必修2第二章 《线、面平行的性质以及判定》


学科教师辅导讲义
讲义编号

学员编号: 学员姓名: 课 题

年 级: 辅导科目: 直线、平面平行的判定及其性质

课时数:3 学科教师:蔡远方

授课日期及时段 1.教学知识目标:进一步熟悉掌握空间直线和平面的位置关系。理解并掌握直线 与平面平行的判定定理及直线与平面平行的性质定理。 2.能力训练:掌握由“线线平行”证得“线面平行”和“线面平行”证得“线线 平行”的数学证明思想。进一步熟悉反证法;进一步培养学生的观察能力、空间想 象力和类比、转化能力,提高学生的逻辑推理能力。 3.德育渗透:培养学生的认真、仔细、严谨的学习态度。建立“实践――理论―― 再实践”的科学研究方法。 教学内容

教学目的

一、课前检测
1、上节课我们介绍了直线与平面的位置关系,有几种?以什么作为划分的标准?
答案:三种,以直线与平面的公共点个数为划分标准,分别是: 直线与平面有两个公共点——直线在平面内(直线上所有的点都在这个平面内) 直线与平面只有一个公共点——直线与平面相交 直线与平面没有公共点——直线与平面平行

直线在平面内

直线与平面相交

直线与平面平行

(注:我们也将直线与平面相交和平行统称为直线在平面外)
2. 平面 ? 与平面 ? 平行的条件可以是( A. ? 内有无穷多条直线都与 ? 平行 B.直线 a ∥? , a ∥ ? ,且直线 a 不在 ? 内,也不在 ? 内 C.直线 a ? ? ,直线 b ? ? ,且 a ∥ ? , b ∥? D. ? 内的任何直线都与 ? 平行 )

答案:D. 3. 下列命题中,错误的是( ) A.平行于同一条直线的两个平面平行 B.平行于同一个平面的两个平面平行 C.一个平面与两个平行平面相交,交线平行 D.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交 答案:A. 4. 已知直线 a ∥ 平面 ? , P ? ? ,那么过点 P 且平行于 ? 的直线( A.只有一条,不在平面 ? 内 B.有无数条,不一定在 ? 内 C.只有一条,且在平面 ? 内 D.有无数条,一定在 ? 内 答案:C



二、知识梳理
1.如何判定直线与平面平行 师:请同学回忆,我们昨天是采用了什么方法证明直线与平面平行? 有直线在平面外能不能说明直线与平面平行? ①生:借助定义,用反证法说明直线与平面没有公共点(证明直线在 平面外不能说明直线与平面平行) ②直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行, 那么这条直线和 这个平面平行。 已知:a ? α ,b ? α ,且 a∥b 求证:a∥α 师:你们会采用什么方法证明定理? 生:反证法 证明:∵ a∥b∴经过 a,b 确定一个平面β ∵a ? α ,b ? α ∴α 与β 是两个不同的平面。 ∵b ? α ,且 b ? β ∴α ∩β =b 假设 a 与α 有公共点 P,则 P∈α ∩β =b, 点 P 是 a、b 的公共点这与 a∥b 矛盾,∴a∥α 例 1:求证:空间四边形相邻两边中点的连线,平行于经过另外两边 的平面。 已知:如图空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AB、AD 的中点。求 证:EF∥平面 BCD 证明:连结 BD
E B C A F D

β
α

a b P

AE=EB
?EF∥BD

AF=FD

EF ? 平面 BCD BD ? 平面 BCD

?EF∥平面 BCD

评析:要证 EF∥平面 BCD,关键是在平面 BCD 中找到和 EF 平行的 直线,将证明线面平行的问题转化为证明直线的平行 2.直线和平面平行的性质定理: 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相 交,那么这条直线和交线平行。 已知:a∥α ,a ? β ,α ∩β =b(如右图) 求证:a∥b 证明:α ∩β =b ?b ? a a∥α
?

β
α
? a∥b

a b

a?β a∩b=φ b?β

评析:证明用到了“同一平面的两直线没有公共点,则它们平行” 例 2、如图,平面α 、β 、γ 两两相交,a、b、c 为三条交线,且 a ∥b,那么 a 与 c、b 与 c 有什么关系?为什么? 师:猜 a 与 c 什么关系?生:平行 师:已知 a∥b 能得出什么结论,怎样又可征得 a∥c? 解:依题可知:α ∩γ =a,β ∩γ =b,α ∩β =C ∵a ? α ,b ? α ,且 a∥b∴b∥α 又∵b ? β , α ∩ β =C∴b∥c 又∵a∥b, ∴a∥c 师:b∥α ,过 b 且与α 相交的平面有多少个?这些交线的位置关系如何? 生:有无数条交线,且它们相互平行。 注: ①性质定理也可概括为由“线面平行”证得“线线平行” ②过 b 且与α 相交的平面有无数个, 这些平面与α 的交线也有无数条, 且这些交线都互相平行 3.如何判定平面与平面平行
1.两个平面的位置关系 两个平面的位置关系只有两种:①两个平面平行——没有公共点. ②两个平面相交——有一条公共直线. ① γ 性 质 定 理 也 可 概 括 为 由 “ 线 面

a α

c

b β
注 :

两个平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
例 3、已知:在平面

内,有两条直线



相交且和平面

平行.

求证:



证明:用反证法证明. 假设 ∵ ∴ 同理 ∴ , . . . 与 . 是相交直线矛盾. . ,

这与题设 ∴

例 4、如图,P 是△ABC 所在平面外的一点,A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、 △PAB 的重心。求证:平面 ABC∥平面 A′B′C′;

证明: (1)连结 PA′、PB′、PC′并延长交 BC、AC、AB 于 D、E、F,连结 DE、EF、DF ∵A′、C′分别是△PBC、△PAB 的重心 2 2 ∴PA′= PD,PC′= PF 3 3 ∴A′C′∥DF, ∵A′C′ ? \ 平面 ABC,DF ? 平面 ABC ∴A′C′∥平面 ABC 同理 A′B′∥平面 ABC 又 A′C′∩A′B′=A′,A′C′、A′B′ ? 平面 A′B′C′ ∴平面 ABC∥平面 A′B′C′

4.平面与平面平行的性质定理
(1)一个结论 根据两个平面平行及直线和平面平行的定义,容易得出下面的结论. .(图



2)

这就是说,如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面. (2)两个平面平行的性质定理

教师提问:如果两个平面平行,并且它们都和第三个平面相交,交线有何关系? 很容易得出结论:交线平行.这可以由两个平面平行及平行线定义得出.

两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.
即设 , , ,则 .图 1.

例 5:如图,两条线段 AB、CD 所在的直线是异面直线,CD ? 平面α ,AB∥α ,M、N 分别是 AC、BD 的 中点,且 AC 是 AB 与 CD 的公垂线段 求证:MN∥α ; 证明:过 AB、AC 有一个平面与平面α 相交, 过 B 作此交线的垂线,垂足为 F,由线面平行的 性质定理知:AB∥CF 又 AC⊥AB ∴AC⊥CF 得:AC∥BF ∴四边形 ABFC 是平行四边形 由 AC⊥CF,AC⊥CD 知:AC⊥平面α , ∴BF⊥平面α 取 BF 中点 E,连接 EM、EN,则:EM∥CF 可得:EM∥平面α ,同理 EN∥平面α ∴平面 EMN∥平面α 又 MN ? 平面 EMN ∴MN∥α

三、重难点突破
空间中的平行问题 (1)直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 线线平行 ? 线面平行 线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行。线面平行 ? 线线平行 (2)平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理 (1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行 (线面平行→面面平行) , (2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行。 (线线平行→面面平行) , (3)垂直于同一条直线的两个平面平行,

两个平面平行的性质定理 (1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。 (面面平行→线面平行) (2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 (面面平行→线线平行) (3)解题技巧突破: 定理之间的关系及其转化 两平面平行问题常转化为直线与直线平行,而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行,所以在解题 时应注意“转化思想”的运用。这种转化实质上就是:将“高维问题”转化为“低维问题” ,将“空间问题” 转化为“平面问题” 。

四、课堂练习
1、能保证直线 a 与平面α 平行的条件是( A.a ? α ,b ? α ,a∥b C. b ? α ,c∥α ,a∥b,a∥c D. b ? α ,A∈a,B∈a,C∈b ,D∈b 且 AC=BD 2 .与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是 ( ) A.都平行 C.在这两个平面内 ( ) A.平行 4.已知平面 A. B. C. D. 与 , , , , B.相交 不重合,则 且 且 且 且 , C.重合 D.平行或相交 ) 的一个充分条件是( B.都相交 D.至少与其中一个平面平行 A ) B .b ? α ,a∥b

3 .如果两个平面分别经过两条平行线中的一条,那么这两个平面

5.下列命题:①平行于同一直线的两个平面平行.②垂直于同一直 线的两个平面平行.③平行于同一平面的两个平面平行.④与一直线 成等角的两个平面平行,其中正确的命题有( A. 1 个 B.2 个 DF C.3 个 ) 6 下列命题正确的是( ) D.4 个

A. 平行于同一平面的两条直线平行

B. 若直线 a∥α ,则平面α 内有且仅有一条直线与 a 平行 C. 若直线 a∥α ,则平面α 内任一条直线都与 a 平行 D. 若直线 a∥α ,则平面α 内有无数条直线与 a 平行 E. 如果 a、b 是两条直线,且 a∥b,那么 a 平行于经过 b 的任何平面 F. 如果直线 a、b 和平面α 满足 a∥b,a∥α ,b ? α ,那么 b∥α 7、若两直线 a 与 b 相交,且 a 平行于平面α ,则 b 与α 的位置关系 是 平行或相交 8、过两条平行线中的一条和另一条平行的平面有 (1)求证:CD∥平面 EFGH; (2)求异面直线 AB、CD 所成的角 无数 个 9、如图,空间四边形 ABCD 被一平面所截,截面 EFGH 是一矩形。

A E

证明:⑴依题: 矩形 EFGH ?GH∥EF EF ? 面 ACD GH ? 面 ACD
?GH∥CD ?GH∥面 ACD

B
GH ? 面 BCD 面 BCD∩面 ACD=CD

H G

F

D C

GH ? 面 EFGH CD∥GH,且面 BCD∩面 EFGH=GH ?CD ? 面 EFGH
?CD∥平面 EFGH



如⑴可证 CD∥GH 同理可证 AB∥GF 成的角且
?∠HGF 即为异面直线 AB 与 CD 所

矩形 EFGH ?∠HGF=90° ∠HGF=90°

五,课堂小结
1、本节知识结构

2.内容归纳总结

四个定理 定理 定理内容 平面外的一条直 线与平面内的一条直 线平行,则该直线与 此平面平行。 一个平面内的两 条相交直线与另一个 平面平行,则这两个 平面平行。 一条直线与一个 平面平行,则过这条 直线的任一平面与此 平面的交线与该直线 平行。 如果两个平行平 面同时和第三个平面 相交,那么它们的交 线平行。 符号表示 分析解决问题的常用方法 在已知平面内“找出” 一条直线与已知直线平行 就可以判定直线与平面平 行。即将“空间问题”转化 为“平面问题” 判定的关键: 在一个已 知平面内 “找出” 两条相交 直线与另一平面平行。 即将 “面面平行问题”转化为 “线面平行问题”

直线与平面 平行的判定

a ? ? , b ? ? , 且a // b ? a // ?

平面与平面 平行的判定

a ? ?,b ? ?, a ? b ? P, a // ? , b // ? ? ? // ?

直线与平面 平行的性质

a // ? , a ? ? , ? ? ? ? b ? a // b

平面与平面 平行的性质

? // ? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b ? a // b

六,课后作业 一、选择题
1、以下命题(其中 a,b 表示直线,?表示平面) ①若 a∥b,b??,则 a∥? ③若 a∥b,b∥?,则 a∥? 其中正确命题的个数是 (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 ②若 a∥?,b∥?,则 a∥b ④若 a∥?,b??,则 a∥b ( ) ) (D)3 个

2、已知 m,n 为异面直线,m∥平面?,n∥平面?,?∩?=l,则 l( (A)与 m,n 都相交 (C)与 m,n 都不相交 A、b∥? (A)0 个 B、b 与?相交 (B)1 个 (D)与 m,n 中一条相交 (

(B)与 m,n 中至少一条相交 ) ) )

3、已知 a,b 是两条相交直线,a∥?,则 b 与?的位置关系是 C、b ? α (C)无数个

D、b∥?或 b 与?相交 (D)以上都有可能

4、A、B 是直线 l 外的两点,过 A、B 且和 l 平行的平面的个数是( 5、直线 a∥平面?,点 A∈?,则过点 A 且平行于直线 a 的直线 ( (A)只有一条,但不一定在平面?内 (C)有无数条,但都不在平面?内

(B)只有一条,且在平面?内 (D)有无数条,且都在平面?内

6、直线 a,b 异面直线, a 和平面?平行,则 b 和平面?的位置关系是( (A)b?? (B)b∥? (C)b 与?相交 关系只能是 (A)平行 (B)平行和异面 8、下列命题中,真命题的个数是 c 共面,则 b、c 异面④a,b 异面,b、c 不相交,则 a、c 不相交 A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、4 个 ( ( ( 二、判断下列命题的真假 9、过平面外一点只能作一条直线与这个平面平行 10、若直线 l??,则 l 不可能与平面?内无数条直线都相交 12、过两异面直线 a,b 外一点,可作一个平面与 a,b 都平行 三、填空题 (D)以上都有可能 ( (C)平行和相交 )



7、梯形 ABCD 中 AB//CD,AB ? 平面α ,CD ? 平面α ,则直线 CD 与平面α 内的直线的位置 (D)异面和相交 ( )

①a∥b,a,b 异面,则 b、c 异面 ②a,b 共面,b、c 异面,则 a、c 异面③a,b 异面,a、

) ) ) )

11、若直线 l 与平面?不平行,则 l 与?内任何一条直线都不平行(

13、ABCD-A1B1C1D1 是正方体,过 A、C、B1 三点的平面与底面 A1B1C1D1 的交线为 l,则 l 与 AC 的位置关系是 ABP 平行的是 三、解答题 15、已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,E、F 分别为 AB、PD 的中点,求证:AF∥平面 PEC
P

。 。

14、已知 P 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 棱 DD1 上任意一点,则在正方体的 12 条棱中,与平面

A B C

D

16、 、在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 BC、C1D1 的中点 求证:EF∥平面 BB1D1D

D

C B

17、已知异面直线 a,b 的公垂线段 AB 的中点为 O,平面?满足 a ∥?,b∥?,且 O??,M、N 是 a,b 上的任意两点,MN∩? =P,求证:P 是 MN 的中点

A

A a O B N b P

M

D1

C1 B1


一、1- 8 ACDDBDBA 二、9、× 10、× 三、13、平行 11、× 12、× 14、DC、D1C1、A1B1 F 为 PD 中点 AB∥CD GF∥AE EG∥AF AB=CD GF=AE ∴ ∴







四、15、证明:设 PC 的中点为 G,连接 EG、FG ∵ ∵ ∴ ∴ ∴ GF∥CD 且 GF=
1 CD 2

E 为 AB 中点 四边形 AEGF 为平行四边形 EG ? 平面 PEC

AF ? 平面 PEC

AF∥平面 PEC
1 DC 2

16、证明:连接 AC 交 BD 于 O,连接 OE,则 OE∥DC ∵ ∴ ∴ ∴ DC∥D1C1 OE∥D1F EF∥D1O DC=D1C1 OE=D1F ∴ F 为 D1C1 的中点

OE=

四边形 D1FEO 为平行四边形 EG ? 平面 BB1D1D

EF ? 平面 BB1D1D

EF∥平面 BB1D1D

17、证明:连接 AN 交平面 ? 于 Q,连接 OQ、PQ ∵ ∴ ∵ A?b ∴ A、b 可确定平面 β 由 b∥? 得 BN∥OQ ∴ Q 为 AN 的中点

?∩?=OQ

O 为 AB 的中点

同理 PQ∥AM

故 P 为 MN 的中点


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