ? : 4 x ? 2 y ? 2z ? 3 的位置关系是 ?2 ?7 3

。 。 。 。

9.二重极限 ( x , y )?(1, 0 )

lim

ln( x ? e y ) x ?y
2 2

?



, 10 . 过 点 M0 ( 1 , 2 , 1 ) 平 行 于 向 量 s ? ( 2 ? 1 , 1 ) 直 线 的 对 称 式 方 程 的 ? 且

?





二、按要求解答下列各题(每小题 8 分,共 16 分) 1.已知平行四边形 ABCD 的两条邻边 AB ? (1, ?3,1) , AD ? (2, ?1, 3) ,求此平行 四边形的面积 S 。
??? ? ??? ?

1

2. 求 过 直 线

x z ?1 ? y?2? 与 平 面 x ? y ? z ? 15 ? 0 的 交 点 , 且 与 平 面 2 3

2 x ? 3 y ? 4z ? 5 ? 0 垂直的直线方程。

三、按要求解答下列各题(每小题 8 分,共 16 分)

( 0, ) 1.求过点 2, ? 3 且与直线 L : ?

? x ? 2 y ? 4z ? 7 ? 0 垂直的平面方程。 ? 3 x ? 5 y ? 2z ? 1 ? 0

2. 设一个立体由上半球面 z ? 4 ? x 2 ? y 2 和锥面 z ? 3( x 2 ? y 2 ) 所围成, 求它在 xoy 坐标面上的投影曲线方程。

2

四、按要求解答下列各题(每小题 8 分,共 16 分) 1、设 z ? uv , u ? ye x , v ? x cos y ,求

?z ?z , 。 ?x ?y

t 2 2.设 z ? uv ? sinw, u ? e , v ? cost , w ? t , 求全导数

dz 。 dt

2 2 五、 (本题 8 分)求二元函数 f ( x, y) ? x ? 2 xy ? 2 y ? 4 x ? 2 y ? 5 的极值。

3

六、 (本题 8 分)利用向量知识证明三角形的中位线定理。

4

七、 (本题 10 分)设 z ? f (u, x, y ), u ? xe ,其中 f 具有连续二阶偏导数,
y

八、 (本题 6 分)在椭圆 x 2 ? 4 y 2 ? 4 上求一点,使其到直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 的距离最短,并求最短距离。

5


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