2018年高考数学考点通关练第七章平面解析几何50两条直线的交点与距离公式课件理2017052301139_图文

第一部分 考点通关练 第七章 平面解析几何
考点测试50 两条直线的交点与距离公式

第1步 狂刷小题· 练基础

一、基础小题 1.原点到直线 x+2y-5=0 的距离为 ( A.1 C.2 B. 3 D. 5 )

解析

|- 5| 由点到直线的距离公式得 d= 2= 5. 1+ 2

2.过点 (1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是 ( ) A. x-2 y-1=0 C.2x+y-2=0 B.x-2y+1=0 D.x+2 y-1=0

解析

设 直 线 方 程 为 x - 2y + c = 0(c≠ - 2) , 又 经 过

(1,0),故 c=- 1,所求方程为 x- 2y-1=0.

3.“a=1”是“直线 x+ y=0 和直线 x- ay=0 互相垂 直”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 直线 x+ y= 0 和直线 x- ay= 0 互相垂直 ?1+

1×(- a)= 0,所以选 C.

4.已知直线 3x+ y-1=0 与直线 2 行,则它们之间的距离是( A.1 C.3
解析

3x+my+ 3=0 平

)

5 B. 4 D.4
3 1 -1 ∵ = ≠ ,∴ m=2,两平行线之间的距离 3 m 2 3

d=

? 3? ? ? - 1 - ? 2? ? ?

5 = .选 B. 4 3+ 1

5.已知点 M 是直线 x+

3y=2 上的一个动点,且点 )

P( 3,-1),则|PM |的最小值为 ( 1 A. B.1 2 C.2
解析

D.3
|PM |的最小值即点 P( 3,- 1)到直线 x+ 3y=2

| 3- 3- 2| 的距离,又 = 1,故 |PM|的最小值为 1.选 B. 1+ 3

6.已知点 M 是直线 l:2x-y-4=0 与 x 轴的交点,将 直线 l 绕点 M 逆时针方向旋转 45° , 得到的直线方程是( A. x+ y-3=0 C.3x-y+6=0 B.3x+y-6=0 D.x-3 y-2=0 )

解析

设直线 l 的倾斜角为 α,则 tanα= k= 2,则 k′= B.

? 2+ 1 π? ? ? tan ?α+ ?= =-3,对比四个选项可知选 4 1- 2×1 ? ?

π 7. 已知直线 l 的倾斜角为 , 直线 l1 经过点 A(3,2), B( - 4 a, 1), 且 l1 与 l 垂直, 直线 l2 : 2x+by+1 =0 与直线 l1 平行, 则 a+b=( A.-4 C.0 解析 ) B.-2 D.2 由题知,直线 l 的斜率为 1,则直线 l1 的斜率为

2- 1 2 - 1, 所以 =- 1, 所以 a=- 4.又 l1∥ l2, 所以- =-1, b 3+ a b= 2,所以 a+ b=-4+2=- 2,故选 B.

8.已知实数 x、y 满足 2x+ y+5=0,那么 x2+ y2 的最 小值为( A. 5 C.2 5
解析 合得 5 d= = 5. 5

) B. 10 D.2 10
x2+ y2表示点 (x, y)到原点的距离.根据数形结

x2+ y2的最小值为原点到直线 2x+ y+ 5= 0 的距离, 即

9.已知直线 l 过点 M(3,4),且与点 A(- 2,2),B(4,- 2)等距离,则直线 l 的方程为( A.2 x+3y-18=0 B.2x-y-2=0 C.3x-2y+18=0 或 x+2y+2=0 D.2x- y-2=0 或 2x+3y-18=0 )

解析

易知直线 l 的斜率存在,故可设直线 l 的方程为

y- 4= k(x- 3),即 kx- y+ 4-3k= 0. |- 2k- 2+ 4- 3k| |4k+ 2+ 4- 3k| 由已知得 = , 解得 k= 2 2 2 1+ k 1+ k 2 或 k=- ,故直线 l 的方程为 2x- y- 2=0 或 2x+ 3y-18 3 = 0.

10.设 A,B 是 x 轴上的两点,点 M 的横坐标为 3,且 |MA|= |MB|,若直线 MA 的方程为 x- y+ 1=0,则直线 MB 的方程是 ( ) A. x+ y-7=0 B.x- y+7=0 C.x-2y+1=0 D.x+2 y-1=0

解析

解法一:由 |MA|= |MB|知,点 M 在 A,B 的垂直

平分线上.由点 M 的横坐标为 3,且直线 MA 的方程为 x - y+ 1= 0,得 M(3,4).由题意,知直线 MA,MB 关于直线 x= 3 对称,故直线 MA 上的点 (0,1)关于直线 x= 3 的对称点 (6,1)在直线 MB 上,∴直线 MB 的方程为 x+ y- 7= 0.选 A. 解法二:由点 M 的横坐标为 3,且直线 MA 的方程为 x - y+ 1= 0,得 M(3,4),代入四个选项可知只有 3+ 4- 7= 0 满足题意,选 A.

11.已知点 A(3,1),在直线 y=x 和 y=0 上分别找一点 M 和 N,使△AMN 的周长最短,则最短周长为( A.4 C.2 3 B.2 5 D.2 2 )

解析

设点 A 关于直线 y= x 的对称点为 B(x1,y1),依

?y1+ 1 x1+ 3 ? = , ? 2 2 题意可得? ?y1- 1 ?x - 3=-1, ? 1 ? ?x1= 1, 解得? ? ?y1= 3,

即 B(1,3), 同样可得点 A 关于 y= 0 的对

称点 C(3, -1), 如图所示, 则 |AM|+ |AN|+ |MN|= |BM|+ |CN| + |MN|≥|BC|,当且仅当 B, M, N, C 共线时,△ AMN 的 周长最短,即 |BC|= ?1- 3?2+ ?3+ 1?2= 2 5.选 B.

12.经过两条直线 2x-3y+3=0, x- y+ 2=0 的交点, 且 与 直 线 x - 3y - 1 = 0 平 行 的 直 线 的 一 般 式 方 程 为

x-3 y=0 . ___________
解析 两条直线 2x-3y+ 3= 0, x- y+ 2=0 的交点为 (-

1 3,- 1),所以所求直线为 y+1= (x+ 3),即 x- 3y= 0. 3

二、高考小题 13. [2016· 全国卷Ⅱ]圆 x2+ y2-2 x-8y+13=0 的圆心到 直线 ax+y-1=0 的距离为 1,则 a= ( 4 A.- 3 C. 3 3 B.- 4 D.2 )

解析

圆的方程可化为 (x- 1)2+ (y- 4)2= 4,则圆心坐

|a+ 4-1| 标为 (1,4), 圆心到直线 ax+ y- 1= 0 的距离为 = 1, 2 a +1 4 解得 a=- .故选 A. 3

14.[2015· 山东高考]一条光线从点 (-2 ,-3)射出,经 y 轴反射后与圆 (x+3)2 +(y-2)2 =1 相切,则反射光线所在直 线的斜率为( ) 3 2 B.- 或- 2 3 4 3 D.- 或- 3 4 5 3 A.- 或- 3 5 5 4 C.- 或- 4 5

解析

如图,作出点 P(- 2,- 3)关于 y 轴的对称点

P0(2,- 3).由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过 点 P0.故设反射光线为 y= k(x- 2)- 3,即 kx- y- 2k- 3= 0. |- 3k- 2- 2k- 3| 4 ∴圆心到直线的距离 d= = 1, 解得 k=- 2 3 1+ k 3 或 k=- . 4

15.[2015· 广东高考]平行于直线 2x+y+1=0 且与圆 x2 +y2=5 相切的直线的方程是 ( B.2x+y+ 5=0 或 2x+ y- D.2x- y+ 5=0 或 2x-y- ) 5=0 5=0 A.2 x+ y+5=0 或 2x+ y-5=0 C.2x-y+5=0 或 2x- y-5=0

解析

设与直线 2x+ y+ 1= 0 平行的直线方程为 2x+ y

+ m=0(m≠1), 因为直线 2x+ y+ m= 0 与圆 x2+ y2= 5 相切,即点 (0,0) 到直线 2x+ y+ m= 0 的距离为 5, |m| 所以 = 5, |m|= 5. 5 故所求直线的方程为 2x+ y+ 5= 0 或 2x+y- 5= 0.

16.[2014· 江苏高考]在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x +2y-3=0 被圆(x-2)2 +(y+1)2=4 截得的弦长为
2 55 5 ________ .

解析

圆 (x- 2)2+ (y+ 1)2= 4 的圆心为 C(2,- 1),半径

r = 2 , 圆 心 C 到 直 线 x + 2y - 3 = 0 的 距 离 为 d = |2+ 2×?- 1?-3| 3 = , 2 2 5 1 +2 所求弦长 l= 2 r - d = 2
2 2

9 2 55 4- = . 5 5

17.[2014· 重庆高考]已知直线 ax+y-2= 0 与圆心为 C 的圆(x-1)2 +(y-a)2=4 相交于 A,B 两点,且△ABC 为等

4± 15 边三角形,则实数 a=________.
解析 由△ ABC 为等边三角形可得, C 到 AB 的距离为

|a+ a-2| 3,即 (1,a)到直线 ax+ y- 2= 0 的距离 d= 2 = 3, 1+ a 即 a2-8a+ 1= 0,可求得 a= 4± 15.

三、模拟小题 18.[2016· 河北邯郸质检 ]数学家欧拉在 1765 年提出定 理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重 心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人 称之为三角形的欧拉线.已知△ABC 的顶点 A(2,0),B(0,4), 且 AC=BC,则△ABC 的欧拉线的方程为 ( A. x+2 y+3=0 C.x-2y+3=0 B.2x+y+3=0 D.2x- y+3=0 )

解析

因为 AC= BC,所以欧拉线为 AB 的中垂线.又

A(2, 0), B(0,4),所以 AB 的中点为 (1,2), kAB=- 2.故 AB 1 的中垂线为 y- 2= (x- 1),即 x- 2y+ 3=0,应选 C. 2

19.[2017· 杭州月考]已知 P1(a1,b1 )与 P2 (a2,b2)是直线 y= kx+1(k 为常数)上两个不同的点, 则关于 x 和 y 的方程组
? ?a1x+b1y=1, ? ? ?a2x+b2y=1

的解的情况是 (

)

A.无论 k、 P1、 P2 如何,总是无解 B.无论 k、 P1、 P2 如何,总有唯一解 C.存在 k、 P1、 P2 ,使之恰有两解 D.存在 k、 P1、 P2 ,使之有无穷多解

解析

由题意,直线 y= kx+ 1 一定不过原点 O, P1、

→ → P2 是直线 y= kx+ 1 上不同的两点,则OP1 与 OP2 不平行,因
? ?a1x+ b1y= 1, 此 a1b2- a2b1≠0,所以二元一次方程组? ? ?a2x+ b2y= 1



定有唯一解.

20 . [2016· 韶关模拟 ]“C = 2”是“点 (1 , + 3y+C =0 的距离为 3”的( A.充要条件 C.必要不充分条件
解析 则有
2

3)到直线 x

)

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

若点 (1, 3)到直线 x+ 3y+ C= 0 的距离为 3,
2

|1+ 3+C| 1 + ? 3?

= 3,解得 C= 2 或 C=- 10,故 “C= 2”是

“点 (1, 3)到直线 x+ 3y+ C= 0 的距离为 3”的充分不必 要条件,选 B.

21.[2017· 宜昌模拟]在平面直角坐标系 xOy 中,将直线 l 沿 x 轴正方向平移 3 个单位,沿 y 轴正方向平移 5 个单位, 得到直线 l1 ,再将直线 l1 沿 x 轴正方向平移 1 个单位,沿 y 轴负方向平移 2 个单位,又与直线 l 重合,则直线 l 与直线
11 5 l1 的距离是________ .

解析

设直线 l:ax+ by+ c= 0,依题意可得 l1: a(x-

3)+ b(y- 5)+ c= 0, 再将直线 l1 沿 x 轴正方向平移 1 个单位, 沿 y 轴负方向平移 2 个单位得直线 l: a(x- 4)+b(y- 3)+ c 3 = 0 , 故 a = - b , 则 直 线 l 与 直 线 l1 的 距 离 d = 4 |- 3a-5b+ c+ 4a+ 3b- c| |a- 2b| = 2 2 2 2= a +b a +b
? ? 3 ? ? - b - 2 b ? ? 4 ? ? ? 3 ? ? ?2 - b ? ? +b 4 ? ?

11 = . 5 2

22.[2017· 淮安调研]已知入射光线经过点 M(-3,4),被 直线 l:x-y+3=0 反射,反射光线经过点 N(2,6),则反射

6x- y-6=0 . 光线所在直线的方程为_____________

解析 为

设点 M(- 3,4)关于直线 l: x- y+ 3= 0 的对称点 M′ ,

M′(a , b) , 则 反 射 光 线 所 在 直 线 过 点

? b- 4 ? · 1=-1, ?a- ?-3? ? b+ 4 ?- 3+ a - + 3= 0, ? 2 2 ?

解得 a= 1, b= 0.又反射光线经过

y- 0 x- 1 点 N(2,6),所以所求直线的方程为 = ,即 6x- y- 6 6- 0 2- 1 = 0.

23.[2016· 衡阳一模]已知点 P 在直线 x+3 y-2=0 上, 点 Q 在直线 x+3 y+6=0 上,线段 PQ 的中点为 M(x0,y0 ),
? ? 1 ? ? -∞,- y0 ? ?∪(0,+∞) 3 ? ? y0< x0+2 , 则 的取值范围是________________________ . x0



|x0+ 3y0- 2| |x0+ 3y0+ 6| 解析 依题意可得 = ,化为 x0 10 10 y0 + 3y0+ 2= 0,又 y0<x0+ 2,设 = kOM, x0

如图当点 M 位于线段 AB(不包括端点 )上时, kOM>0, 1 y0 当点 M 位于射线 BN 上除 B 点外时, kOM<- .所以 的取值 3 x0
? 1? ? 范围是?- ∞,- ? ?∪ (0,+ ∞). 3 ? ?

24 . [2016· 河南焦作一模 ] 著名数学家华 罗庚曾说过: “数形结合百般好,割裂分家万事休.”事实上,有很多代 数问题可以转化为几何问题加以解决, 如: ?x-a?2 +?y-b?2 可以转化为平面上点 M(x,y)与点 N(a ,b)的距离.结合上述 观 点 , 可 得 f(x) = 5 2 ________ . x2+4x+20 + x2+2x+10 的 最 小 值 为

解析

∵ f(x)=

x2+ 4x+ 20+ x2+ 2x+ 10= ?x+ 1?2+ ?0- 3?2, ∴ f(x)的几何意

?x+ 2?2+ ?0- 4?2+

义为点 M(x,0)到两定点 A(- 2,4)与 B(-1,3)的距离之和,设 点 A(- 2,4)关于 x 轴的对称点为 A′,则 A′为 (- 2,-4). 要求 f(x)的最小值,可转化为 |MA|+ |MB|的最小值,利 用对称思想可知 |MA|+ |MB|≥|A ′B|= =5 5 2. 2 , 即 f(x) = x2+ 4x+ 20 + ?- 1+2?2+ ?3+4?2 x2+ 2x+ 10 的 最 小 值 为

第2步 精做大题· 练能力

一、高考大题 本考点在近三年高考中未涉及此题型. 二、模拟大题 1. [2016· 保定月考 ]已知直线 l 经过直线 2x+y-5=0 与 x-2y=0 的交点 P. (1)点 A(5,0)到 l 的距离为 3,求 l 的方程; (2)求点 A(5,0)到 l 的距离的最大值.



(1)经过两已知直线交点的直线系方程为

(2x+ y- 5)+ λ(x- 2y)= 0, 即 (2+ λ)x+ (1- 2λ)y- 5= 0, ∴ |10+ 5λ- 5| 2 2= 3, ?2+ λ? + ?1- 2λ?

1 解得 λ= 2 或 λ= . 2 ∴ l 的方程为 x= 2 或 4x- 3y-5=0.

? ?2x+ y- 5=0, (2)由 ? ? ?x- 2y= 0,

解得交点 P(2,1). 如图,过 P 作任一直线 l,设 d 为点 A 到 l 的距离, 则 d ≤|P A|(当 l⊥ P A 时等号成 立 ). ∴d max= |P A|= 10.

2. [2017· 江西九江月考]已知直线 l1:x+a2 y+1=0 和直 线 l2: (a2+1)x-by+3=0(a,b∈R). (1)若 l1∥l2 ,求 b 的取值范围; (2)若 l1⊥l2 ,求 |ab|的最小值.

解 即

(1)因为 l1∥ l2,所以-b- (a2+ 1)a2=0,
? ? 1 1 2 2 4 2 ? 2 ?2 b=- a (a + 1)=- a - a =-?a + ? + , 2? 4 ?

因为 a2≥0,所以 b≤0. 又因为 a2+ 1≠3,所以 b≠- 6. 故 b 的取值范围是 (- ∞,-6)∪ (- 6,0]. (2)因为 l1⊥ l2,所以 (a2+1)- a2b=0,显然 a≠0,所以
? 1? 1 ? ab=a+ , |ab|=?a+ ? 1 时等号成立, ?≥2,当且仅当 a= ± a? a ?

因此 |ab|的最小值为 2.


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