从现代数学发展趋势看中学数学教学改革


从现代数学发展趋势看中学数学教学改革
一、现代数学的发展趋势
1.更高的抽象性 在纯粹数学领域中, 集合论观点的渗透和公理化方法的运用极大地推动了纯 粹数学向更高的抽象化发展。 2.更深入的基础探讨 随着集合论在数学各领域中的渗透和应用,它逐渐成为数学理论的坚实基 础,但随后罗素悖论的出现打破了人们对集合论作为数学基础 的信任,引起了 关于数学基础的一系列问题。例如:(1)如何解决已发现的悖论并进一步保证在 公理系统中不出现悖论。(2)如何理解“数学的存在”。(3)有无实无限,如何理 解实无限。(4)数学的基础是什么。 3.更强的统一性 20 世纪以来,不同学科之间的相互渗透、结合更为广泛.不同分支领域的 数学思想与数学方法相互融合, 导致了一系列重大发现以及数学内部新的综合交 叉学科的不断兴起,数学已经渗入各个领域。特别是 20 世纪 40 年代以后,数学 以空前的广度和深度向其他科学技术和人类知识领域渗透, 加上电子计算机的推 助,应用数学的蓬勃发展已成为当代数学的一股强大潮流。

二、顺应发展趋势的中学数学改革
(一)从现代数学的更高的抽象性看中学数学课堂的改革 现代数学越来越抽象,因此锻炼学生的抽象思维是非常关键。那么,在具体 数学教学中我们又是如何改革教学,以便更好地锻炼学生的抽象思维呢? (1)现代中学数学教育注重发展学生的观察力 注重发展学生的观察力,是培养学生抽象思维的前提 正如心理学家鲁宾斯指出的那样, “任何思维,不论它是多么抽象的和多么 理论的,都是从观察分析经验材料开始” 。观察是智力的门户,是思维的前哨, 是启动思维的按钮。观察的深刻与否,决定着创造性思维的形成。因此,引导学 生明白对一个问题不要急于按想的套路求解,而要深刻地观察,去伪存真。这不 但为最终解决问题奠定基础,而且也可能有创见性的寻找到解决问题的契机。 (2)现代中学数学教育注重提高学生的猜想能力 提高学生的猜想能力,是培养学生抽象思维的关键 猜想是由已知原理、事实,对未知现象及其规律做出的一种假设性的命题。 在我们的数学教学中,培养学生进行猜想是激发学习兴趣,发展学生思维,掌握 探求知识方法的必要手段。 我们要善于启发、 积极指导、 热情鼓励学生进行猜想, 以真正达到启迪思维、传授知识的目的。 启发学生进行猜想,作为教师,首先要点燃学生主动探索之火,我们决不能 急于把自己全部的秘密都吐露出来。而要“引在前”“引”学生观察分析; , “引” 学生大胆设问; “引”学生各抒己见; “引”学生充分活动。让学生去想,猜想问 题的结论,猜想解题的方向,猜想知识间的有机联系,让学生把各种各样的想法 都讲出来,让学生成为学习的主人,推动其思维的主动性。其次,引导学生采用
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归纳、 类比的方法大胆猜想。 归纳法是通过对一些个别的、 特殊的情况加以观察、 分析,从而导出一个一般性结论的方法,是一种从特殊到一般的推理方法。人们 常常运用归纳法,得出对某一类现象的某种一般性认识的推测性判断,即猜想, 这种思想方法称为猜想。 例如: 在高中代数中学习组合数性质时, 先让学生经过计算考察下列组合数: 3 8 m 1 n C5 与 C54 , C82 与 C86 , C11 与 C11 从而归纳猜想出组合性质: C n = Cn ?m ,最后在对 该性质加以证明。 所谓类比, 是指由一类事物所具有的某种属性,可以推测与其类似的事物也 应具有这种属性的一种推理方法。 它常称为类比法, 也称类比推理。 伯利亚认为, 类比就是一种相似, 类比法是一种从特殊到特殊的推理方法, 其结论具有或然性。 由类比得到的猜想成为类比猜想。如:在直角三角形 ABC 中有勾股定理: c 2 ? a 2 ? b 2 ,其 a,b 为直角边,c 为斜边,类比到空间:在三个面两两垂直的四面 体中,这三个面面积分别为 A、B、C,如果将地四个面面积为 D,于是可猜测有 类似于勾股定理的形式: D 2 ? A 2 ? B 2 ? C 2 。可以证明,这个结论是正确的。 (3)现代中学教育重视直觉思维能力的培养 重视直觉思维能力的培养,是培养学生抽象思维的基础 直觉思维是指人们不受逻辑规则约束,直接领悟事物本质的一种思维方式。 直觉思维与逻辑思维一样, 都是人类思维的基本方式。 美国心理学家布鲁纳认为, 应该做更多的工作区发展学生的直觉思维。 笛卡尔也曾认为在数学推理中的每一 步,直觉思维是不可缺少的。就好像我们平时踢足球要球感一样,在快速运动中 来不及去逻辑判断, 动作只是下意识的,而下意识的动作正是在平时训练产生的 一种直觉。 现代社会需要创造性的人才,我国的教材由于长期以来借鉴国外的经验,过 多的注重培养逻辑思维,培养的大多是按部就班、墨守成规,缺乏创造性能力和 开拓精神。直觉思维是基于研究对象整体上的把握,不专意于细节的推敲,是思 维的大手笔。正是由于思维的无意识性,他的想象才是丰富的,发散的,是人的 认知结构向外无限扩展,因而具有反常规律的独创性。 伊恩·斯图加特说: “直觉是真正的数学家赖以生存的东西” ,许多重大的发 现都是基于直觉。 欧几里德几何学的五个公式都是基于直觉;阿基米德在浴室里 找到了辨别王冠真假的方法; 凯庫勒发现苯分子环状结构更是一个直觉思维的成 功典范。 直觉思维能力可以通过多方联想,学会从整体考虑问题,注意挖掘问题内部 的本质联系,借助对称、和谐等数学美感。养成解题后进行反思的习惯等途径加 以培养。例如:如图,有一边长为 3 的立方体,它有 27 个边长为 1 的小立方体 组成,其中 19 个看得见,8 个看不见,问在 边长为 n 的立方体中, 看不见的 边长为 1 的小立方体有多少个?看得见的小立方体有多少个?

这道题可以有好几种解法, 但是都比较繁, 一个直觉思维强的人可能会发现: 从大立方体的顶面、前面、侧面各剥去一层小立方体,剩下部分恰好就是看不见 立方体,于是边长为 n 的立方体,看不见的小立方体有 (n ? 1) 3 ,看得见的小
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立方体有 n 3 ? (n ? 1) 3 ? 3n 2 ? 3n ? 1个,十分简明了。 (4)现代中学教育注重发散思维的训练 注重发散思维的训练,是培养学生抽象思维的重要环节 发散思维就是对熟悉的事物,能够采用新的方法或新的角度加以研究,从而 在相同或相似之处看出不同的思维形式,见人所未见。它具有流畅性、变通性和 创造性的特征。根据现代心理学的观点,一个人创造能力的大小,一般来说与他 的发散能力是成正比的。在数学教学中,不断采用一题多解、一题多变、一题多 思等传统方法, 并且引导学生评价各种不同解法的特点及优劣,不但能提高学生 的学习兴趣,而且对于提高解题能力、优化解题思路、增强发散思维能力都大有 好处。 (5)现代中学教育注重引入数学开放题,是培养抽象思维的良好载体 引入数学开放题,是培养抽象思维的良好载体 数学开放题是在 20 世纪 70 年代开始出现的一种新题型, 开放题是相对于传 统封闭题而言,其主要特征是条件不完备,结论不确定,解题策略多样化。由于 它具有与传统封闭题不同的特点,因此在数学教学中有其特定功能。数学开放题 以其新颖的问题内容、 生动的问题形式和问题解决的发散性,给解题的创造能力 提供了良好的载体; 同时它为学生提供了更多的交流和合作的机会,为充分发挥 学生的主题作用创造了条件; 数学开放题的教学过程是学生主动构建,积极参与 的过程,有利于培养学生数学意识,发展学生的数感,真正学会思维。 数学命题根据思维形式一般可分为“假设”“推理”“判断”三个要素。一 、 、 个数学开放题,可视其未知要素作如下分类:①若未知要素是假设,则为条件开 放题;②若未知要素是推理,则为策略开放题;③若未知要素为判断,则为结论 开放题;④若问题只给出一定的情境,其条件、解题策略与结论都要求解题者根 据给出情境自己寻求与设定, 则可称为综合开放题, 开放题也按其标准进行分类。 例如: 如图, 在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, 当地面四边形满足_ 条件时, 有(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)这是 1998 年全国高考数学卷中的第 18 题,也是全国高考中第一次出现的开放题,这是一 道条件开放题,可以填写 AC⊥BD,ABCD 为菱形,ABCD 为正方形等。 (6)现代中学教育注重利用计算机辅助教学 利用计算机辅助教学,是培养抽象思维的重要手段。 目前供数学教师使用的教学软件有 Powerpoint, AutoCAD, Authorware,《几 何画板》和《数学实验室》等。在数学教学过程中,使用计算机辅助教学,可以 突破传统教学的限制,进行一系列有关图形、计算等演示;能有效突破难点,突 破重点;能培养学生的探索精神,激发学生学习兴趣。在动态的教学中培养学生 的空间想象力、发现问题的能力,在推理演算中培养逻辑思维能力。 例如: 在学习正弦型曲线时,教师在黑板上或学生在练习本上都只能通过优 先的几个函数去描点绘图,绘出的图也不太准确,不利于学生研究问题的本质。 如果能够让学生亲自在计算机上输入数据,通过图像的不断变化,能在短时间内 让学生发现图像特点,有利于加深对正弦型曲线的理解和掌握。当然,在教学中 要正确处理计算机辅助教学与传统教学手段之间的关系,要根据教学实际,编制 并采用适合课堂教学的计算机课件,才有利于培养学生的探索精神,锻炼学生创 新思维,从而达到创新教育的目的。 总之,在教学中培养创造性思维能力符合我国的国情。另外,开展创新教育
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的目的在于培养学生的各种思维能力、应用知识能力和实践能力,以及培养学生 的创新精神。这就要求我们抛弃“满堂灌”的传统教学观念、改进教学方法,创 造一个良好的课堂教学情景, 让学生轻轻松松地学习,来培养学生良好的数学素 质,优良的思维品质,从而把学生培养称为社会有用的合格人才! (二) 从现代数学更深入的基础探讨的发展趋势看中学数学教师引导学生学习方 式改革 根据从现代数学更深入的基础探讨的发展趋势引导学生数学学习的方式由 “强调结果”转向“强调过程与方法” 在引导学生学习数学的方式中,“强调结果”的教学观重在让学生“学会”, 即重在以结论或定论的知识形态让学生接受、消化和积累,其理论基础是“记忆教 学论”,是一种适应性的教学;而“强调过程与方法”的教学观重在引导学生“会 学”,即重在引导学生在自主探究与发现的过程中探求新知识、新信息以及提出新 问题,获取掌握知识的方法,其理论基础是“思维教学论”或“活动教学论”,是一 种创新性的教学。 美国当代教育学家布鲁纳指出“知识乃是一个过程,不是结果”。 前苏联著名数学教育学家A.A.斯托利亚尔在《数学教育学》一书中指出,数学教育 学的对象是数学教学,而数学教学是数学活动的教学。这一思想极深刻地揭示了数 学教学观的一个重大转变,即强调多向信息传递和多种器官协调活动,主张在数学 知识的发生发展过程中,通过学生的主体实践活动来完成认识任务。这种教学观追 求的是学生的自主学习和独立思考,在数学活动中形成搜集、加工和处理信息的能 力,获取新知识的能力,问题解决能力和创造能力,并形成合作交往、团结协作的能 力。 活动教学论在我国的研究可以说是刚刚起步,因此,从“强调数学学习结果”的 教学转向“强调数学学习过程”的教学,才真正实现了对传统课堂教学的根本转变, 使教学过程真正建立在学生自主活动,主动探索发现的基础上,通过学生主体实践 活动促进他们主动发展和多方面的素质综合提高。 (三)从现代数学的更强的统一性看中学数学改革——从“双基”与“三力”观 点的形成,发展到更宽广的能力观和素质观 20世纪50年代,我国重视讲授“数量计算,空间形式及其相互关系之普通知识 为主” 。1954年发表的《中学数学教学大纲(修订草案) 》指出, “中学数学教学的 目的是教给学生以数学的基础知识, 并且培养他们应用这种知识来解决各种实际问 题所必需的技能和熟练技巧。 ”当时人们把基础知识和上述的技能技巧简称为“双 基” 。1963年, 《全日制中学数学教学大纲(草案) 》已经指出中学数学教学目的, 是使学“牢固地掌握”中学数学的基础知识, “培养学生正确而迅速的计算能力, 逻辑推理能力和空间想象能力” ,我们把上述能力概括为“三力” ,提出三大能力的 教学理念,是我国数学教学观念的重大发展。从60年代开始, “双基”和“三力” 一直成为我国大陆数学教学的基本要求。 1982 年《全日制六年制重点中学数学教学大纲(征求意见稿),明确地指 》 出了“双基”和“三力”的关系: “通过基础知识的教学和基本技能的训练,要 重视培养学生的运算能力,逻辑推理能力和空间想象能力。同时,要注意培养学 生获得数学知识和运用数学知识的能力,使学生逐步掌握数学中的一些思想方 法。 ”从上述大纲可见,在 20 世纪 80 年代,我国不但要求学生掌握“双基”和 “三大能力” ,对数学思想方法的学习,也提出了明确的要求。 1996 年,我国《全日制普通高级中学数学教学大纲(供试验用) 》对“基础 知识”和“基本技能”的学习要求分别给予了明确的界定,对原有的思维能力、 运算能力、空间想象能力等“三大能力”的要求进一步明确化。该大纲中增加了
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培养学生“分析和解决实际问题的能力”的提法。 进入 21 世纪, 由于数学教学的需要, 《全日制义务教育数学课程标 我国 (实 验稿) 》于 2001 年发表, 《普通高中数学课程标准(实验) 》于 2003 年问世,上 述两个标准提出了数学教学的许多新理念。它突破了原有“三大能力”的界限, 提出了新的数学能力观,包括: “注重培养学生数学地提出问题、分析问题和解 决问题的能力,发展学生的创新意识和应用意识,提高学生的数学探究能力,数 学建模能力和数学交流能力,进一步发展学生的数学实践能力。 ”

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