2014北京东城高三二模数学(理)试卷与解析(易题库教研团队出品)


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东城区 2013-2014 学年第二学期综合练习(二) 高三数学 (理科)
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共 5 页,共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷 上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题
要求的一项。

共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目

(1)设集合 A ? {x ? R x ? 1 ? 2} ,集合 {?2, ?1, 0,1, 2} ,则 A (A) {2} (C) {0,1, 2} 解析:根据集合的基本运算性质答案为B。 (2)在复平面内,复数 (A)第一象限 (C)第三象限 解析: (B) {1, 2} (D) {?1, 0,1, 2}

B=

2 ? i3 对应的点位于 1? i
(B)第二象限 (D)第四象限

2 2(1 ? i) ? i3 ? ? i ? 1 ? 2i ,所以对应的点是(1,2)点在第一象限。 1? i (1 ? i)(1 ? i)
开始 输入 x 是

(3)已知一个算法的程序框图如图所示,当输 出的结果为 0 时,输入的 x 值为 (A) 2 或 ?2 (B) ?1 或 ?2 (C) 1 或 ?2 (D) 2 或 ?1

x?0



y ? x2 ? 1

y ? x2 ? 2 x

输入 y 结束 解析:本程序相当于以分段函数 y ? ?

? x 2 ? 1; x ? 0 ? ,y=0,x= 1 或 ?2 ,答案为 C。 2 ? ? x ? 2 x; x ? 0

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? x ? y ? 1 ? 0, ? (4) 如果实数 x , y 满足条件 ? x ? y ? 1 ? 0, ? y ? 1 ? 0, ?
(A) ?3 (C) 0 (D) 1

则 z ? 2 x ? y 的最大值为

(B) ?1

解析:做出平面区域,求解交点坐标,带入目标函数,答案 D (A) 5 (C) 7 解 (B) 6 (D) 8 析

(5)设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 , Sn?2 ? Sn ? 36 ,则 n ?



Sn ? 2 ? Sn ? 36, Sn ? 2 ? a1 (n ? 2) ?

(n ? 2)(n ? 3) n(n ? 1) ? d ? a1n ? ? d ? 2 ? 4n ? 6 ? 36 ; 2 2

n=7,答案为 C。 (6)6 个人站成一排,其中甲、乙必须站在两端,且丙、丁相邻,则不同站法的种数为 (A) 12 (B) 18 (C) 24 (D) 36

2 解析:甲乙站在两端有 A2 种方法,丙、丁相邻,把两人捆在一起,所以其余四 2 3 2 2 3 个人有 A2 A3 A2 ? 24 ,答案为 C。 A3 种方法,所以一共有 A2

(7) 若直线 ? 则 a 的值为

? x ? 1 ? t, ? x ? 2 ? 2cos ? ( t 为参数) 被圆 ? ( ? 为参数) 所截的弦长为 2 2 , ? y ? 2 ? 2sin ? ?y ? a ?t
(B) ?1 或 5 (D) ?1 或 ?5

(A) 1 或 5 (C) 1 或 ?5

解析:消参数直线方程为 x ? y ? 1 ? a ,圆的方程 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ,直线截圆的弦长 为 2 2 ,所以圆心到直线的距离为 2 ,所以

4 ?1 ? a 2

? 2 ? a ? 5或1 ,所以答案为 A.
(4 ? x) ? k ,

b 定义运算 (8) 对任意实数 a , “⊙” : a

, b ? ? , 1 ?ba 设 f ( x) ? ( x2 ?1) b?? , 1 ?a, a ? b ?

若函数 f ( x ) 的图象与 x 轴恰有三个交点,则 k 的取值范围是 (A) (?2,1) (C) [?2, 0) (B) [0,1] (D) [?2,1)

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2

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2 ? ?4 ? x ? k ;( x ? 1) ? (4 ? x) ? 1, 解析: f ( x) ? ( x ? 1) (4 ? x) ? k ? ? 2 方法一:去特殊值验 ( x 2 ? 1) ? (4 ? x) ? 1, ? ? x ? 1 ? k;

证答案。当 k=0,数形结合满足条件;k=1,不满足;k=-2,满足题意。方法二:数形结合 和函数图像与 x 轴三个交点时,要满足 ?

?k ? 1 ? 0 ? k ? ? ?2,1? 。所以答案为 D. ??4 ? k ? ?2
共 110 分)

第二部分(非选择题
(9)已知 tan ? =2 ,那么 cos 2? ?

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 .
2

2 2 解析: cos 2? ? cos ? ? sin ? , tan ? =2 ? sin ? ?

4 1 3 , cos 2 ? ? ? cos 2? ? 5 5 5


(10)已知平面向量 a , b ,若 a ? 3 , a ? b ? 13 , a ? b ? 6 ,则 b ? 向量 a , b 夹角的大小为 解 析 : .
2

a ? b ? 13 ? a ? b ? a 2 ? 2a ? b + b 2 ? 9 ? 12 ? b 2 ? 13? b ? 4



cos a, b ?

a ?b 6 1 ? ? ;所以向量 a , b 夹角的大小为 60 a ? b 3? 4 2

(11)在区间 [0, 6] 上随机取两个实数 x , y ,则事件“ 2 x ? y ? 6 ”的概率为_________. 解析:本题相当于在边长为 6 的正方形内随机取点,点在区域 2 x ? y ? 6 内的概率,考察几

1 ? 3? 6 1 何概率模型 P(a) ? 2 ? 36 4 (12)如图所示, PA 与圆 O 相切于 A ,直线 PO 交圆 O 于 B , C 两点, AD ? BC ,垂 足为 D ,且 D 是 OC 的中点,若 PA ? 6 ,则 PC ? .
A

B

· O

D

C

P

解析: ?AOP ? 600 ? AD ? 3, R ? 2 3 ? PD ? 3 3, PC ? 2 3
2 (13)若直线 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) 与抛物线 y ? 4 x 相交于 A , B 两点,且 A , B 两点在

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抛物线的准线上的射影分别是 M , N ,若 BN ? 2 AM ,则 k 的值是 解 析 :

, A( 1 x , 1 y ) , B2 ( x y 理 ) 直 线 方 程 与 抛 物 线 方 程 2 ,连

4 ? ? y ? kx ? k 2 2 ? x1 ? x2 ? 2 2 2 所以 , k x ? (2k ? 4) x ? k ? 0 ? ? k 又因为 BN ? 2 AM , ? 2 ? y ? 4x ? ? x1 x2 ? 1

x2 ? 2 x1 ? 1,

1 1 4 5 8 2 2 ? 2 x1 ? 1? x1 ? , x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? 2 ? ? k 2 ? , k ? x1 2 k 2 9 3

P 是正方体棱上一点(不包括棱的 (14)在棱长为 1 的正方体 ABCD? A 1B 1C 1D 1 中,点
端点), PA ? PC1 ? m , ①若 m ? 2 ,则满足条件的点 P 的个数为 ________;

P 的个数为 6 ,则 m 的取值范围是 ________. ②若满足 PA ? PC 1 ? m的点
解析: 设 AP=X, PA ? PC1 ? 1 ? (1 ? x) ? 1 ? x ? 2 ? x ?
2

1 ,所以点 P 在 AB, AD, AA1 2

或者 CC1 , B1C1, C1D1 中点时,都有 PA ? PC1 ? 2 ,所以满足条件的点 P 的个数为 6 个;

1 ? (1 ? x)2 ? 1 ? x ? m ? m2 ? 3 ? 2 x(m ? 1) ? x ?

m2 ? 3 2(m ? 1)

x ? (0,1)

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15)(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? 3 sin x sin( x ?
2

(Ⅰ)求 f (

? ) 的值; 12 ? 2

? ). 2

(Ⅱ)当 x ? [0, ] 时,求函数 f ( x ) 的最大值和最小值. (16)(本小题共 13 分) “你低碳了吗?”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话. 活动组织者为了解这则广告的宣传效果,随机抽取了 100 名年龄段在 [10, 20) , [20,30) , , [50,60) 的市民进行问卷调查,由此得到样本的频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)求随机抽取的市民中年龄段在 [30, 40) 的人数;

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(Ⅱ)从不小于 40 岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取 8 人,求 [50,60) 年龄段抽 取的人数; (Ⅲ)从按(Ⅱ)中方式得到的 8 人中再抽取 3 人作为本次活动的获奖者,记 X 为年龄在

[50,60) 年龄段的人数,求 X 的分布列及数学期望.
频率 组距

0.025 0.020 0.015 0.005 10 20 30 40 (17)(本小题共 14 分) 如图,四棱锥 E ? ABCD 中,平面 EAD ? 平面 ABCD , DC // AB , BC ? CD , 50 60

EA ? ED ,且 AB ? 4 , BC ? CD ? EA ? ED ? 2 .
(I)求证: BD ? 平面 ADE ; (II)求 BE 和平面 CDE 所成角的正弦值; (III)在线段 CE 上是否存在一点 F 使得平面 BDF ? 平面 CDE ,请说明理由.

E

D

C

A
(18)(本小题共 13 分) 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

B

ax ? 2a , g ( x) ? a ln x ? x ? a . x ?1
2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)求证:对于任意的 x1 , x2 ? (0, e) ,都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) . (19)(本小题共 13 分)

www.yitiku.cn 已知椭圆

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x2 y 2 6 . ? 2 ? 1 的一个焦点为 F (2, 0) ,且离心率为 2 a b 3

(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)斜率为 k 的直线 l 过点 F ,且与椭圆交于 A, B 两点, P 为直线 x ? 3 上的一点,若 △ ABP 为等边三角形,求直线 l 的方程. (20)(本小题共 14 分) 设 a 是一个自然数, f ( a ) 是 a 的各位数字的平方和,定义数列 {an } : a1 是自然数,

an ? f (an?1 ) ( n ? N * , n ? 2 ).
(Ⅰ)求 f (99) , f (2014) ; (Ⅱ)若 a1 ? 100 ,求证: a1 ? a2 ; (Ⅲ)当 a1 ? 1000 时,求证:存在 m ? N * ,使得 a3m ? a2m .

东城区 2013-2014 学年第二学期综合练习(二) 高三数学参考答案及评分标准 (理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)B (5)D (2)A (6)C (3)C (7)C (4)D (8)D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) ? (11)

3 5

(10) 4 (12) 2 3

60

1 4

(13)

2 2 3

(14) 6

( 3, 5)

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15)(共 13 分) 解:(Ⅰ) f ( x) ? sin x ? 3 sin x sin( x ?
2

? ) 2

x?0

y ? x2 ? 1

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? sin 2 x ? 3 sin x cos x
? ? 1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x 2 2 3 1 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2

? 1 ? sin(2 x ? ) ? . 6 2
所以 f (

? 1 )? . 12 2 ? 2 ? ? 5? ? 2x ? ? . 6 6 6

???????7 分

(Ⅱ)当 x ? [0, ] 时, ? 所以,当 2 x ? 当 2x ?

? ? ? ? 时,即 x ? 0 时,函数 f ( x) 取得最小值 0 ; 6 6

? ? ? 3 ? 时,即 x ? 时,函数 f ( x) 取得最大值 .???????13 分 6 2 3 2

(16)(共 13 分) 解:(Ⅰ) 1 ? 10 ? (0.020 ? 0.025 ? 0.015 ? 0.005) ? 0.35 ,

1 0? 0

0? . 3 5 , 3 5

即随机抽取的市民中年龄段在 [30, 40) 的人数为 35 . ?????????4 分 (Ⅱ) 100 ? 0.15 ? 15 , 100 ? 0.05 ? 5 , 所以 5 ?

8 ? 2, 20
????????7 分

即抽取的 8 人中 [50,60) 年龄段抽取的人数为 2 . (Ⅲ) X 的所有可能取值为 0 , 1 , 2 .

P( X ? 0) ?

3 C6 5 ? ; 3 C8 14 1 2 C2 C6 15 ? ; 3 C8 28

P( X ? 1) ?

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2 1 C2 C 3 P( X ? 2) ? 3 6 ? . C8 28

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所以 X 的分布列为

X P

0

1

2

15 3 28 28 5 15 3 3 X 的数学期望为 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? .?????????13 分 14 28 28 4
(17)(共 14 分) 解:(I)由 BC ? CD , BC ? CD ? 2 ., 可得 BD ? 2 2 . 由 EA ? ED ,且 EA ? ED ? 2 , 可得 AD ? 2 2 . 又 AB ? 4 . 所以 BD ? AD . 又平面 EAD ? 平面 ABCD , 平面 ADE 平面 ABCD ? AD ,

5 14

z

E

D

C

BD ? 平面 ABCD ,
所以 BD ? 平面 ADE .

x

A
?????5分

B y

(II)如图建立空间直角坐标系 D ? xyz , 则 D(0,0,0) , B(0, 2 2,0) , C(? 2, 2,0) , E( 2,0, 2) ,

BE ? ( 2, ?2 2, 2) , DE ? ( 2,0, 2) , DC ? (? 2, 2,0) .
设 n ? ( x, y, z ) 是平面 CDE 的一个法向量,则 n ? DE ? 0 , n ? DC ? 0 , 即?

? x ? z ? 0, ? ? x ? y ? 0.

令 x ? 1 ,则 n ? (1,1, ?1) . 设直线 BE 与平面 CDE 所成的角为 ? , 则 sin ? ?| cos ? BE, n ?|?

| BE ? n | | 2 ? 2 2 ? 2 | 2 . ? ? 3 | BE | ? | n | 2 3? 3

所以 BE 和平面 CDE 所成的角的正弦值

2 . 3

?????10分

www.yitiku.cn (III)设 CF ? ?CE , ? ? [0,1] .

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DC ? (? 2, 2,0) , CE ? (2 2, ? 2, 2) , DB ? (0, 2 2,0) .
则 DF ? DC ? CF ? DC ? ?CE ? 2(2? ?1, ?? ? 1, ?) . 设 m ? ( x' , y' , z' ) 是平面 BEF 一个法向量,则 n ? EB ? 0 , n ? EF ? 0 , 即?

? y' ? 0, ?(2? ? 1) x' ? (?? ? 1) y' ? ? z' ? 0.
2? ? 1

令 x' ? 1 ,则 m ? (1,0, ?

?

).
2? ? 1 1 ? 0 , ? ? ? [0,1] . 3

若平面 BEF ? 平面 CDE ,则 m ? n ? 0 ,即 1 ?

?

所以,在线段 CE 上存在一点 F 使得平面 BEF ? 平面 CDE .?????14 分

(18)(共 13 分) 解:(Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为 R , f ?( x) ? 因为 a ? 0 , 所以,当 x ? ?1 ,或 x ? 1 时, f '( x) ? 0 ; 当 ?1 ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 . 所以, f ( x ) 的单调递增区间为 (?1,1) ,单调递减区间为 (??, ?1) , (1, ??) . ??6 分 (Ⅱ)因为 f ( x ) 在区间 (0, 1) 上单调递增,在区间 (1, e) 上单调递减,

a(1 ? x2 ) a(1 ? x)(1 ? x) , ? ( x2 ? 1)2 ( x2 ? 1)2

ea ? 2a ? 2a , e ?1 所以,当 x ? (0, e) 时, f ( x) ? 2a . a a?x 由 g ( x) ? a ln x ? x ? a ,可得 g '( x) ? ? 1 ? . x x 所以当 a ? e 时,函数 g ( x) 在区间 (0, e) 上是增函数, 所以,当 x ? (0, e) 时, g ( x) ? g (e) ? 2a ? e ? 2a . 所以,当 x ? (0, e) 时,
又 f (0) ? 2a , f (e) ?
2

对于任意的 x1 , x2 ? (0, e) ,都有 f ( x1 ) ? 2a , g ( x2 ) ? 2a ,所以 f ( x1 ) ? g ( x2 ) . 当 0 ? a ? e 时,函数 g ( x) 在区间 (0, a ) 上是增函数,在区间 (a, e) 上是减函数, 所以,当 x ? (0, e) 时, g ( x) ? g (a) ? a ln a ? 2a .

www.yitiku.cn 所以,当 x ? (0, e) 时,

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对于任意的 x1 , x2 ? (0, e) ,都有 f ( x1 ) ? 2a , g ( x2 ) ? 2a ,所以 f ( x1 ) ? g ( x2 ) . 综上,对于任意的 x1 , x2 ? (0, e) ,都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) . ?????13 分 (19)(共 13 分) 解(Ⅰ)依题意有 c ? 2 ,

c 6 . ? a 3

可得 a 2 ? 6 , b2 ? 2 . 故椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 . ??????????????????5分 6 2

(Ⅱ)直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) .

? y ? k ( x ? 2), ? 联立方程组 ? x 2 y 2 ? 1. ? ? 2 ?6
消去 y 并整理得 (3k 2 ? 1) x2 ?12k 2 x ? 12k 2 ? 6 ? 0 . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) . 故 x1 ? x2 ?

12k 2 12k 2 ? 6 , . x x ? 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1
2

则 AB ? 1 ? k x1 ? x 2 ?

(1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ]

?

2 6(k 2 ? 1) . 3k 2 ? 1

设 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) . 可得 x0 ?

2k 6k 2 , y0 ? ? 2 . 2 3k ? 1 3k ? 1 1 ,又 xP ? 3 , k

直线 MP 的斜率为 ? 所以 MP ? 1 ?

1 k 2 ? 1 3(k 2 ? 1) . ? x ? x ? ? 0 P k2 k 2 (3k 2 ? 1)

www.yitiku.cn 当△ ABP 为正三角形时, MP ?

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3 AB , 2

可得

k 2 ? 1 3(k 2 ? 1) 3 2 6(k 2 ? 1) , ? ? ? k 2 (3k 2 ? 1) 2 3k 2 ? 1

解得 k ? ?1 . 即直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,或 x ? y ? 2 ? 0 .????????????13 分 (20)(共 14 分) 解:(Ⅰ) f (99) ? 92 ? 92 ? 162 ;

f (2014) ? 22 ? 02 ? 12 ? 42 ? 21 .
(Ⅱ)假设 a1 是一个 n 位数( n ? 3 ), 那么可以设 a1 ? bn ?10n?1 ? bn?1 ?10n?2 ?

??????5 分

? b3 ?102 ? b2 ?10 ? b1 ,

其中 0 ? bi ? 9 且 bi ? N ( 1 ? i ? n ),且 bn ? 0 . 由 a2 ? f (a1 ) 可得, a2 ? bn 2 ? bn?12 ?

? b32 ? b22 ? b12 . ? (102 ? b3 )b3 ? (10 ? b2 )b1 ? (1 ? b1 )b1,

a1 ? a2 ? (10n?1 ? bn )bn ? (10n?2 ? bn?1 )bn?1 ?
所以 a1 ? a2 ? (10n?1 ? bn )bn ? (b1 ?1)b1 . 因为 bn ? 0 ,所以 (10n?1 ? bn )bn ? 99 . 而 (b1 ?1)b1 ? 72 , 所以 a1 ? a2 ? 0 ,即 a1 ? a2 .

??????9 分

(Ⅲ)由 a1 ? 1000 ,即 a1 ? 999 ,可知 a2 ? 92 ? 92 ? 92 ? 243 . 同理 an ? 999 ,可知 an?1 ? 9 ? 9 ? 9 ? 243 .
2 2 2

由数学归纳法知,对任意 n ? N * ,有 an ? 999 . 即对任意 n ? N * ,有 an ?{1, 2,3,

,999} .

因此,存在 p, q ? N * ( p ? q ),有 a p ? aq .

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则 a p?1 ? aq?1 , a p ? 2 ? aq ? 2 ,?, aq?1 ? aq?q? p?1 , 可得对任意 n ? N * , n ? p ,有 an?q ? p ? an . 设 q ? p ? T ,即对任意 n ? p ,有 an?T ? an . 若 T ? p ,取 m ? T , n ? 2 m ,则有 a3m ? a2m . 若 T ? p ,由 an?T ? an ,可得 an? pT ? an , 取 m ? pT , n ? 2 m ,则有 a3m ? a2m . ??????14 分


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