用数学思想方法解高考三角函数题

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 用数学思想方法解高考三角函数题 作者:谢冬梅 来源:《考试周刊》2013 年第 63 期 摘 要: 三角函数是基本的初等函数之一,它涉及的公式多、变化多,是初等数学的重点 内容.本文通过分析历年高考数学题中出现的三角函数题,阐述如何运用数形结合、函数与方 程、等价转换、分类与整合等基本的教学思想方法解高考函数题. 关键词: 三角函数 高考题 数学思想方法 纵观近几年的高考数学试题不难发现,三角函数问题在每年高考中都分别有一道考查三角 函数基础知识的选择题、填空题和解答题,分值约占总分的 15%,一般是结合实际,利用三角 变换考查三角函数性质.虽然三角函数涉及的公式多、变换多,但不可否认的是,在高考中三 角函数问题相对简单,较容易得分. 《义务教育数学新课程标准(2011)》(以下简称《新课标》)明确提出在数学教学中不 仅要让学生记住一些数学的基础知识、掌握一些数学的基本技能,而且要让学生感悟数学的思 想,积累数学的经验和实践经验,培养学生的数学素养.下面我将结合高考数学三角函数的主 要题型,论述数形结合思想、函数与方程思想、等价转换思想和分类与整合思想在解高考三角 函数问题中的运用. 一、数形结合思想 所谓数形结合思想,就是通过数与形的转化,对不易解决的数学问题借助图形来解决.华 罗庚先生说:“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,割裂分家万事非。”对数 形结合解题技能进行了精辟论述.通过对三角函数整体章节内容及普通高中新课程标准(实 验)的分析发现,三角函数实际上是平面图形知识和函数知识的有效结合.因此,学生在解决 高考三角函数问题时,首先要树立数形结合思想,将三角函数看成是平面图形和代数的结合 体,利用“数”的精确性和“形”的直观性,进行三角函数问题的有效解答. 在高考中,选择题和填空题的特点(即只需写出结果而无需写出过程),为考查数形结合 的数学思想提供了方便,能突出考查学生将复杂的数量关系转化为直观的平面图形的问题解决 意识.而高考解答题要求写出解答过程,需要严谨的推理论证,对数量关系问题的研究以代数 为主,因此在高考解答题中对数形结合思想的考查以“形”到“数”为主. 例 1:(2012 浙江理科 4)把函数 y=cos2x+1 的图像上所有的点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向左平移一个单位长度,再向下平移一个单位长度,得到的图像是 () 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 评定:本题是三角函数的图像变换问题,首先需要回顾一下三角函数图像变换的规律: (1)平移变换:① 沿 x 轴平移,按“左加右减”法则;② 沿轴平移,遵循“上加下减”法则.(2) 伸缩变化:① 沿 x 轴伸缩时,横坐标 x 伸长(01)为原来的■倍(纵坐标 y 不变);② 沿 y 轴伸 缩时,纵坐标 y 伸长(A>1)或缩短(0 二、函数与方程思想 函数的思想是用运动和变化的观点、集合与对应的思想,分析和研究数学问题中的数量关 系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图像和性质分析问题、转化问题,从而使问题得以 解决;方程思想是分析数学问题中的变量间的等量关系,从而建立方程或方程组或者构造方 程,通过解方程和方程组,或者运用方程的性质分析问题、转化问题,使题得以解决.在高考 试卷中,三角函数中的最值问题有时候可转化为函数问题解决. 三、等价转换思想 通过某种变化和手段,变换问题的角度,使较难的三角问题变得容易解决;在解决数学问 题时,要采用等价转换思想,将复杂问题转化为简单问题,将难解问题转化为容易求解的问 题,将未解决问题转化为已解决问题.三角函数涉及的公式多、变化多,运用等价转换思想可 以把复杂的含三角函数的式子转化为简单的式子. 点评:等价转换思想是最重要的数学思想之一,本题就是利用等价转换思想,结合正切函 数的两角和公式,将未解决问题(tan(α+β)的值)转换为已解决问题(tanα+tanβ,tanα·β 的 值). 四、分类与整合思想 解题时,我们常常遇到这样一种情况,解到某一步之后,不能再以统一的方法、统一的式 子继续进行了,因为这时被研究的问题包含多种情况,这就必须在条件所给出的总区域内,正 确划分若干个子区域,然后分别在各个子区域内进行解题,当分类解决完这个问题后,还必须 进行综合归纳,因为我们研究的毕竟是这个问题的整体,这就是分类与整合的思想.有分有 合,先分后合,不仅是用分类与整合的思想解决问题的主要过程,而且是这种思想方法的本质 属性.近几年,高考题对分类与整合的思想考查主要有:(1)有没有分类意识,遇到该分类的 问题,是否想到分类;(2)如何分类,分类的标准是否统一,分类有没有不重不漏;(3)分 类之后如何解题,各类的讨论有没有越级;(4)分类讨论后,有没有整合,以及如何整合. 近年来高考数学对数学思想方法的要求越来越高,这对高中数学三角函数的教学提出了新 的要求.为使学生灵活运用数学思想方法解高考三角函数问题,教师应该在教学中注意以下几 点:(1)利用三角函数是平面图形与函数的有效结合体,培养学生的数形结合思想;(2)利 用三角函数是特殊的函数,培养学生用函数与方程的思想;(3)利用三角函数公式多、变换 多的特性,培养学生等价转换的思想;(4)利用三角函数的丰富性,培养学生分类与整合的 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 思想.对于一些复杂的三角函数问题,有时需要综合运用多种数学思想方法才能解决.数学思想 方法是解决一切数学问题的通法,数学教育的价值体现于数学的基本思想,数学文化的核心体 现于数学的基本思想,学生一旦熟练地掌握了各种数学思想方法,就能以更广的视角审视、理 解和解答数学问题. 参考文献: [1]倪雪华.从历年高考题谈三角函数的关注点[J].南通高等师范学校,2011. [2]王冬岩.高中生对三角函数概念的理解[J].华东师范大学,2010. [3

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