2014届高三一轮数学(理)复习第34讲数列求和


第34讲 数列求和

1.(改编)已知数列{an}是公比为 2 的等比数列,若 1 1 1 a1=2,则 2+ 2+…+ 2=( C ) a1 a2 an 1 1 A. (1- n) 3 2 1 1 C. (1- n) 3 4 1 n B. (4 -1) 3 1 D.1- n 4

1 1 1 解析: 由条件知{ 2}是首项为 , 公比为 的等比数列, an 4 4 1 1 ?1- n? 4 1 1 1 4 1 1 所以 2+ 2+…+ 2= = (1- n),故选 C. a1 a2 an 1 3 4 1- 4

2.数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 Sn=1-2+3-4+…+(-1)n 1· n,则 S15=( B ) A.9 C.16 B.8 D.15


解析:S15=1-2+3-4+…+15=1+(-2+3)+(-4 +5)+…+(-14+15)=8,故选 B.

1 1 1 1 3.数列 1 ,3 ,5 ,7 ,…的前 n 项和 Sn= 2 4 8 16

.

1 1 1 解析:Sn=(1+3+5+…+2n-1)+( + +…+ n) 2 4 2 1 =n +1- n. 2
2

2 4.数列{an}满足 a1=1,an= ,其前 n 项和为 Sn, n?n+1? 则 Sn=( B ) n A. 2n+1 n+2 C. n+1 2n B. n+1 2n D. 2n+1

2 1 1 解析:an= =2( - ), n n+1 n?n+1? 则 Sn=a1+a2+a3+…+an 1 1 1 1 1 1 =2[( - )+( - )+…+( - )] 1 2 2 3 n n+1 1 2n =2(1- )= . n+1 n+1 故选 B.

1 1 1 1 5. 数列 1× , 2× , 3× , 4× , …的前 n 项和为 2 4 8 16

.

1 1 1 1 解析:S=1× +2× +3× +…+n× n, 2 4 8 2 1 1 1 1 2S=1+2× +3× +…+(n-1)× n-2+n× n-1, 2 4 2 2 两式相减得 1 1 1 1 S=1+ + +…+ n-1-n× n 2 4 2 2 1 1- n 2+n 2 1 = -n× n=2- n . 1 2 2 1- 2

1 6.求值:Sn=Cn+2C2+3C3+…+nCn. n n n

3 n 解析:Sn=C1+2C2+3Cn+…+(n-1)Cn 1+nCn,① n n n n n-1 n-2 2 Sn=nCn+(n-1)Cn +(n-2)Cn +…+2Cn+C1 n



=nC0+(n-1)C1+(n-2)C2+…+2Cn 2+Cn 1,② n n n n n
1 n ①+②得 2Sn=nC0+nCn+…+nCn n





=n(C0+C1+…+Cn) n n n =n·n, 2 所以 Sn=n· 2
n-1

.



分组求和及并项求和
【例 1】求和: (1)Sn =1+(3+4)+(5+6+7)+(7+8+9+10)+…+

(2n-1+2n+…+3n-2); (2)Sn=12-22+32-42+…+(-1)n 1·2. n


解析:(1)因为 an=(2n-1)+2n+(2n+1)+…+(3n-2) n?2n-1+3n-2? 5 2 3 = = n - n, 2 2 2 5 2 2 2 3 2 所以 Sn= (1 +2 +3 +…+n )- (1+2+…+n) 2 2 1 = n(n+1)(5n-2)(n∈N*). 6

(2)当 n 是偶数时, Sn=(12-22)+(32-42)+…+[(n-1)2-n2] -n?n+1? =-3-7-…-(2n-1)= . 2 当 n 是奇数时, Sn=1+(32-22)+(52-42)+…+[n2-(n-1)2] n?n+1? =1+5+9+…+(2n-1)= . 2 故 Sn=(-1)
n-1n?n+1?

2

(n∈N*).

【拓展演练 1】 (1)求值:(a-1)+(a2-2)+…+(an-n); (2)(2012· 湖南省郴州第三次模拟)若数列{an}的通项公式是 an=(-1)n(3n-2),则 a1+a2+…+a10=( A.15 C.-12 B.12 D.-15 )

解析:(1)因为 Sn=(a-1)+(a2-2)+…+(an-n) =(a+a2+…+an)-(1+2+…+n). n?n+1? -n2+n 当 a=1 时,Sn=n- = . 2 2 a?1-an? n?n+1? 当 a≠1 时,Sn= - . 2 1-a
?-n2+n ? ? 2 所以 Sn=? a?1-an? n?n+1? ? ? 1-a - 2 ?

?a=1? . ?a≠1?

(2)因为 an=(-1)n(3n-2),所以 a1+a2+…+a10=(-1 +4)+(-7+10)+…+(-25+28)=15.故选 A.



裂项相消法求和
【例 2】(2012· 黑龙江绥棱期末)函数 f(x)=x3,在等差数

列{an}中,a3=7,a1+a2+a3=12,记 Sn=f( an+1),令 bn= 1 anSn,数列{ }的前 n 项和为 Tn. bn (1)求{an}的通项公式和 Sn; 1 (2)求证:Tn< . 3

3

解析:(1)设数列{an}的公差为 d. 由 a3=a1+2d=7,a1+a2+a3=3a1+3d=12, 解得 a1=1,d=3,所以 an=3n-2. 3 3 因为 f(x)=x ,所以 Sn=f( an+1)=an+1=3n+1. (2)证明:因为 bn=anSn=(3n-2)(3n+1), 1 1 1 1 1 所以 = = ( - ), bn ?3n-2??3n+1? 3 3n-2 3n+1 1 1 1 Tn= + +…+ b1 b2 bn 1 1 1 1 1 1 = [(1- )+( - )+…+( - )] 3 4 4 7 3n-2 3n+1 1 1 1 = (1- )< . 3 3n+1 3

【拓展演练 2】 (2012· 北京市东城区第一学期期末)在等差数列{an}中,a1 =3,其前 n 项和为 Sn, 等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1, S2 公比为 q,且 b2+S2=12,q= . b2 (1)求 an 与 bn; 1 1 1 1 2 (2)证明: ≤ + +…+ < . 3 S1 S2 Sn 3

解析:(1)设数列{an}的公差为 d,
?b2+S2=12 ? 则由? S2 ?q=b ? 2 ?q+6+d=12 ? ,得? 6+d ?q= q ?



解得 q=3 或 q=-4(舍去),d=3, 故 an=3+3(n-1)=3n,bn=3n 1.


n?3+3n? (2)因为 Sn= , 2 1 2 21 1 所以 = = ( - ), Sn n?3+3n? 3 n n+1 1 1 1 故 + +…+ S1 S2 Sn 2 1 1 1 1 1 1 1 = [(1- )+( - )+( - )+…+( - )] 3 2 2 3 3 4 n n+1 2 1 = (1- ). 3 n+1 1 1 1 1 因为 n≥1,所以 0< ≤ ,于是 ≤1- <1, 2 n+1 2 n+1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 所以 ≤ (1- )< ,即 ≤ + +…+ < . 3 3 3 S1 S2 Sn 3 n+1 3



错位相减法求和
【例 3】(2012· 广东韶关市第一次调研)已知函数 f(x)=log 2x,且数列{f(an)}是首项为 2,公差为 2 的等差

数列. (1)求证:数列{an}是等比数列; (2)设 bn=an· n),求数列{bn}的前 n 项和 Sn 的最小值. f(a

解析:(1)证明:由题意 f(an)=2+(n-1)×2=2n, 即 log 2an=2n. an+1 2n 1 所以 an=( 2)2n=2n,所以 = n =2. an 2 所以数列{an}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列.


(2)由(1)知,bn=an· n)=n·n 1. f(a 2 所以 Sn=1·2+2·3+3·4+…+n·n 1,① 2 2 2 2 2Sn=1· +2· +…+3· +…+n· 2 2 2 2 ②-①,得 Sn=-22-23-24-…-2n 1+n·n 2 22?1-2n? + =- +n·n 2. 2 1-2 所以 Sn=(n-1)2
n+2
+ +2 +



3

4

5

n+2

.②

+4.

因为{Sn}是递增数列,所以 Sn 的最小值等于 S1=4.

【拓展演练 3】 (2012· 江西省十所重点中学第二次联考)已知等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn,公差 d≠0,且 S3+S5=50,a1,a4,a13 成 等比数列. (1)求数列{an}的通项公式;
?b ? ? n? (2)设?a ?是首项为 ? n? ? ?

1,公比为 3 的等比数列,求数列{bn}

的前 n 项和 Tn.

? 3×2 4×5 ?3a1+ d+5a1+ d=50 2 2 ? 解析:(1)依题意得 ? ?a1+3d?2=a1?a1+12d? ? ?a1=3 解得? ), ?d=2

),

所以 an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1, 即 an=2n+1.

bn n-1 n-1 n-1 (2) =3 ,bn=an· =(2n+1)· , 3 3 an Tn=3+5· 3+7·2+…+(2n+1)·n 1, 3 3 3Tn=3· 3+5·2+7·3+…+(2n-1)·n 1+(2n+1)·n. 3 3 3 3 -2Tn=3+2· 3+2·2+…+2·n 1-(2n+1)·n 3 3 3 3?1-3n 1? =3+2· -(2n+1)3n 1-3
- - - -

=-2n·n, 3 所以 Tn=n·n. 3

1.(2012· 全国卷)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,5=5, a 1 S5=15,则数列{ }的前 100 项和为( A ) anan+1 100 A. 101 99 C. 100 99 B. 101 101 D. 100

解析:由 a5=5,S5=15,可得
?a1+4d=5 ? ? 5×4 d=15 ?5a1+ 2 ? ?a1=1 ,解得? ,所以 an=n. ?d=1

1 1 1 1 所以 = = - , anan+1 n?n+1? n n+1 1 1 1 1 1 S100=(1- )+( - )+…+( - ) 2 2 3 100 101 1 100 =1- = . 101 101

1 2.(2011· 北京卷)在等比数列{an}中,a1= ,a4=-4, 2 则公比 q= -2 ;a1+a2+…+an= .

a4 解析:q = =-8,所以 q=-2; a1
3

1 由 a1= ,q=-2,得到等比数列的前 n 项和 2 1 [1-?-2?n] 1-?-2?n 2 Sn=a1+a2+…+an= = . 6 1-?-2?

3.(2012· 新课标全国卷)数列{an}满足 an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前 60 项和为 .

解析:由 an+1+(-1)nan=2n-1, 得 an+2=(-1)nan+1+2n+1 =(-1)n[(-1)n 1an+2n-1]+2n+1 =-an+(-1)n(2n-1)+2n+1, 即 an+2+an=(-1)n(2n-1)+2n+1, 也有 an+3+an+1=-(-1)n(2n+1)+2n+3, 两式相加得 an+an+1+an+2+an+3=-2(-1)n+4n+4, k 设 为整数,


则 a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4=-2(-1) =16k+10,

4k+1

+4(4k+1)+4

于是 S60= ? (a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4)
k=0

14

= ? (16k+10)=1830.
k=0

14

1 2 4.(2012· 江西卷)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=- n + 2 kn(其中 k∈N*),且 Sn 的最大值为 8. (1)确定常数 k,并求 an; 9-2an (2)求数列{ n }的前 n 项和 Tn. 2

1 2 解析:(1)当 n=k∈N 时,Sn=- n +kn 取最大值, 2
*

1 2 2 1 2 即 8=Sk=- k +k = k , 2 2 故 k2=16,因此 k=4, 9 从而 an=Sn-Sn-1= -n(n≥2), 2 7 9 又 a1=S1= ,所以 an= -n. 2 2

9-2an n (2)因为 bn= = n-1, n 2 2 n-1 2 3 n Tn=b1+b2+…+bn=1+ + 2+…+ n-2 + n-1, 2 2 2 2 所以 Tn=2Tn-Tn 1 1 n =2+1+ +…+ n-2- n-1 2 2 2 =4- n-2- n-1 2 2 n+2 =4- n-1 . 2 1 n


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