2014届高三一轮数学(理)复习第34讲数列求和

第34讲 数列求和

1．(改编)已知数列{an}是公比为 2 的等比数列，若 1 1 1 a1＝2，则 2＋ 2＋…＋ 2＝( C ) a1 a2 an 1 1 A. (1－ n) 3 2 1 1 C. (1－ n) 3 4 1 n B. (4 －1) 3 1 D．1－ n 4

1 1 1 解析： 由条件知{ 2}是首项为 ， 公比为 的等比数列， an 4 4 1 1 ?1－ n? 4 1 1 1 4 1 1 所以 2＋ 2＋…＋ 2＝ ＝ (1－ n)，故选 C. a1 a2 an 1 3 4 1－ 4

2．数列{an}的前 n 项和为 Sn， 已知 Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n 1· n，则 S15＝( B ) A．9 C．16 B．8 D．15
－

解析：S15＝1－2＋3－4＋…＋15＝1＋(－2＋3)＋(－4 ＋5)＋…＋(－14＋15)＝8，故选 B.

1 1 1 1 3．数列 1 ，3 ，5 ，7 ，…的前 n 项和 Sn＝ 2 4 8 16

.

1 1 1 解析：Sn＝(1＋3＋5＋…＋2n－1)＋( ＋ ＋…＋ n) 2 4 2 1 ＝n ＋1－ n. 2
2

2 4．数列{an}满足 a1＝1，an＝ ，其前 n 项和为 Sn， n?n＋1? 则 Sn＝( B ) n A. 2n＋1 n＋2 C. n＋1 2n B. n＋1 2n D. 2n＋1

2 1 1 解析：an＝ ＝2( － )， n n＋1 n?n＋1? 则 Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an 1 1 1 1 1 1 ＝2[( － )＋( － )＋…＋( － )] 1 2 2 3 n n＋1 1 2n ＝2(1－ )＝ . n＋1 n＋1 故选 B.

1 1 1 1 5． 数列 1× ， 2× ， 3× ， 4× ， …的前 n 项和为 2 4 8 16

.

1 1 1 1 解析：S＝1× ＋2× ＋3× ＋…＋n× n， 2 4 8 2 1 1 1 1 2S＝1＋2× ＋3× ＋…＋(n－1)× n－2＋n× n－1， 2 4 2 2 两式相减得 1 1 1 1 S＝1＋ ＋ ＋…＋ n－1－n× n 2 4 2 2 1 1－ n 2＋n 2 1 ＝ －n× n＝2－ n . 1 2 2 1－ 2

1 6．求值：Sn＝Cn＋2C2＋3C3＋…＋nCn. n n n

3 n 解析：Sn＝C1＋2C2＋3Cn＋…＋(n－1)Cn 1＋nCn，① n n n n n－1 n－2 2 Sn＝nCn＋(n－1)Cn ＋(n－2)Cn ＋…＋2Cn＋C1 n

－

＝nC0＋(n－1)C1＋(n－2)C2＋…＋2Cn 2＋Cn 1，② n n n n n
1 n ①＋②得 2Sn＝nC0＋nCn＋…＋nCn n

－

－

＝n(C0＋C1＋…＋Cn) n n n ＝n·n， 2 所以 Sn＝n· 2
n－1

.

一

分组求和及并项求和
【例 1】求和： (1)Sn ＝1＋(3＋4)＋(5＋6＋7)＋(7＋8＋9＋10)＋…＋

(2n－1＋2n＋…＋3n－2)； (2)Sn＝12－22＋32－42＋…＋(－1)n 1·2. n
－

解析：(1)因为 an＝(2n－1)＋2n＋(2n＋1)＋…＋(3n－2) n?2n－1＋3n－2? 5 2 3 ＝ ＝ n － n， 2 2 2 5 2 2 2 3 2 所以 Sn＝ (1 ＋2 ＋3 ＋…＋n )－ (1＋2＋…＋n) 2 2 1 ＝ n(n＋1)(5n－2)(n∈N*)． 6

(2)当 n 是偶数时， Sn＝(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－1)2－n2] －n?n＋1? ＝－3－7－…－(2n－1)＝ . 2 当 n 是奇数时， Sn＝1＋(32－22)＋(52－42)＋…＋[n2－(n－1)2] n?n＋1? ＝1＋5＋9＋…＋(2n－1)＝ . 2 故 Sn＝(－1)
n－1n?n＋1?

2

(n∈N*)．

【拓展演练 1】 (1)求值：(a－1)＋(a2－2)＋…＋(an－n)； (2)(2012· 湖南省郴州第三次模拟)若数列{an}的通项公式是 an＝(－1)n(3n－2)，则 a1＋a2＋…＋a10＝( A．15 C．－12 B．12 D．－15 )

解析：(1)因为 Sn＝(a－1)＋(a2－2)＋…＋(an－n) ＝(a＋a2＋…＋an)－(1＋2＋…＋n)． n?n＋1? －n2＋n 当 a＝1 时，Sn＝n－ ＝ . 2 2 a?1－an? n?n＋1? 当 a≠1 时，Sn＝ － . 2 1－a
?－n2＋n ? ? 2 所以 Sn＝? a?1－an? n?n＋1? ? ? 1－a － 2 ?

?a＝1? . ?a≠1?

(2)因为 an＝(－1)n(3n－2)，所以 a1＋a2＋…＋a10＝(－1 ＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝15.故选 A.

二

裂项相消法求和
【例 2】(2012· 黑龙江绥棱期末)函数 f(x)＝x3，在等差数

列{an}中，a3＝7，a1＋a2＋a3＝12，记 Sn＝f( an＋1)，令 bn＝ 1 anSn，数列{ }的前 n 项和为 Tn. bn (1)求{an}的通项公式和 Sn； 1 (2)求证：Tn< . 3

3

解析：(1)设数列{an}的公差为 d. 由 a3＝a1＋2d＝7，a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝12， 解得 a1＝1，d＝3，所以 an＝3n－2. 3 3 因为 f(x)＝x ，所以 Sn＝f( an＋1)＝an＋1＝3n＋1. (2)证明：因为 bn＝anSn＝(3n－2)(3n＋1)， 1 1 1 1 1 所以 ＝ ＝ ( － )， bn ?3n－2??3n＋1? 3 3n－2 3n＋1 1 1 1 Tn＝ ＋ ＋…＋ b1 b2 bn 1 1 1 1 1 1 ＝ [(1－ )＋( － )＋…＋( － )] 3 4 4 7 3n－2 3n＋1 1 1 1 ＝ (1－ )< . 3 3n＋1 3

【拓展演练 2】 (2012· 北京市东城区第一学期期末)在等差数列{an}中，a1 ＝3，其前 n 项和为 Sn， 等比数列{bn}的各项均为正数，b1＝1， S2 公比为 q，且 b2＋S2＝12，q＝ . b2 (1)求 an 与 bn； 1 1 1 1 2 (2)证明： ≤ ＋ ＋…＋ < . 3 S1 S2 Sn 3

解析：(1)设数列{an}的公差为 d，
?b2＋S2＝12 ? 则由? S2 ?q＝b ? 2 ?q＋6＋d＝12 ? ，得? 6＋d ?q＝ q ?

，

解得 q＝3 或 q＝－4(舍去)，d＝3， 故 an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3n 1.
－

n?3＋3n? (2)因为 Sn＝ ， 2 1 2 21 1 所以 ＝ ＝ ( － )， Sn n?3＋3n? 3 n n＋1 1 1 1 故 ＋ ＋…＋ S1 S2 Sn 2 1 1 1 1 1 1 1 ＝ [(1－ )＋( － )＋( － )＋…＋( － )] 3 2 2 3 3 4 n n＋1 2 1 ＝ (1－ )． 3 n＋1 1 1 1 1 因为 n≥1，所以 0< ≤ ，于是 ≤1－ <1， 2 n＋1 2 n＋1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 所以 ≤ (1－ )< ，即 ≤ ＋ ＋…＋ < . 3 3 3 S1 S2 Sn 3 n＋1 3

三

错位相减法求和
【例 3】(2012· 广东韶关市第一次调研)已知函数 f(x)＝log 2x，且数列{f(an)}是首项为 2，公差为 2 的等差

数列． (1)求证：数列{an}是等比数列； (2)设 bn＝an· n)，求数列{bn}的前 n 项和 Sn 的最小值． f(a

解析：(1)证明：由题意 f(an)＝2＋(n－1)×2＝2n， 即 log 2an＝2n. an＋1 2n 1 所以 an＝( 2)2n＝2n，所以 ＝ n ＝2. an 2 所以数列{an}是以 2 为首项，2 为公比的等比数列．
＋

(2)由(1)知，bn＝an· n)＝n·n 1. f(a 2 所以 Sn＝1·2＋2·3＋3·4＋…＋n·n 1，① 2 2 2 2 2Sn＝1· ＋2· ＋…＋3· ＋…＋n· 2 2 2 2 ②－①，得 Sn＝－22－23－24－…－2n 1＋n·n 2 22?1－2n? ＋ ＝－ ＋n·n 2. 2 1－2 所以 Sn＝(n－1)2
n＋2
＋ ＋2 ＋

＋

3

4

5

n＋2

.②

＋4.

因为{Sn}是递增数列，所以 Sn 的最小值等于 S1＝4.

【拓展演练 3】 (2012· 江西省十所重点中学第二次联考)已知等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn，公差 d≠0，且 S3＋S5＝50，a1，a4，a13 成 等比数列． (1)求数列{an}的通项公式；
?b ? ? n? (2)设?a ?是首项为 ? n? ? ?

1，公比为 3 的等比数列，求数列{bn}

的前 n 项和 Tn.

? 3×2 4×5 ?3a1＋ d＋5a1＋ d＝50 2 2 ? 解析：(1)依题意得 ? ?a1＋3d?2＝a1?a1＋12d? ? ?a1＝3 解得? )， ?d＝2

)，

所以 an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1， 即 an＝2n＋1.

bn n－1 n－1 n－1 (2) ＝3 ，bn＝an· ＝(2n＋1)· ， 3 3 an Tn＝3＋5· 3＋7·2＋…＋(2n＋1)·n 1， 3 3 3Tn＝3· 3＋5·2＋7·3＋…＋(2n－1)·n 1＋(2n＋1)·n. 3 3 3 3 －2Tn＝3＋2· 3＋2·2＋…＋2·n 1－(2n＋1)·n 3 3 3 3?1－3n 1? ＝3＋2· －(2n＋1)3n 1－3
－ － － －

＝－2n·n， 3 所以 Tn＝n·n. 3

1.(2012· 全国卷)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，5＝5， a 1 S5＝15，则数列{ }的前 100 项和为( A ) anan＋1 100 A. 101 99 C. 100 99 B. 101 101 D. 100

解析：由 a5＝5，S5＝15，可得
?a1＋4d＝5 ? ? 5×4 d＝15 ?5a1＋ 2 ? ?a1＝1 ，解得? ，所以 an＝n. ?d＝1

1 1 1 1 所以 ＝ ＝ － ， anan＋1 n?n＋1? n n＋1 1 1 1 1 1 S100＝(1－ )＋( － )＋…＋( － ) 2 2 3 100 101 1 100 ＝1－ ＝ . 101 101

1 2.(2011· 北京卷)在等比数列{an}中，a1＝ ，a4＝－4， 2 则公比 q＝ －2 ；a1＋a2＋…＋an＝ .

a4 解析：q ＝ ＝－8，所以 q＝－2； a1
3

1 由 a1＝ ，q＝－2，得到等比数列的前 n 项和 2 1 [1－?－2?n] 1－?－2?n 2 Sn＝a1＋a2＋…＋an＝ ＝ . 6 1－?－2?

3.(2012· 新课标全国卷)数列{an}满足 an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前 60 项和为 .

解析：由 an＋1＋(－1)nan＝2n－1， 得 an＋2＝(－1)nan＋1＋2n＋1 ＝(－1)n[(－1)n 1an＋2n－1]＋2n＋1 ＝－an＋(－1)n(2n－1)＋2n＋1， 即 an＋2＋an＝(－1)n(2n－1)＋2n＋1， 也有 an＋3＋an＋1＝－(－1)n(2n＋1)＋2n＋3， 两式相加得 an＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝－2(－1)n＋4n＋4， k 设 为整数，
－

则 a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4＝－2(－1) ＝16k＋10，

4k＋1

＋4(4k＋1)＋4

于是 S60＝ ? (a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4)
k＝0

14

＝ ? (16k＋10)＝1830.
k＝0

14

1 2 4.(2012· 江西卷)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝－ n ＋ 2 kn(其中 k∈N*)，且 Sn 的最大值为 8. (1)确定常数 k，并求 an； 9－2an (2)求数列{ n }的前 n 项和 Tn. 2

1 2 解析：(1)当 n＝k∈N 时，Sn＝－ n ＋kn 取最大值， 2
*

1 2 2 1 2 即 8＝Sk＝－ k ＋k ＝ k ， 2 2 故 k2＝16，因此 k＝4， 9 从而 an＝Sn－Sn－1＝ －n(n≥2)， 2 7 9 又 a1＝S1＝ ，所以 an＝ －n. 2 2

9－2an n (2)因为 bn＝ ＝ n－1， n 2 2 n－1 2 3 n Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋ ＋ 2＋…＋ n－2 ＋ n－1， 2 2 2 2 所以 Tn＝2Tn－Tn 1 1 n ＝2＋1＋ ＋…＋ n－2－ n－1 2 2 2 ＝4－ n－2－ n－1 2 2 n＋2 ＝4－ n－1 . 2 1 n