北京市朝阳区2012-2013学年度高三数学(理)上学期期末考试试题word版带答案2013.1

北京市朝阳区

数学测试题(理工类)
开始

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1. 已知 i 是虚数单位,若复数 (1 ? ai)(2 ? i) 是纯虚数,则实数 a 等于 A. 2 B.

1 2

C. ?

1 2

D. ?2

输入 x

2.“ k ? 1 ”是“直线 x ? y ? k ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相交”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

k ?0
x ? x?5
k ? k ?1

3.执行如图所示的程序框图.若输入 x ? 3 ,则输出 k 的值是 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

x ? 23?
是 输出 k

4.已知双曲线的中心在原点, 一个焦点为 F1 (? 5,0) , 点 P 在双曲线上, 且线段 PF1 的中点坐标为 (0, 2) ,则此双曲线的方程是



A.

x2 ? y2 ? 1 4

B. x ?
2

y2 ?1 4

结束

C.

x2 y2 ? ?1 2 3

D.

x2 y2 ? ?1 3 2

3

5.某中学从 4 名男生和 3 名女生中推荐 4 人参加社会公益活动, 若选出的 4 人中既有男生又有女生,则不同的选法共有 A. 140 种 B. 120 种 C. 35 种 D. 34 种[

1
正视图

6.已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形,其正视图与俯视图如图所 示,则其侧视图的面积为 A.

3 4

B.

3 2

C.

3 4

正 视 图
俯视图

D. 1

2 2 7.设集合 A= x x ? 2 x ? 3 ? 0 , 集合 B= x x ? 2ax ? 1 ? 0, a ? 0 .若 A ? B 中恰含有一个整数, 则实数 a 的

?

?

?

?

取值范围是 A. ? 0, ?

? ?

3? 4?

B. ? ,

?3 4 ? ? ?4 3 ?

C. ? , ?? ?

?3 ?4

? ?

D. ?1, ?? ?

AB , BD1 (不包括端点)上的动点, 8. 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 1, P 2 分别是线段 1B 1C1D 1 中,点 P
且线段 P 1 P2 平行于平面 A 1 2 AB 1 的体积的最大值是 1 ADD 1 ,则四面体 PP A.

1 24

B.

1 12

C.

1 6

D.

1 2

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上.
·1·

9. 已知数列 1, a1 , a2 ,9 是等差数列,数列 1, b1 , b2 , b3 ,9 是等比数列,则

b2 的值为 a1 ? a2

.

10. 如图, AB , CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦,它们相交于 AB 的中点 P . 若 PD ?

2a , ?OAP ? 30? ,则 AB = 3

, CP ?

(用 a 表示).

O P

A D

C ? x …0, B ? 11. 若关于 x , y 的不等式组 ? y …x, ( k 是常数)所表示的平面区域的边界是一个直角三角形,则 ? kx ? y ? 1 …0 ?

k?

. .

12. 在极坐标系中,过圆 ? ? 4cos ? 的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为

13. 在 直 角 三 角 形 ABC 中 , ?ACB ? 90? , AC ? BC ? 2 , 点 P 是 斜 边 AB 上 的 一 个 三 等 分 点 , 则

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? CP ? CB ? CP ? CA ?



14. 将整数 1, 2,3,?, 25 填入如图所示的 5 行 5 列的表格中,使每一行的数字从左到右都成递增数列,则第三 列各数之和的最小值为 ,最大值为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin

x x x cos ? cos 2 ? 1 . 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在 [ ,

? ?? ] 上的最小值. ? ?

16. (本小题满分 14 分) 在长方体 ABCD-A 2 ,点 E 在棱 CD 上,且 CE= CD . 1B 1C1D 1 中, AA=AD= 1 (Ⅰ)求证: AD1 ? 平面 A1B1D ;
D E C

1 3

(Ⅱ)在棱 AA1 上是否存在点 P ,使 DP ∥平面 B1 AE ? 若存在,求出线段 AP 的长;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)若二面角 A-B1 E-A1 的余弦值为 长.
A1 B1 A B

30 ,求棱 AB 的 6

D1

C1

·2·

17. (本小题满分 13 分) 某中学举行了一次“环保知识竞赛”,全校学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了 部分学生的成绩(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频 率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决下列问题: 频率分布表
频率分布直方图
0.040 x

频率 组距

组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组

分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 合计

频数 8 a 20 ▓ 2 ▓

频率 0.16 ▓ 0.40 0.08 b ▓

▓ ▓
0.008 y 50 60 70 80 90 100

成绩(分)

(Ⅰ)写出 a, b, x, y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学到广场参加环保知识 的志愿宣传活动,求所抽取的 2 名同学来自同一组的概率; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设 ? 表示所抽取的 2 名同学中来自第 5 组的人数,求 ? 的分布列及其数学期望.

18. (本小题满分 13 分)

1 已知函数 f ( x) ? a( x ? ) ? 2ln x (a ? R) . x
(Ⅰ)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间;

a (Ⅲ)设函数 g ( x) ? ? .若至少存在一个 x0 ? [1,e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 a 的取值范围. x

·3·

19.(本小题满分 14 分) 已知点 A 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? t ? 0 ? 的左顶点,直线 l : x ? my ? 1( m? R ) 与椭圆 C 相交于 E , F 两 9 t
16 . 3

点,与 x 轴相交于点 B .且当 m ? 0 时,△ AEF 的面积为

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 AE , AF 与直线 x ? 3 分别交于 M , N 两点,试判断以 MN 为直径的圆是否经过点 B ?并请 说明理由.

20. (本小题满分 13 分) 将正整数 1, 2,3, 4,?, n ( n ? 2 )任意排成 n 行 n 列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意
2

两个数 a , b ( a ? b )的比值

a ,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”. b

(Ⅰ)当 n ? 2 时,试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值” ; (Ⅱ)若 aij 表示某个 n 行 n 列数表中第 i 行第 j 列的数( 1 ? i ? n , 1 ? j ? n ) ,且满足

?i ? ( j ? i ? 1)n, i ? j, 请分别写出 n ? 3, 4,5 时数表的“特征值” ,并由此归纳此类数表的“特 aij ? ? ?i ? (n ? i ? j ? 1)n,i ? j,
征值” (不必证明) ; (Ⅲ)对于由正整数 1, 2,3, 4,?, n 排成的 n 行 n 列的任意数表,记其“特征值”为 ? ,求证: ? ?
2

n ?1 . n

·4·

北京市朝阳区 2012-2013 学年度高三年级第一学期期末统一考试

数学测试题答案(理工类)
一、选择题: 题号 答案 (1) A (2) A (10) (3) C (11) (4) B (5) D (12) (6) C

2013.1

(7) B (13)

(8) A (14)

二、填空题: 题号 (9) 答案

3 10

3a ;

9a 8

?1 或 0

? cos? ? 2

4

45 ; 85

(注:两空的填空,第一空 3 分,第一空 2 分) 三、解答题: (15) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? sin

x x 1 ? cos x cos ? ?1 2 2 2 1 1 1 ? sin x ? cos x ? 2 2 2

????????????????2 分

?

2 ? 1 sin( x ? ) ? . 2 4 2

?????????????????4 分

所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 2 ? . 由 2k ? ?

????????????????6 分

? ? 3? ? 5? ? x ? ? 2k ? ? , k ? Z ,则 2k ? ? ? x ? 2k ? ? . 2 4 2 4 4 ? 5? ] , k ? Z . ?????????9 分 函数 f ( x ) 单调递减区间是 [2k ? ? , 2k ? ? 4 4 ? ?? ? ? 7? (Ⅱ)由 ? x ? ,得 ? x ? ? . ???????????????11 分 ? ? 2 4 4
则当 x ?

? 3? 5? 2 ?1 ? ,即 x ? 时, f ( x ) 取得最小值 ? . 4 2 4 2

???????13 分

(16) (本小题满分 14 分) 证明: (Ⅰ)在长方体 ABCD-A 1B 1C1D 1 中, 因为 A1B1 ? 面 A 1D 1DA , 所以 A 1B 1 ? AD 1. ????????2 分
A B D E C

在矩形 A 2, 1D 1DA 中,因为 AA=AD= 1 所以 AD1 ? A 1D .
A1

D1

C1

B1





AD1 ?



·5·

A1B1D . ????????????????????????4 分
(Ⅱ)如图,在长方体 ABCD-A 1B 1C1D 1 中,以 D 1 为原点建立空间直角坐标系 D 1 ? xyz . 依题意可知, D1 (0,0,0), A 1 (2,0,0), D(0,0, 2) ,
D z

E C

A(2,0, 2) ,
设 AB 的长为 x ,则 C1 (0, x,0), B1 (2, x,0) ,
A B

2 C (0, x, 2), E (0, x, 2) . 3
假设在棱 AA1 上存在点 P ,使得 DP ∥平面 B1 AE . 设点 P (2,0, y) ,则 DP ? (2,0, y - 2) ,

D1

y C1

??? ?

A1 x

B1

??? ? AP ? (0,0, y - 2) .
易知 B1 E=(-2, -

????

??? ? 1 2 x, 2), AE ? (-2, x, 0) . 3 3

设平面 B1 AE 的一个法向量为 n ? (a, b, c) ,

1 ? ???? -2a - xb ? 2c = 0 ? ? B E ? n = 0 ? ? 1 3 则 ? ??? ,即 ? .??????????????????7 分 ? 2 AE ? n = 0 ? ? -2a + xb = 0 ? ? 3 ?
3 3 x ,所以 n ? ( x,3, x) . 2 2 ??? ? 因为 DP ∥平面 B1 AE ,等价于 DP ? n ? 0 且 DP ? 平面 B1 AE .
令 b ? 3 得, a ? x, c ?

3 2 x ? 0 ,所以 y ? . 2 3 ??? ? ??? ? 4 4 4 所以 AP ? (0, 0, - ) , AP ? ,所以 AP 的长为 .????????????9 分 3 3 3
得 2 x + ( y - 2) ? (Ⅲ)因为 CD ∥ A1B1 ,且点 E ? CD , 所以平面 A 1B 1 D 与面 A 1B 1CD 是同一个平面. 1B 1 E 、平面 A 由(Ⅰ)可知, AD1 ? 面 A1B1D , 所以 D1 A ? (2,0, 2) 是平面 A 1B 1 E 的一个法向量. 由(Ⅱ)可知,平面 B1 AE 的一个法向量为 n ? ( x,3,

???? ?

????????????11 分

3 x) . 2

·6·

因为二面角 A-B1 E-A1 的余弦值为

30 , 6
2 x + 3x 3 2 2 ? x ? 9 ? ( x) 2 2
2

???? ? D1 A ? n 30 ? ???? ? 所以 cos ? ? ? 6 AD1 ? n
故 AB 的长为 3 2 . (17) (本小题满分 13 分)

,解得 x ? 3 2 .

??????????????????????14 分

解: (Ⅰ)由题意可知, a ? 16, b ? 0.04, x ? 0.032, y ? 0.004 . ??????4 分 (Ⅱ)由题意可知,第 4 组有 4 人,第 5 组有 2 人,共 6 人. 从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学有
2 C6 ? 15 种情况.

????????????????????????6 分

设事件 A :随机抽取的 2 名同学来自同一组,则

P( A) ?

2 2 C4 ? C2 7 ? . 2 C6 15

所以,随机抽取的 2 名同学来自同一组的概率是 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知, ? 的可能取值为 0,1, 2 ,则

7 . ??????????8 分 15

P(? ? 0) ?

2 1 1 2 C4 C4 C2 8 C2 6 2 1 , , ? ? P ( ? ? 1) ? ? P ( ? ? 2) ? ? . 2 2 2 C6 15 5 C6 15 C6 15

所以, ? 的分布列为

?
P

0

1

2
????????????????12 分

2 5

8 15

1 15

所以, E? ? 0 ?

2 8 1 2 ? 1? ? 2 ? ? . ??????????????13 分 5 15 15 3

(18) (本小题满分 13 分) 解:函数的定义域为 ? 0, ??? ,

1 2 ax2 ? 2x ? a . ???????????????????1 分 ) ? ? x2 x x2 1 (Ⅰ)当 a ? 2 时,函数 f ( x) ? 2( x ? ) ? 2ln x , f (1) ? 0 , f ?(1) ? 2 . x f ?( x) ? a(1 ?
所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 0 ? 2( x ? 1) , 即 2 x ? y ? 2 ? 0 .???????????????????????????3 分
·7·

(Ⅱ)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) . (1)当 a ? 0 时, h( x) ? ax2 ? 2x ? a ? 0 在 (0, ??) 上恒成立, 则 f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,此时 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递减. ?????4 分
2 (2)当 a ? 0 时, ? ? 4 ? 4a ,

(ⅰ)若 0 ? a ? 1 , 由 f ?( x) ? 0 ,即 h( x) ? 0 ,得 x ?

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 或x? ; ??????5 分 a a

由 f ?( x) ? 0 ,即 h( x) ? 0 ,得

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 .?????????6 分 ?x? a a 1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ) 和( , ??) , a a
??????????????7 分

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 单调递减区间为 ( , ). a a

(ⅱ)若 a ? 1 , h( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,则 f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,此时 f ( x ) 在 (0, ??) 上单 调递增. ????????????????????????8 分 (Ⅲ) )因为存在一个 x0 ? [1,e] 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) , 则 ax0 ? 2ln x0 ,等价于 a ?

2 ln x0 .???????????????????9 分 x0

令 F ( x) ?

2 ln x ,等价于“当 x ? ?1,e? 时, a ? F ? x ?min ”. x
2(1 ? ln x) . x2
?????????????????10 分

对 F ( x) 求导,得 F ?( x) ?

因为当 x ? [1, e] 时, F ?( x) ? 0 ,所以 F ( x) 在 [1, e] 上单调递增. ?????12 分 所以 F ( x)min ? F (1) ? 0 ,因此 a ? 0 . 另解:
设 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ax ? 2ln x ,定义域为 ? 0, ??? , ????????????????13 分

F? ? x? ? a ?

2 ax ? 2 ? . x x

依题意,至少存在一个 x0 ? [1,e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,
·8·

等价于当 x ? ?1,e? 时, F ? x ?max ? 0 . (1)当 a ? 0 时,

???????????????9 分

F ? ? x ? ? 0 在 ?1,e? 恒成立,所以 F ? x ? 在 ?1,e? 单调递减,只要 F ? x ?max ? F ?1? ? a ? 0 ,
则不满足题意. ??????????????????????????10 分

(2)当 a ? 0 时,令 F ? ? x ? ? 0 得 x ? (ⅰ)当 0 ?

2 . a

2 ? 1 ,即 a ? 2 时, a

在 ?1,e? 上 F ? ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ?1,e? 上单调递增, 所以 F ? x ?max ? F ? e? ? ae ? 2 , 由 ae ? 2 ? 0 得, a ? 所以 a ? 2 . (ⅱ)当

2 , e

??????????????????????????11 分

2 2 ? e ,即 0 ? a ? 时, a e

在 ?1,e? 上 F ? ? x ? ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ?1,e? 单调递减, 所以 F ? x ?max ? F ?1? ? a ,

2 .?????????????????????????12 分 e 2 2 (ⅲ)当 1 ? ? e ,即 ? a ? 2 时, a e 2 2 在 [1, ) 上 F ? ? x ? ? 0 ,在 ( , e] 上 F ? ? x ? ? 0 , a a 2 2 所以 F ? x ? 在 [1, ) 单调递减,在 ( , e] 单调递增, a a
由a ? 0得0 ? a ?

F ? x ?max ? 0 ,等价于 F ?1? ? 0 或 F ? e ? ? 0 ,解得 a ? 0 ,
所以,

2 ?a?2. e
???????????????13 分

综上所述,实数 a 的取值范围为 (0, ??) .

(19) (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)当 m ? 0 时,直线 l 的方程为 x ? 1 ,设点 E 在 x 轴上方,

? x2 y 2 ? 1, 2 2t 2 2t 4 2t ? ? ), F (1, ? ) ,所以 EF ? 由? 9 解得 E (1, . t 3 3 3 ? x ?1 ?

·9·

因为△ AEF 的面积为

1 4 2t 16 ? 4? ? ,解得 t ? 2 . 2 3 3
???????????????????4 分

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 9 2

? x2 y 2 ? 1, ? ? (Ⅱ)由 ? 9 得 (2m2 ? 9) y 2 ? 4my ? 16 ? 0 ,显然 m ? R .???????5 分 2 ? x ? my ? 1 ?
设 E( x1, y1 ), F ( x2 , y2 ) , 则 y1 ? y2 ?

?4m ?16 , y1 y2 ? ,??????????????????6 分 2 2m ? 9 2m 2 ? 9

x1 ? my1 ? 1 , x2 ? my2 ? 1 .
y1 ? ( x ? 3), y1 6 y1 ?y ? x1 ? 3 又直线 AE 的方程为 y ? 解得 M (3, ( x ? 3) ,由 ? ), x1 ? 3 x ? 3 1 ? x?3 ?
同理得 N (3,

???? ? 6 y1 ???? 6 y2 6 y2 ) .所以 BM ? (2, ), BN ? (2, ) ,????????9 分 x1 ? 3 x2 ? 3 x2 ? 3 6 y1 6 y2 ) ? (2, ) x1 ? 3 x2 ? 3

又因为 BM ? BN ? (2,

???? ? ??? ?

? 4?

36 y1 y2 36 y1 y2 ? 4? ( x1 ? 3)( x2 ? 3) (my1 ? 4)(my2 ? 4)

?

4(my1 ? 4)(my2 ? 4) ? 36 y1 y2 m2 y1 y2 ? 4m( y1 ? y2 ) ? 16

?16(4m2 ? 36) ? 16 ? 4m2 ? 16 ? 4(2m2 ? 9) ? ?32m2 ? 16(2m2 ? 9)
?64m2 ? 576 ? 64m2 ? 128m2 ? 576 ? 0 .??????????13 分 ? 9
所以 BM ? BN ,所以以 MN 为直径的圆过点 B . ?????????????14 分 (20) (本小题满分 13 分) 证明: (Ⅰ)显然,交换任何两行或两列,特征值不变. 可设 1 在第一行第一列,考虑与 1 同行或同列的两个数只有三种可能, 2, 3 或 2, 4 或 3, 4 .

???? ?

??? ?

·10·

得到数表的不同特征值是 (Ⅱ)当 n ? 3 时,数表为

3 4 或 . 2 3
7 5 3 1 8 6 4 2 9

????????????3 分

此时,数表的“特征值”为 . 当 n ? 4 时,数表为
13 10 7 4

4 3

????????????????????4 分
1 14 11 8 5 2 15 12 9 6 3 16

此时,数表的“特征值”为

5 . 4
21 17 13 9 5

?????????????????????5 分
1 22 18 14 10 6 2 23 19 15 11 7 3 24 20 16 12 8 4 25

当 n ? 5 时,数表为

此时,数表的“特征值”为 猜想“特征值”为

n ?1 . n
2

6 . ??????????????????????6 分 5
???????????????????????7 分

(Ⅲ)对于一个数表而言, n ? n ? 1, n ? n ? 2,?, n 这 n 个较大的数中,要么至少有两个数在一个数表的同
2 2

一行(或同一列)中,要么这 n 个较大的数在这个数表的不同行且不同列中. ①当 n ? n ? 1, n ? n ? 2,?, n 这 n 个较大的数,至少有两个数在数表的同一行(或同一列)中时,设 a , b
2 2 2

( a ? b )为该行(或列)中最大的两个数,则 ? ?

a n2 ? 2 , b n ? n ?1

n2 n ? 1 n3 ? (n3 ? 1) 1 ? ? ?? ? 0, 因为 2 2 2 n ? n ?1 n n(n ? n ? 1) n(n ? n ? 1)

n2 n ?1 n ?1 ? . 所以 2 ,从而 ? ? n n ? n ?1 n
2 2 2

????????????????10 分

②当 n ? n ? 1, n ? n ? 2,?, n 这 n 个较大的数在这个数表的不同行且不同列中时,
2 2 当它们中的一个数与 n ? n 在同行(或列)中,设 a 为与 n ? n 在同行、同列中的两个最大数中的较小

的一个.则有 ? ?

a n2 ? 1 n ? 1 ? ? . n2 ? n n2 ? n n
·11·

综上可得 ? ?

n ?1 . n

????????????????????????13 分

·12·


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