2018-2019学年高中数学人教A版选修1-2创新应用课件:第三章 章末小结与测评_图文

复数的概念是掌握复数并解答复数有关问题 的基础,其中有虚数单位 i,复数的代数形式,实 部与虚部、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数 等.有关复数题目的解答是有别于实数问题的, 应根据有关概念求解.

[典例 1] (1)复数-21+i+1-1 2i的虚部是 ()
A.15i B.15 C.-15i D.-15 (2)若复数(a2-3a+2)+(a-1)i 是纯虚数, 则实数 a 的值为( ) A.1 B.2 C.1 或 2 D.-1

解 析 : (1) 选 B

1 -2+i



1 1-2i



?-2+-i2??--i2-i? +

1+2i ?1-2i??1+2i?

= -25-i

+1+5 2i=

-15+15i,故虚部为15.

(2) 选 B 由 纯 虚 数 的 定 义 , 可 得

解得 a=2.

[对点训练] 1.设 z1=a+2i,z2=3-4i,且zz12为纯虚数, 则实数 a 的值为________. 解析:设zz12=bi(b∈R 且 b≠0),所以 z1=bi·z2,

即 a+2i=bi(3-4i)=4b+3bi.所以

8

3.

答案:83

所以 a=

2.设复数 z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i, 试求实数 m 的取值,使(1)z 是纯虚数;(2)z 是实数; (3)z 在复平面上的对应点在复平面的第二象限.

解:(1)由 ∴当 m=3 时,z 是纯虚数.

得 m=3.

(2)由

得 m=-1 或 m=-2.

∴当 m=-1 或 m=-2 时,z 是实数.

(3) 由

得 - 1<m<1 - 3 或 1 + 3

<m<3. ∴当-1<m<1- 3或 1+ 3<m<3 时,复数 z 在复平面上

的对应点在复平面的第二象限.

1.复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘 除,加减法是对应实、虚部相加减;乘法类比多项式乘 法;除法类比分式的分子分母有理化,注意 i2=-1.
2.复数四则运算法则是进行复数运算的基础,同时 应熟练掌握 i 幂的周期性变化,即 i4n+1=i,i4n+2=-1, i4n+3=-i,i4n=1,复数的四则运算常与复数的概念、复 数的几何意义等结合在一起考查.

另外计算要注意下面结论的应用: (1)(a±b)2=a2±2ab+b2, (2)(a+b)(a-b)=a2-b2, (3)(1±i)2=±2i, (4)1i =-i, (5)11+-ii=i,11+-ii=-i, (6)a+bi=i(b-ai).

[典例 2] 复数i2+1+i3+i i4等于(

)

A.12+12i

B.12-12i

C.-12+12i

D.-12-12i

解析:选 D i2+1+i3+i i4=-1+i i=-i?21-i?

=-12-12i.

[典例 3] 已知复数 z1=1?25+-i5?2i,z2=a-3i(a ∈R).
(1)若 a=2,求 z1·z2 ; (2)若 z=zz21是纯虚数,求 a 的值.
解:由于 z1=1?25+-i5?2i=135+-45ii=??135+-45ii????33--44ii?? =25-2575i=1-3i.

(1)当 a=2 时,z2=2-3i,

∴z1·z 2=(1-3i)·(2+3i)=2+3i-6i+9=11-3i.

(2) 若

z



z1 z2



1-3i a-3i



?1-3i??a+3i? ?a-3i??a+3i?



?a+9?+?3-3a?i a2+9



















?????aa2++99=0, 3a-2+39a≠0,

解得 a=-9.即 a 的值为-9.

[对点训练]

3.设复数 z 满足(1-i)z=2i,则 z=( )

A.-1+i

B.-1-i

C.1+i

D.1-i

解析:选 A z=?12-i?i1?+ ?1+i? i?=-1+i,故选 A.

4.设 a,b∈R,a+bi=111--27ii(i 为虚数 单位),则 a+b 的值为________.

解析:∵a+bi=111--27ii,∴a+bi=

?11-7i??1+2i? ?1-2i??1+2i?

=5

+ 3i. 根 据

复数

相等的

充要条件可得 a=5,b=3,

故 a+b=8.

答案:8

5.计算:

(1)(1-i)????-12+ 23i????(1+i);

(2)

2+ 3-

23ii;(3)(2-i)2.

解:(1)法一:(1-i)????-12+ 23i????(1+i) =????-12+ 23i+12i- 23i2????(1+i) =???? 32-1+ 32+1i????(1+i) = 32-1+ 32+1i+ 32-1i+ 32+1i2 =-1+ 3i.

法二:原式=(1-i)(1+i)????-12+ 23i???? =(1-i2)????-12+ 23i???? =2????-12+ 23i????=-1+ 3i.

(2)

2+ 3-

3i=? 2i ?

2+ 3-

3i?? 2i??

3+ 3+

2i? 2i?

=?

2+ 3i?? 3+ ? 3?2+? 2?2

2i?=

6+2i+3i- 5

6

=55i=i.

(3)(2-i)2=(2-i)(2-i)

=4-4i+i2=3-4i.

复数 z=a+bi(a,b∈R)和复平面上的点 Z(a,b)一一对 应,和向量 一一对应,正确求出复数的实部和虚部是解 决此类题目的关键.

[典例 4] 若 i 为虚数单位,如图中复平面内

点 Z 表示复数 z,则表示复数1+z i的点是(

)

A.E B.F C.G D.H

解析:选 D 由题图可得 z=3+i,所以1+z i= 31++ii=??13++ii????11--ii??=4-2 2i=2-i,则其在复平面上 对应的点为 H(2,-1).

[典例 5] 已知 z 是复数,z+2i,2-z i均为 实数(i 为虚数单位),且复数(z+ai)2 在复平面上 对应的点在第一象限,求实数 a 的取值范围.
解:设 z=x+yi(x,y∈R), 则 z+2i=x+(y+2)i, 2-z i=x2+-yii=15(x+yi)(2+i) =15(2x-y)+15(2y+x)i.

由题意知



∴z=4-2i.

∵(z+ai)2=[4+(a-2)i]2

=(12+4a-a2)+8(a-2)i,

由已知得 ∴2<a<6.∴实数 a 的取值范围是(2,6).

[对点训练]

6.若复数 z 满足 iz=2+4i,则在复平面

内,z 对应的点的坐标是( )

A.(2,4)

B.(2,-4)

C.(4,-2)

D.(4,2)

解析:选 C 由 iz=2+4i,可得 z=2+i 4i

=?2+i·4?-i?·?i?-i?=4-2i,

所以 z 对应的点的坐标是(4,-2).

7.已知等腰梯形 OABC 的顶点 A、B 在 复平面上对应的复数分别为 1+2i,-2+6i, OA∥BC.求顶点 C 所对应的复数 z.
解:设 z=x+yi,x,y∈R,如图,A(1, 2),B(-2,6),C(x,y).

∵OA∥BC,|OC|=|BA|,

∴kOA=kBC,|zC|=|zB-zA|,

即?????21=xy-+62,

x2+y2= ?-3?2+42.

解得?????x=-5, y=0 或?????x=-3, y=4. ∵|OA|≠|BC|,∴x=-3,y=4(舍去),

故 z=-5.

复数 z=a+bi(a,b∈R)对应复平面上的点 Z,则复 数的模|z|=| |= a2+b2,即 Z(a,b)到原点的距离.

[典例 6] 已知复数 z 满足|z+2-2i|=1,求|z-3 -2i|的最小值.
解:法一:设 z=x+yi(x,y∈R), 则|x+yi+2-2i|=1, 即|(x+2)+(y-2)i|=1. ∴(x+2)2+(y-2)2=1. ∴|z-3-2i|= ?x-3?2+?y-2?2 = ?x-3?2+1-?x+2?2= -10x+6,

由(y-2)2=1-(x+2)2≥0,得 x2+ 4x+3≤0.
∴ - 3≤x≤ - 1 , ∴ 16≤ - 10x + 6≤36.
∴4≤ -10x+6≤6. ∴当 x=-1 时,|z-3-2i|取最小值 4.

法二:由复数及其模的几何意义知: 满足|z+2-2i|=1, 即|z-(-2+2i)|=1 的复数 z 所对应的点是以 C(-2,2)为圆心,半径 r=1 的圆,而|z-3-2i|=|z- (3+2i)|的几何意义是:复数 z 对应的点与点 A(3,2) 的距离. 由圆的知识可知|z-3-2i|的最小值为|AC|-r. 又|AC|= ?3+2?2+?2-2?2=5, 所以|z-3-2i|的最小值为 5-1=4.

[对点训练]

8.在复平面内,点 P,Q 分别对应复数 z1,z2,且

z2=2z1+3-4i,|z1|=1,则点 Q 的轨迹是( )

A.线段

B.圆

C.椭圆

D.双曲线

解析:选 B ∵z2=2z1+3-4i,∴2z1=z2-(3-4i).

∵|z1|=1,∴|2z1|=2,

∴|z2-(3-4i)|=2,由模的几何意义可知点 Q 的轨

迹是以(3,-4)为圆心,2 为半径的圆.

9.已知复数 z,且|z|=2,求|z-i|的最大值,以及 取得最大值时的 z.
解:法一:设 z=x+yi(x,y∈R), ∵|z|=2,∴x2+y2=4, |z-i|=|x+yi-i|=|x+(y-1)i|= x2+?y-1?2 = ?4-y2?+?y-1?2= 5-2y. ∵y2=4-x2≤4,∴-2≤y≤2. 故当 y=-2 时,5-2y 取最大值 9, 从而 5-2y取最大值 3,此时 x=0, 即|z-i|取最大值 3 时,z=-2i.

法二:方程|z|=2 表示以原点为圆心,以 2 为半 径的圆,而|z-i|表示圆上的点到点 A(0,1)的距离.
如图,连接 AO 并延长与圆交于点 B(0,-2), 显然根据平面几何的知识可知,圆上的点 B 到点 A 的距离最大,最大值为 3,
即当 z=-2i 时,|z-i|取最大值 3.


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