湖南省怀化市2013届高三第一次模拟考试数学(理)试题

注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。 2.考生作答时,选择题、填空题、解答题均须做在答题卡上,在本试卷上答题无效。考生在答题卡上按答 题卡中注意事项的要求答题。 3.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并收回。 4.本试题卷共 4 页,如有缺页,考生须声明,否则后果自负。

2013 年怀化市高三第一次模拟考试统一检测试卷


命题人:唐青波

学(理科)
审题人:李满禁、石水生、蒋良银、张理科

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分. 时量:120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共计 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求,请把正确答案的代号填在答题卡上. 1. a ? ? 1 ? bi ( a 、 b 是实数,i 是虚数单位), 若 则复数 z ? a ? bi 对应的点在 A.第一象限 A. {x | 0 ? x ? 2} 3. 下列命题中错误的是 A.命题“若 x ? 5 x ? 6 ? 0 ,则 x ? 2 ”的逆否命题是“若 x ? 2 ,则 x ? 5 x ? 6 ? 0 ”
2 2

1 i

B.第二象限
x ( x ? 2)

C.第三象限

D.第四象限 D. {x 0 ? x ? 1}

2.已知 M ? {x | y ? ln(1 ? x)} , N ? {x | 2

? 1} ,则 M ? N 为
C. ? x | 0 ? x ? 1?

B. {x | 0 ? x ? 1}

B.对命题 p : ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, 则 x ? x ? 1 ? 0
2 2

C.已知命题 p 和 q,若 p ? q 为假命题,则命题 p 与 q 中必一真一假

? x? y? D.若 x 、 y ? R ,则“ x ? y ”是“ xy ? ? ? ”成立的充要条件 ? 2 ? 4. 执行右图的程序框图,若输出的 n ? 5 , 则输入整数 p 的最大值是
2

A.15 C.7 5. 过双曲线

B.14 D.6

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F 作圆 a 2 b2 2 x 2 ? y 2 ? a的切线 FM (切点为 M ),交 y 轴于点 P .若 M 为线段 FP 的中点,则双曲线的离心率为
A.2 C. 3 B. 2 D. 5

6. 首项为正数的递增等差数列 {an } ,其前 n 项和为 S n ,则点 (n, Sn ) 所在的抛物线可能为

7. 已 知 函 数

? x ? 1 ( ?1 ? x ? 0) 1 ? f ( x) ? ? , 则 ? f ( x)dx 的值为 2 ?1 ? 1 ? x (0 ? x ? 1) ? ? 1 ? ? 1 ? A. 1 ? B. ? C. 1 ? D. ? 2 2 4 4 2 2 1 n 8. 在二项式 ( x ? ) 的展开式中,前三项的系数成等差数列,把展开式中所有的项重新排成 4 2 x
一列,则有理项都不相邻的概率为 A.

1 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

5 12

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 8 小题,考生作答 7 小题,每小题 5 分,共 35 分. 把答案填在答题卡上的相 应 横线上. (一)选作题(请考生在 9、10、11 三题中任选 2 题作答,如果全做,则按前 2 题记分) 9. 设 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 ?

? x ? a ? 4 cos ? ( ? 是参数, a ? 0 ),直线 l 的极坐标方程为 ? y ? 1 ? 4sin ?
. C A
O D·

3? cos? ? 4? sin ? ? 5 ,若曲线 C 与直线 l 只有一个公共点,则实数 a 的值是
10.设函数 f ( x) ? | x ? 1| ? | x ? 2 | ?a 的定义域为 R , 则实数 a 的取值范围是 . 11.如图,⊙ o 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D , 且 CD ? 4 , BD ? 8 ,则⊙ o 的半径等于______. (二)必作题(12~16 题) 12.某几何体的三视图如右,其中正视图与侧视图上半部分为 半圆,则该几何体的表面积为 . 13. 设随机变量 X ~ N 1,5

B

?

2

?,

??? ??? ? ? ??? ? ? 14.已知 P 为 ?ABC 内一点,且 PB ? PC ? 2PA ? 0 , 现随机将一颗豆子撒在 ?ABC 内,则豆子落在 ?PBC

且 P ? X ? 0 ? ? P ? X ? a ? 1? ,则实数 a 的值为

.

内的概率为 . 15. 已 知 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 上 的 区 域 D 由 不 等 式 组

?0 ? x ? 2 ? 给定. 若 M ( x, y ) 为 D 上的动 ?y ? 2 ? ? x ? 2y ???? ??? ? ? 点,点 A 的坐标为 ( 2,1) ,则 z ? OM ? OA 的最大值为
16.下列命题: ①当 ?x ? 1 时, lg x ?

.

1 ? 2; lg x

② m ? 1 ? n 是 m ? n 成立的充分不必要条件; ③对于任意 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 满足:

2 B i n Cs i n; c o s s A ④定义:如果对任意一个三角形,只要它的三边长 a 、b 、c 都在函数 y ? f ( x) 的定义域内, 就有 f (a ) 、 f (b) 、 f (c) 也是某个三角形的三边长,则称 y ? f ( x) 为“三角形型函数”.函数 是“三角形型函数”. h( x) ? 1nx, x? [2,?? )
其中正确命题的序号为 .(填上所有正确命题的序号)

2 s i n A ? s i2n ? B

s2iC ? n

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且

2asin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C.
(1)求 A 的大小; (2)求 sin B ? sin C 的最大值.

18.(本小题满分 12 分) 某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动,活动规则如下:消费 额每满 100 元可转动如图所示的转盘一次,并获得相应金额的返券, 假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在 A 区域返券 60 元;停在 B 区域返券 30 元;停在 C 区域不返券. 例如:消费 218 元,可转动转 盘 2 次,所获得的返券金额是两次金额之和. (1)若某位顾客消费 128 元,求返券金额不低于 30 元的概率; (2)若某位顾客恰好消费 280 元,并按规则参与了活动,他获得返券的金额记为 X (元),求 随机变量 X 的分布列和数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 如图 1, ?ACB ? 45? , BC ? 3 ,过动点 A 作 AD ? BC ,垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B , 连接 AB ,沿 AD 将△ ABD 折起,使 ?BDC ? 90? (如图 2 所示) . (1)当 BD 的长为多少时,三棱锥 A ? BCD 的体积最大; (2)当三棱锥 A ? BCD 的体积最大时,设点 E , M 分别为棱 BC 、 AC 的中点,试在棱 CD 上 确定一点 N ,使得 EN ? BM ,并求 EN 与平面 BMN 所成角的大小. A A M D B

B

D

C

. · E

C

图2

20. (本小题满分 13 分) . 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , 点 (n,

Sn 1 11 ) 在 直 线 y ? x ? 上 . 数 列 {bn } 满 足 n 2 2

bn ? 2 ? 2bn ?1 ? bn ? 0 (n ? N * ) ,且 b3 ? 11 ,前 9 项和为 153.
(1)求数列 {an } 、 {bn } {的通项公式; (2) c n ? 设

3 k * , 数列 {cn } 的前 n 和为 Tn , 求使不等式 Tn ? 对一切 n ? N (2a n ? 11)( 2bn ? 1) 57

都成立的最大正整数 K 的值;

? an ( n ?2 k ? k ? ) * 1 , N ? * (3) f ( n) ? ? 设 , 问是否存在 m ? N , 使得 f (m ? 15) ? 5 f (m) 成立? * ?bn (n ? 2k , k ? N ) ?
若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 13 分 ) 直角坐标平面上, O 为原点, M 为动点, | OM |?

???? ?

???? 2 5 ???? ? 5 , ON ? OM . 过点 M 作 5

MM1 ? y 轴于 M 1 , N 作 NN1 ? x 轴于点 N1 ,OT ? M 1 M ? N1 N . 记点 T 的轨迹为曲线 C , 过
点 A(5, 0) 、B(1, 0) , 过点 A 作直线 l 交曲线 C 于两个不同的点 P 、Q(点 Q 在 A 与 P 之间) . (1)求曲线 C 的方程; (2)是否存在直线 l ,使得 | BP |?| BQ | ,并说明理由.

22. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax ? 1 ( a ? 0 , e 为自然对数的底数).
x

(1)求函数 f ( x ) 的最小值; (2)若 f ( x ) ≥0 对任意的 x?R 恒成立,求实数 a 的值; (3)在(2)的条件下,证明: ( ? ?( ) ( ? (中 ) ( ?? ? ) ? ? ) 其) n* ? N

1 2 n n n n

nn n e ? 1 n n ne ? 1

2013 年怀化市高三第一次模拟考试统一检测试卷

高三数学(理科)参考答案与评分标准

一、选择题( 5 ? 8 ? 40 )
/ /

题号 答案

1 A

2 C

3 C

4 A

5 B

6 D

7 B

8 D

二、填空题( 5 ? 6 ? 30 )
/ /

选做题: 9.7 ; 必做题:12. 7? ; 三、解答题:

10. a ? 3 ; 13.3; 14.

11.5;

1 ; 2

15.4;

16.①③④.

17 解: (1)由已知,根据正弦定理得 2a ? ? 2b ? c ? b ? ? 2c ? b ? c
2

即 a ? b ? c ? bc ,
2 2 2

由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

故 cos A ? ?

1 , 2

A ? 120? ………………6 分
?

(2)由(1)得: sin B ? sin C ? sin B ? sin(60 ? B)

?

3 1 cos B ? sin B ? sin(60? ? B), ? 0? ? B ? 60? 2 2
?

故当 B ? 30 时, sin B ? sin C 取得最大值 1.………………12 分 18 解:设指针落在 A,B,C 区域分别记为事件 A,B,C. 则 P( A) ?

1 1 1 , P( B) ? , P(C ) ? ………………3 分 6 3 2

(Ⅰ)若返券金额不低于 30 元,则指针落在 A 或 B 区域.

1 1 1 ? ? ………………4 分 6 3 2 1 即消费 128 元的顾客,返券金额不低于 30 元的概率是 . 2
所以 p ? p( A) ? p( B) ? (Ⅱ)由题意得,该顾客可转动转盘 2 次. 随机变量 X 的可能值为 0,30,60,90,120.………5 分

1 1 1 1 1 1 P( X ? 0) ? ? ? ; P( X ? 30) ? ? ? 2 ? ; 2 2 4 2 3 3 1 1 1 1 5 1 1 1 P( X ? 60) ? ? ? 2 ? ? ? ; P( X ? 90) ? ? ? 2 ? ; 2 6 3 3 18 3 6 9 1 1 1 P( X ? 120) ? ? ? …………10 分 6 6 36
所以,随机变量 X 的分布列为:

1 1 5 1 1 EX ? 0 ? ? 30 ? ? 60 ? ? 90 ? ? 120 ? ? 40 4 3 18 9 36 其数学期望 …………12 分

19(1)解法 1:在如图 1 所示的△ ABC 中,设 BD ? x (0 ? x ? 3) ,则 CD ? 3 ? x . 由 AD ? BC , ?ACB ? 45? 知,△ ADC 为等腰直角三角形,所以 AD ? CD ? 3 ? x . 由折起前 AD ? BC 知,折起后(如图 2) A D ,D ? C 所以 AD ? 平面 BCD .又 ?BDC ? 90? ,所以 S?BCD ? , AD ? BD ,且 BD ? DC ? D ,
1 1 BD ? CD ? x(3 ? x) .于是 2 2

1 1 1 1 VA? BCD ? AD ? S?BCD ? (3 ? x) ? x(3 ? x) ? ? 2 x(3 ? x)(3 ? x) …………4 分 3 3 2 12
? 1 ? 2 x ? (3 ? x) ? (3 ? x) ? 2 ? ?3, 12 ? 3 ? ?
3

当且仅当 2x ? 3 ? x ,即 x ? 1 时,等号成立…………5 分 故当 x ? 1 ,即 BD ? 1 时, 三棱锥 A ? BCD 的体积最大.…………6 分
1 1 1 1 解法 2:同解法 1,得 VA? BCD ? AD ? S?BCD ? (3 ? x) ? x(3 ? x) ? ( x3 ? 6 x2 ? 9 x) . 3 3 2 6
1 1 令 f ( x) ? ( x3 ? 6 x 2 ? 9 x) ,由 f ?( x) ? ( x ? 1)( x ? 3) ? 0 ,且 0 ? x ? 3 ,解得 x ? 1 . 6 2

当 x ? (0, 1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, 3) 时, f ?( x) ? 0 . 所以当 x ? 1 时, f ( x) 取得最大值. 故当 BD ? 1 时, 三棱锥 A ? BCD 的体积最大. (2)解法 1:以 D 为原点,建立如图 a 所示的空间直角坐标系 D- xyz . 由(Ⅰ)知,当三棱锥 A-BCD 的体积最大时,BD=1,AD=CD=2. 于是可得 D(0,0,0,) B(1,0,0) C(0,2,0) A(0,0,2)M(0,1,1)E( , , ,

1 ,1,0) ,且 2

BM=(-1,1,1). …………7 分

1 1 , ? -1,0).因为 EN⊥BM 等价于 EN·BM =0,即( ? , 2 2 1 1 1 · ? -1,0)(-1,1,1)= + ? -1=0,故 ? = ,N(0, ,0)………8 分 2 2 2 1 所以当 DN= 时(即 N 是 CD 的靠近点 D 的一个四等分点)时,EN⊥BM. 2 ? y ? 2x 设平面 BMN 的一个法向量为 n=( x , y , z ),由 ? 可取 n =(1,2,-1)……10 分 ?z ? ?x
设 N (0, ? , 0) ,则 EN = ?
???? 1 1 设 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 ? ,则由 EN ? (? , ? , 0) , n ? (1, 2, ? 1) ,可得 2 2

1 ???? | ? ? 1| n ? EN 3 2 ???? ? sin ? ? cos(90? ? ? ) ? ? ,即 ? ? 60? .…………11 分 2 | n | ? | EN | 2 6? 2

故 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 60?. …………12 分 解法 2:由(Ⅰ)知,当三棱锥 A ? BCD 的体积最大时, BD ? 1 , AD ? CD ? 2 . 如图 b,取 CD 的中点 F ,连结 MF , BF , EF ,则 MF ∥ AD . 由(Ⅰ)知 AD ? 平面 BCD ,所以 MF ? 平面 BCD . 如图 c,延长 FE 至 P 点使得 FP ? DB ,连 BP , DP ,则四边形 DBPF 为正方形, 所以 DP ? BF . 取 DF 的中点 N ,连结 EN ,又 E 为 FP 的中点,则 EN ∥ DP , 所以 EN ? BF . 因为 MF ? 平面 BCD ,又 EN ? 面 BCD ,所以 MF ? EN . 又 MF ? BF ? F ,所以 EN ? 面 BMF . 又 BM ? 面 BMF ,所以 EN ? BM . 因为 EN ? BM 当且仅当 EN ? BF ,而点 F 是唯一的,所以点 N 是唯一的. 即当 DN ?
1 (即 N 是 CD 的靠近点 D 的一个四等分点) EN ? BM . , 2

连接 MN , ME ,由计算得 NB ? NM ? EB ? EM ?

5 , 2

所以△ NMB 与△ EMB 是两个共底边的全等的等腰三角形, 如图 d 所示,取 BM 的中点 G ,连接 EG , NG , 则 BM ? 平面 EGN .在平面 EGN 中,过点 E 作 EH ? GN 于 H , 则 EH ? 平面 BMN .故 ?ENH 是 EN 与平面 BMN 所成的角. 在△ EGN 中,易得 EG ? GN ? NE ?
2 ,所以△ EGN 是正三角形, 2

故 ?ENH ? 60? ,即 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 60?. 20 解: (1)由题意,得

Sn 1 11 1 11 ? n ? , 即 Sn ? n2 ? n …………1 分 n 2 2 2 2

故当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? ( n ?
2

1 2

11 11 ?1 ? n) ? ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? ? n ? 5 2 2 ?2 ?

当 n =1 时, a1 ? S1 ? 6 ,而当 n =1 时, n +5=6, 所以, an ? n ? 5 n ? N

?

?

?

…………2 分

又 bn ? 2 ? 2bn ?1 ? bn ? 0 ,即 bn ? 2 ? bn ?1 ? bn ?1 ? bn n ? N

?

?

? …………3 分

所以( bn )为等差数列,于是 而 b3 ? 11 , b1 ? 23 , d ?

9 ? b3 ? b1 ? 2

? 153

23 ? 11 ?3 7?3

因此, bn = b3 ? 3 ? n ? 3? ? 3n ? 2 ,即 bn = 3n ? 2 n ? N (2) c n ?

?

?

? …………4 分

3 3 ? (2a n ? 11)( 2bn ? 1) [2(n ? 5) ? 11][ 2(3n ? 2) ? 1]

?

1 1 1 1 ? ( ? ). …………5 分 (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

所以, Tn ? c1 ? c 2 ? ? ? cn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 3 3 5 5 7 2n ? 1 2 n ? 1 1 1 n ? (1 ? )? . …………6 分 2 2n ? 1 2 n ? 1
n ?1 n 1 ? ? ? 0, 2n ? 3 2n ? 1 (2n ? 3)( 2n ? 1)

由于 Tn ?1 ? Tn ?

因此 Tn 单调递增,故 (Tn ) min ? 令

1 . …………7 分 3

1 k ? , 得k ? 19, 所以K max ? 18. …………8 分 3 57

? n ? 5 , ( n ? 2k ? 1, k ? N * ), ? (Ⅲ) f ( n) ? ? …………9 分 * ?3n ? 2 , ( n ? 2k , k ? N ). ?
①当 m 为奇数时,m + 15 为偶数. 此时 f (m ? 15) ? 3(m ? 15) ? 2 ? 3m ? 47,5 f (m) ? 5(m ? 5) ? 5m ? 25 , 所以 3m ? 47 ? 5m ? 25, m ? 11. …………11 分 ②当 m 为偶数时,m + 15 为奇数. 此时 f (m ? 15) ? m ? 15 ? 5 ? m ? 20,5 f (m) ? 5(3m ? 2) ? 15m ? 10 ,

所以 m ? 20 ? 15m ? 10, m ?

5 ? N * (舍去). …………12 分 7

综上,存在唯一正整数 m =11,使得 f (m ? 15) ? 5 f (m) 成立. …………13 分 21 解:(Ⅰ)设点 T 的坐标为 ( x, y ) ,点 M 的坐标为 ( x?, y ?) ,则 M1 的坐标为(0, y ? ) ,

???? 2 5 ???? 2 5 ? 2 5 2 5 ON ? OM ? ( x?, y?) ,于是点 N 的坐标为 ( x ?, y ?) ,N1 的坐标 5 5 5 5
为(

?????? ????? 2 5 2 5 x ?,0) ,所以 M 1M ? ( x?, 0), N1 N ? (0, y?). …………2 分 5 5

? x ? x ?, 2 5 ? y ?), 所以? 由 OT ? M 1 M ? N 1 N , 有( x, y ) ? ( x ?,0) ? (0, 2 5 5 y ?. ?y ? 5 ?
由此得 x ? ? x, y ? ?

5 y. …………4 分 2
2 2

由 | OM |?

5 , 有x ? ? y ?

? 5, 所以x ? (
2

5 2

y)

2

? 5, 得

x2 5

?

y2 4

? 1,

即所求的方程表示的曲线 C 是椭圆.……………………6 分 (Ⅱ)点 A(5,0)在曲线 C 即椭圆的外部,当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 与椭圆 C 无交点,所以直线 l 斜率存在,并设为 k. 直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 5). ………7 分

?x2 y2 ? 1, ? ? 得(5k 2 ? 4) x 2 ? 50 k 2 x ? 125 k 2 ? 20 ? 0. 由方程组 ? 5 4 ? y ? k ( x ? 5) ?
依题意 ? ? 20(16 ? 80 k ) ? 0, 得 ?
2

5 5 ?k? . …………9 分 5 5

当?

5 5 ?k? 时,设交点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ), PQ 的中点为 R( x0 , y 0 ) , 5 5

则 x1 ? x 2 ?

x ? x2 50 k 2 25k 2 , x0 ? 1 ? 2 . 2 5k 2 ? 4 5k ? 4
25k 2 ? 20 k ? 5) ? 2 . 2 5k ? 4 5k ? 4
…………11 分

? y 0 ? k ( x0 ? 5) ? k (

又 | BP |?| BQ |? BR ? l ? k ? k BR ? ?1,

k ? k BR

20 k 2 20 k 2 ? k ? 5k ? 4 ? ? ?1 ? 20 k 2 ? 20 k 2 ? 4, 25k 2 4 ? 20 k 2 1? 2 5k ? 4
2 2

而 20 k ? 20 k ? 4 不可能成立,所以不存在直线 l,使得|BP|=|BQ|. ……13 分 22 解: (1)由题意 a 0 ?x e a ? f() x , , ??

?x?x a 0 由 f() e??得 x?lna.
当 x ( ? a时, f ?(x ?0;当 x (n, ? ? , n) ?l ) ? a ) l ? 时, f ?(x ?0. ) ∴ f ( x ) 在 ( ? na 单调递减,在 ( na? )单调递增. ? ,l ) l , ? 即 f ( x ) 在 x?lna处取得极小值,且为最小值, 其最小值为 f a ?? a1 () l ?a1 l . n e l ?n………………5 分 n ?? aa a
l n a

(2) f (x) 0对任意的 x?R 恒成立,即在 x?R 上, f (x m ≥ . ) in 0 ≥ 由(1) ,设 g ? aa . ,所以 g(a) 0. ( al ? a ? ) n1 ≥

?) ? 1n 得 a 由 g? a ? 0? 1 . ( 1 ?l ? a l n? a
易知 g ( a ) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1, ??) 上单调递减,

g ( a ) 在 a ? 1 处取得最大值,而 g( ) ?0. 1 因此 g(a) 0的解为 a ? 1 ,∴ a ? 1 .………………9 分 ≥
∴ (3)由(2)知,对任意实数 x 均有 e ? ?≥ ,即 ? x 1 0 1 x≤ . e
x x

k ?? k k ( N ,2 , ,则 0 ?1? ≤e n . n ,? ,… ? 03n * 1 k , , ? 1 ) n n k ? ? k ? ∴ ( ? ) ≤ n) ? . 1 n ( e n ek n 12 n n () ? ? 1 n n n ? () 1 n ? 2 2 ∴ ( ? …( ≤ ) ) ?) ) e? ?? ? (? ( n n ? e …1 ? ? 1 e ? ? e nn n n 1 en ?? 1 e ? ?? ?? 1 1 1e 1e e1 ? ? ? …………13 分

令x ? ?


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