三维设计江苏专用2017届高三数学一轮总复习第三章导数及其应用第一节导数的概念与计算课件理_图文

第三章 导数及其应用
第一节 导数的概念与计算

1.导数的概念
(1)平均变化率
一般地,函数 f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为 f?x2?-f?x1? x2-x1 .

(2)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 ①定义:

设函数 y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),若 Δx

无限趋近于

0

时,此值ΔΔxy=

f?x0+Δx?-f?x0? Δx

无限趋近

于一个常数 A,则称 f(x)在 x=x0 处 可导 ,并称该常数 A 为函数 f(x)在 x=x0 处的 导数 ,记作 f′(x0) .

②几何意义: 函数 f(x)在点 x0处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x) 上点 (x0,f(x0)) 处的 切线的斜率 .相应地,切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0) . (3)函数 f(x)的导函数 若 f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导,则 f(x)在各点的导数 也随着自变量 x 的变化而变化,因而也是自变量 x 的函数, 该函数称为 f(x)的导函数.

2.基本初等函数的导数公式

(sin x)′= cos x ,(cos x)′= -sin x ,(ax)′= axln a ,

1

1

(ex)′= ex ,(logax)= xln a ,(ln x)′= x .

3.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′= f′(x)±g′(x) ;

(2)[f(x)·g(x)]′= f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ;

f′?x?g?x?-f?x?g′?x?

(3)????gf??xx??????′=

[g?x?]2

(g(x)≠0).

[小题体验]
1.(教材习题改编)一次函数 f(x)=kx+b 在区间[m,n]上的 平均变化率为________. 解析:由题意得函数 f(x)=kx+b 在区间[m,n]上的平 均变化率为f?nn?- -mf?m?=k. 答案:k

2.(教材习题改编)如图,函数 y=f(x)的图象 在点 P 处的切线方程是 y=-x+5,则 f(3) =________,f′(3)=________. 解析:由图知切点为(3,2),切线斜率为-1. 答案:2 -1

3.设函数 f(x)在(0,+∞)内可导,且 f(x)=x+ln x,则 f′(1) =________. 解析:由 f(x)=x+ln x(x>0),知 f′(x)=1 +1x,所以 f′(1)=2. 答案:2

4.(2015·天津高考)已知函数 f(x)=axln x,x∈(0,+∞),

其中 a 为实数,f′(x)为 f(x)的导函数.若 f′(1)=3,

则 a 的值为________.

?
解析:f′(x)=a?ln
?

x+x·1x???=a(1+ln

x).

由于 f′(1)=a(1+ln 1)=a,又 f′(1)=3,所以 a=3.

答案:3

1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止 与乘法公式混淆.
2.求曲线切线时,要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的 区别,前者只有一条,而后者包括了前者.
3.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究 直线与二次曲线相切时有差别.

[小题纠偏] 1.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(e)
+ln x,则 f′(e)=________. 解析:对关系式 f(x)=2xf′(e)+ln x 两边求导,得 f′(x) =2f′(e)+1x,令 x=e,得 f′(e)=2f′(e)+1e,所以 f′(e) =-1e. 答案:-1e

2.已知 f(x)=x2+3xf′(2),则 f(2)=________. 解析:因为 f′(x)=2x+3f′(2),所以 f′(2)=4+ 3f′(2),所以 f′(2)=-2,所以 f(x)=x2-6x,所以 f(2) =22-6×2=-8. 答案:-8

3.已知定义在 R 上的函数 f(x)=ex+x2-x+sin x,则曲线 y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程是________. 解析:令 x=0,得 f(0)=1.对 f(x)求导,得 f′(x)=ex +2x-1+cos x,所以 f′(0)=1,故曲线 y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为 y=x+1. 答案:y=x+1

考点一 导数的运算?基础送分型考点——自主练透?
[题组练透] 求下列函数的导数. (1)y=x2sin x;
(2)y=ln x+1x; (3)y=coesx x; (4)y=1-1 x+1+1 x.

解:(1)y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+x2cos x.

?
(2)y′=?ln
?

x+1x???′=(ln

x)′+???1x???′=1x-x12.

(3)y′=???coesx

x??′=?cos
?

x?′ex-cos ?ex?2

x?ex?′

=-sin

x+cos ex

x .

(4)∵y=1-1 x+1+1 x=1-2 x,∴y′=????1-2 x????′ =-2?1?1--xx?2?′=?1-2 x?2.

[谨记通法] 求函数导数的 3 种原则

考点二 导数的几何意义?常考常新型考点——多角探明?
[命题分析] 导数的几何意义是每年高考的必考内容,考查题型既有填 空题,也常出现在解答题的第(1)问中,难度偏小,属中低档题. 常见的命题角度有: (1)求切线方程; (2)求切点坐标; (3)求参数的值.

[题点全练] 角度一:求切线方程 1.(2016·南通调研)已知 f(x)=x3-2x2+x+6,则 f(x)
在点 P(-1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面 积等于________.

解析:∵f(x)=x3-2x2+x+6, ∴f′(x)=3x2-4x+1, ∴f′(-1)=8, 故切线方程为 y-2=8(x+1), 即 8x-y+10=0, 令 x=0,得 y=10,令 y=0,得 x=-54, ∴所求面积 S=12×54×10=245. 答案:245

角度二:求切点坐标 2.若曲线 y=xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x-y+1
=0,则点 P 的坐标是________.

解析:由题意得 y′=ln x+x·1x=1+ln x, 直线 2x-y+1=0 的斜率为 2. 设 P(m,n),则 1+ln m=2, 解得 m=e, 所以 n=eln e=e, 即点 P 的坐标为(e,e). 答案:(e,e)

角度三:求参数的值 3.(2016·南京外国语学校检测)已知函数 f(x)=x4+ax2-bx,
且 f′(0)=-13,f′(-1)=-27,则 a+b=________.

解析:∵f′(x)=4x3+2ax-b, 由?????ff′ ′??0-?=1?-=1-3,27 ??????--4b-=- 2a-13b=-27, ∴?????ab= =51,3, ∴a+b=18. 答案:18

[方法归纳] 导数几何意义的应用的 2 个注意点 (1)当曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线垂直于 x 轴时, 函数在该点处的导数不存在,切线方程是 x=x0; (2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲 线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线方程是 y-f(x0)=f′(x0)(x -x0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知 点在切线上求解.

编后语
? 老师上课都有一定的思路,抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路,这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
? ① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题,有的要求回答,有的则是自问自答。一般来说,老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键,若能抓住老师提出的问题深入思考,就可以抓住老师的思路。
? ② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的,若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较,便可以抓住老师的思路。
? ③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语,如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等,这些 用语往往体现了老师的思路。来自:学习方法网
? ④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时,一般有一个推导过程,如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程,这有助于理解记忆结论,也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
? ⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候,最好是做个记号,姑且先把这个问题放在一边,继续听老师讲后面的 内容,以免顾此失彼。来自:学习方法网
? ⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆,而且有利于抓住老师的思路。

2019/7/10

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