2013年高考理科数学数列解答题汇编_图文

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2013 年高考理科数学数列解答题汇编

1. (2013 四川卷(理) )在等差数列 {an } 中,

a1 ? a3 ? 8 ,且 a4 为 a2 和 a9 的等比中项,求数列 {an } 的首项、

公差及前 n 项和.
【答案】解:设该数列公差为 d ,前 n 项和为 s n .由已知,可得

2a1 ? 2d ? 8, ? a1 ? 3d ? ? ? a1 ? d ?? a1 ? 8d ? .
2

所以 a1 ? d ? 4, d ? d ? 3a1 ? ? 0 , 解得 a1 ? 4, d ? 0 ,或 a1 ? 1, d ? 3 ,即数列 ?an ? 的首相为 4,公差为 0,或首相为 1,公差为 3. 所以数列的前 n 项和 sn ? 4n 或 sn ?

3n 2 ? n 2

2. (2013 安徽(理) )设函数

f n ( x) ? ?1 ? x ?

x2 x2 ? ? 22 32

?

xn ( x ? R, n ? N n ) ,证明: 2 n
2 3

n (Ⅰ)对每个 n ? N ,存在唯一的 xn ? [ ,1] ,满足 f n ( xn ) ? 0 ;

n (Ⅱ)对任意 p ? N ,由(Ⅰ)中 xn 构成的数列 ?xn ? 满足 0 ? xn ? xn ? p ?

1 . n

xn x2 x3 x4 xn 【答案】解: (Ⅰ) ? 当x ? 0时,y ? 2 是单调递增的? f n ( x) ? ?1 ? x ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 是 n 2 3 4 n
x 的单调递增函数,也是 n 的单 调递增函数. 且f n (0) ? ?1 ? 0, f n (1) ? ?1 ? 1 ? 0 .

? 存在唯一xn ? (0,1],满足f n ( xn ) ? 0,且 1 ? x1 ? x2 ? x3 ? xn ? 0
当x ? (0,1).时, f n ( x) ? ?1 ? x ?
2

x2 x3 x4 xn x 2 1 ? x n ?1 x2 1 ? ? ? ? ? ? ? 1 ? x ? ? ? ? 1 ? x ? ? 2 2 2 2 4 1? x 4 1? x 2 2 2 2

x 1 2 ? 0 ? f n ( xn ) ? ?1 ? xn ? n ? ? ( xn ? 2)(3xn ? 2) ? 0 ? xn ? [ ,1] 4 1 ? xn 3
n 综上,对每个 n ? N ,存在唯一的 xn ? [ ,1] ,满足 f n ( xn ) ? 0 ;(证毕)

2 3

(Ⅱ) 由题知 1 ? xn ? xn ? p ? 0, f n ( xn ) ? ?1 ? xn ?

xn x x x ? n2 ? n2 ? ? ? n2 ? 0 2 2 3 4 n

2

3

4

n

2

f n? p ( xn? p ) ? ?1 ? xn? p ?


xn? p 22

2

?

xn? p 32

3

?

xn? p 42

4

???

xn? p n2
3

n

?

xn? p

n ?1

(n ? 1) 2
4

???

xn? p

n? p

(n ? p) 2
n ?1

?0 上 式 相
:

2 3 4 n xn? p xn? p xn? p xn? p xn? p xn? p xn xn xn xn xn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? xn? p ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 3 4 n 2 3 4 n (n ? 1) 2 (n ? p) 2

2

n

n? p

xn - xn? p ? (

xn? p - xn 22

2

2

?

xn? p - xn 32

3

3

?

xn? p - xn 42

4

4

???

xn? p - xn n2

n

n

) ? (

xn? p

n ?1

(n ? 1) 2

???

xn? p

n? p

(n ? p) 2



?

1 1 1 1 ? ? ? xn - xn? p ? . n n? p n n

法二:

3. ( 2013 上海卷(理) ) 给 定常数 c ? 0 , 定义函数 f ( x) ? 2 | x ? c ? 4 | ? | x ? c | , 数列 a1 , a2 , a3 ,

满足

an?1 ? f (an ), n ? N * .

3

(1)若 a1 ? ?c ? 2 ,求 a2 及 a3 ;(2)求证:对任意 n ? N * , an?1 ? an ? c ,; (3)是否存在 a1 ,使得 a1 , a2 ,
【答案】:(1)因为 c ? 0 , a1

an ,

成等差数列?若存在,求出所有这样的 a1 ,若不存在,说明理由.

? ?(c ? 2) ,故 a2 ? f (a1 ) ? 2 | a1 ? c ? 4 | ? | a1 ? c |? 2 ,

a3 ? f (a1 ) ? 2 | a2 ? c ? 4 | ? | a2 ? c |? c ? 10
(2)要证明原命题,只需证明 f ( x) ? x ? c 对任意 x ? R 都成立,

f ( x) ? x ? c ? 2 | x ? c ? 4 | ? | x ? c |? x ? c
即只需证明 2 | x ? c ? 4 |?| x ? c | + x ? c 若 x ? c ? 0 ,显然有 2 | x ? c ? 4 |?| x ? c | + x ? c=0 成立; 若 x ? c ? 0 ,则 2 | x ? c ? 4 |?| x ? c | + x ? c ? x ? c ? 4 ? x ? c 显然成立 综上, f ( x) ? x ? c 恒成立,即对任意的 n ? N , an?1 ? an ? c
*

(3)由(2)知,若 {an } 为等差数列,则公差 d ? c ? 0 ,故 n 无限增大时,总有 an ? 0 此时, an?1 ? f (an ) ? 2(an ? c ? 4) ? (an ? c) ? an ? c ? 8 即d ? c?8

故 a2 ? f (a1 ) ? 2 | a1 ? c ? 4 | ? | a1 ? c |? a1 ? c ? 8 , 即 2 | a1 ? c ? 4 |?| a1 ? c | ?a1 ? c ? 8 , 当 a1 ? c ? 0 时,等式成立,且 n ? 2 时, an ? 0 ,此时 {an } 为等差数列,满足题意; 若 a1 ? c ? 0 ,则 | a1 ? c ? 4 |? 4 ? a1 ? ?c ? 8 , 此时, a2 ? 0, a3 ? c ? 8,

, an ? (n ? 2)(c ? 8) 也满足题意;

综上,满足题意的 a1 的取值范围是 [?c, ??) ? {?c ? 8} .
4. (2013 江苏卷(数学) )本小题满分 10 分.
k个 k -1 k 1 ,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4, , ( -1) k, ,(-1) ?an?: k -1







,





(k ? 1 )k ( k k ?1 ) k ?1 k ? N ? ? 时, an ? ?n? (-1 ) k ,记 Sn ? a1 ? a2 ? 2 2

? an ? n ? N ? ? ,对于 l ? N ? ,定义

4
? 集合 Pl ? n S n 是an的整数倍,n ? N ,且1 ? n ? l

?

?

(1)求集合 P11 中元素的个数; 解决问题能力及推理论证能力. (1) 解 :

(2)求集合 P2000 中元素的个数.

【答案】 本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用数学归纳法分析







?an ?







得: a1 ? 1 , a2 ? ?2 , a3 ? ?2 , a4 ? 3 , a5 ? 3 , a6 ? 3 , a7 ? ?4 , a8 ? ?4 , a9 ? ?4 , a10 ? ?4 , a11 ? 5 ∴ S1 ? 1 , S 2 ? ?1 , S 3 ? ?3 , S 4 ? 0 , S 5 ? 3 , S 6 ? 6 , S 7 ? 2 , S8 ? ?2 , S 9 ? ?6 , S10 ? ?10 ,

S11 ? ?5
∴ S1 ? 1 ? a1 , S 4 ? 0 ? a 4 , S 5 ? 1 ? a5 , S 6 ? 2 ? a6 , S11 ? ?1 ? a11 ∴集合 P11 中元素的个数为 5 (2)证明:用数学归纳法先证 Si ( 2i ?1) ? ?i(2i ? 1) 事实上, ① 当 i ? 1 时, Si ( 2i ?1) ? S3 ? ?1 ? (2 ? 1) ? ?3 故原式成立 故原式成立

② 假设当 i ? m 时,等式成立,即 S m( 2m?1) ? ?m ? (2m ? 1) 则: i ? m ? 1 ,时,

S(m?1)[ 2( m?1)?1} ? S(m?1)(2m?3} ? Sm(2m?1) ? (2m ? 1) 2 ? (2m ? 2) 2 ? ?m(2m ? 1) ? (2m ? 1) 2 ? (2m ? 2) 2
? ?(2m2 ? 5m ? 3) ? ?(m ? 1)(2m ? 3)
综合①②得: Si ( 2i ?1) ? ?i(2i ? 1) 于是

S(i?1)[2i?1} ? Si (2i ?1} ? (2i ? 1) 2 ? ?i(2i ? 1) ? (2i ? 1) 2 ? (2i ? 1)(i ? 1)
由上可知: Si ( 2i ?1} 是 (2i ? 1) 的倍数 而 a(i ?1)( 2i ?1}? j ? 2i ? 1( j ? 1,2,?,2i ? 1) ,所以 Si ( 2i ?1)? j ? Si ( 2i ?1) ? j (2i ? 1) 是

a(i ?1)( 2i ?1}? j ( j ? 1,2,?,2i ? 1) 的倍数
又 S (i ?1)[ 2i ?1} ? (i ? 1)(2i ? 1) 不是 2i ? 2 的倍数, 而 a(i ?1)( 2i ?1}? j ? ?(2i ? 2)( j ? 1,2,?,2i ? 2) 所以 S(i ?1)( 2i ?1)? j ? S(i ?1)( 2i ?1) ? j(2i ? 2) ? (2i ? 1)(i ? 1) ? j(2i ? 2) 不是 a(i ?1)( 2i ?1}? j ( j ? 1,2,?,2i ? 2) 的

5

倍数

(2i - 1 ) ?i 故当 l ? i(2i ? 1) 时,集合 Pl 中元素的个数为 1 ? 3 ? ? ?

2

于是当 l ? i(2i ? 1) ? j( 时,集合 Pl 中元素的个数为 i 2 ? j 1 ? j ? 2i ? 1 )

(2 ? 31 ? 1 ) ? 47 又 2000 ? 31 ?
故集合 P2000 中元素的个数为 31 ? 47 ? 1008
2

5. (2013 浙 江(理) )在公差为 d 的等差数列 {an } 中,已知 a1

? 10 ,且 a1 ,2a2 ? 2,5a3 成等比数列.

(1)求 d , an ;

(2)若 d ? 0 ,求 | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ??? | an | .

【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:

(2a2 ? 2)2 ? 5a1a3 ? 4(a1 ? d ? 1)2 ? 50(a1 ? 2d ) ? (11 ? d ) 2 ? 25(5 ? d )

?d ? 4 ?d ? ?1 ; ? 121 ? 22d ? d 2 ? 125 ? 25d ? d 2 ? 3d ? 4 ? 0 ? ? 或? a ? 4 n ? 6 a ? 11 ? n ? n ? n
(Ⅱ)由(1)知,当 d

? 0 时, an ? 11 ? n ,

①当1 ? n ? 11时,

an ? 0? | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ? ? | an |? a1 ? a2 ? a3 ? ?an ?
②当12 ?

n(10 ? 11 ? n) n(21 ? n) ? 2 2

n 时,
11(21 ? 11) n(21 ? n) n2 ? 21n ? 220 ? ? 2 2 2

an ? 0 ?| a1 | ? | a2 | ? | a3 | ? ? | an |? a1 ? a2 ? a3 ? ? a11 ? (a12 ? a13 ? ? an ) ? 2(a1 ? a2 ? a3 ? ? a11 ) ? (a1 ? a2 ? a3 ? ? an ) ? 2 ?

? n(21 ? n) ,(1 ? n ? 11) ? 2 ? 所以,综上所述: | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ? ? | an |? ? ; 2 n ? 21 n ? 220 ? ,(n ? 12) ? ? 2
6. (2013 湖北卷(理) )已知等比数列 ?an ? 满足:

a2 ? a3 ? 10 , a1a2a3 ? 125 .

(I)求数列 ?an ? 的通项公式 ; (II)是否存在正整数 m ,使得

1 1 ? ? a1 a2

?

1 ? 1 ?若存在,求 m 的最小值;若不存在,说明理由. am

【答案】解:(I)由已知条件得: a2

? 5 ,又 a2 q ? 1 ? 10 ,? q ? ?1或3 ,

6

所以数列 ?an ? 的通项 an ? ?5 ? ?? 1? (II)若 q ? ?1 ,

n?1

或 an ? 5 ? 3

n ?2

1 1 ? ? a1 a2
?

?

1 1 ? ? 或0 ,不存在这样的正整数 m ; am 5

若q ? 3,

1 1 ? ? a1 a2

m 1 9 ? ?1? ? 9 ? ?1 ? ? ? ? ? ,不存在这样的正整数 m . am 10 ? ? ? 3? ? ? 10

7. (2013 山东(理) )设等差数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S4 ? 4S2 , a2n ? 2an ? 1.
an ? 1 ? ? ( ? 为常数).令 cn ? b2n (n ? N * ) .求数列 ?cn ? 的前 n n 2

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? 项和 Rn .
【答案】解:(Ⅰ)设等差数列

?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d ,



S4 ? 4S2 , a2n ? 2an ? 1得

4a1 ? 6d ? 8a1 ? 4d ? ? ?a1 ? (2n ? 1) ? 2a1 ? 2(n ? 1)d ? 1 ,
解得, 因此

a1 ? 1 , d ? 2

an ? 2n ? 1 (n ? N * )
Tn ? ? ? n 2n ?1 n 2
n ?1

(Ⅱ)由题意知:

所以 n ? 2 时,

bn ? Tn ? Tn ?1 ? ?

?

n ?1 2n ?2

故,

cn ? b2 n ?

2n ? 2 1 ? (n ? 1)( ) n ?1 2 n ?1 2 4

(n ? N * )

1 1 1 1 1 Rn ? 0 ? ( )0 ? 1? ( )1 ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? ??? ? ( n ? 1) ? ( ) n ?1 4 4 4 4 4 所以 , 1 1 1 1 1 1 Rn ? 0 ? ( )1 ? 1? ( ) 2 ? 2 ? ( )3 ? ??? ? ( n ? 2) ? ( ) n ?1 ? ( n ? 1) ? ( ) n 4 4 4 4 4 则4 3 1 1 1 1 1 Rn ? ( )1 ? ( ) 2 ? ( )3 ? ??? ? ( ) n ?1 ? ( n ? 1) ? ( ) n 4 4 4 4 4 两式相减得 4

7

1 1 n ?( ) 4 4 ? (n ? 1)( 1 )n ? 1 4 1? 4
1 3n ? 1 Rn ? (4 ? n ?1 ) 9 4 整理得 Rn ? (4 ? ?c ? 9 所以数列数列 n 的前 n 项和 1 3n ? 1 ) 4n ?1

8. (2013 江苏卷(数学) )本小题满分 16 分.设 {an } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 (d ? 0) , Sn 是其前 n

项和.记 bn ?

nS n * , n ? N ,其中 c 为实数. 2 n ?c

* (1)若 c ? 0 ,且 b1,b2,b4 成等比数列,证明: Snk ? n2 Sk ( k , n ? N );

(2)若 {bn } 是等差数列,证明: c ? 0 .
【答案】证明:∵ {an } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 (d ? 0) , Sn 是其前 n 项和

∴ S n ? na ? (1)∵ c ? 0

n(n ? 1) d 2
∴ bn ?

Sn n ?1 ?a? d n 2
∴ b2 ? b1b4 ∴ (a ?
2

∵ b1,b2,b4 成等比数列 ∴

1 1 1 1 ad ? d 2 ? 0 ∴ d (a ? d ) ? 0 2 4 2 2 n(n ? 1) n(n ? 1) d ? na ? 2a ? n 2 a ∴ S n ? na ? 2 2
∴左边 = S nk ? (nk) 2 a ? n 2 k 2 a ∴左边=右边∴原式成立

1 2 3 d ) ? a(a ? d ) 2 2 1 ∵d ? 0 ∴ a ? d ∴ d ? 2a 2

右边= n 2 S k ? n 2 k 2 a

(2)∵ {bn } 是等差数列∴设公差为 d1 ,∴ bn ? b1 ? (n ? 1)d1 带入 bn ?

nS n 得: n2 ? c

b1 ? (n ? 1)d1 ?

nSn 1 1 3 2 ? ∴ (d1 ? d )n ? (b1 ? d1 ? a ? d )n ? cd 1 n ? c(d1 ? b1 ) 对 n ? N 恒成立 2 2 2 n ?c

1 ? ?d1 ? 2 d ? 0 ? 1 ? ∴ ?b1 ? d1 ? a ? d ? 0 2 ? cd ? 0 ? 1 ?c(d ? b ) ? 0 ? 1 1

8

由①式得: d 1 ? 由③式得: c ? 0

1 d 2

∵ d ?0

∴ d1 ? 0

法二:证:(1)若 c ? 0 ,则 an ? a ? (n ? 1)d , S n ? 当 b1,b2,b4 成等比数列, b2 ? b1b4 ,
2

n[( n ? 1)d ? 2a ] (n ? 1) d ? 2a , bn ? . 2 2

即: ? a ?

? ?

d? 3d ? ? 2 ? ? a? a ? ? ,得: d ? 2ad ,又 d ? 0 ,故 d ? 2a . 2? 2 ? ?

2

由此: S n ? n 2 a , S nk ? (nk) 2 a ? n 2 k 2 a , n 2 S k ? n 2 k 2 a . 故: Snk ? n2 Sk ( k , n ? N * ).

(n ? 1)d ? 2a n2 nSn 2 (2) bn ? 2 , ? 2 n ?c n ?c (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a n2 ?c ?c 2 2 2 ? n2 ? c (n ? 1)d ? 2a c (n ? 1)d ? 2a 2 . (※) ? ? 2 2 n ?c
若 {bn } 是等差数列,则 bn ? An ? Bn 型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,

(n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a 2 ? 0 ,而 故有: ≠0, ? 0 ,即 c 2 2 2 n ?c 故 c ? 0. c
经检验,当 c ? 0 时 {bn } 是等差数列.
9. (2013 大纲(理) )等差数 列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S3 =a22 ,且 S1, S2 , S4 成等比数列,求 ?an ? 的通项

式.
【答案】

10 . ( 2013 天津(理) ) 已知首项为

3 的等比数列 ?an ? 不是递减数列 , 其前 n 项和为 Sn (n ? N *) , 且 2

s3 ? a3 , s5 ? a5 , s4 ? a4 成等差数列.
(Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式;

9

(Ⅱ) 设 Tn ? Sn ?
【答案】

1 (n ? N *) , 求数列 {Tn } 的最大项的值与最小项的值. Sn

11. (2013 江西卷(理) )正项数列{an}的前项和{an}满足: sn

2

? (n2 ? n ?1)sn ? (n2 ? n) ? 0

(1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn ?

5 n ?1 * ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn .证明:对于任意的 n ? N ,都有 Tn ? 2 2 64 (n ? 2) a
2
2 ? (n2 ? n ?1)Sn ? (n2 ? n) ? 0 ,得 ? ? S n ? ( n ? n) ? ? ( S n ? 1) ? 0 .

【答案】(1)解:由 Sn

由于 ?an ? 是正项数列,所以 Sn ? 0, Sn ? n2 ? n . 于是 a1 ? S1 ? 2, n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n ? n ? (n ?1) ? (n ?1) ? 2n .
2 2

综上,数列 ?an ? 的通项 an ? 2n . (2)证明:由于 an ? 2n, bn ?

n ?1 . 2 (n ? 2)2 an

10

则 bn ?

n ?1 1 ?1 1 ? . ? ? 2? 2 4n (n ? 2) 16 ? n (n ? 2)2 ? ?
2

Tn ? ?

1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? …? ? ? 2? ? 2 2 16 ? 3 2 4 3 5 (n ? 1) (n ? 1) n (n ? 2)2 ? ?

1 ? 1 1 1 ? 1 1 5 . 1? 2 ? ? ? (1 ? 2 ) ? ? 2 2? 16 ? 2 (n ? 1) (n ? 2) ? 16 2 64

12. (2013 广东(理)卷)设数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? 1 ,

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* . n 3 3

(Ⅰ) 求 a2 的值; (Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有
【答案】.(1) 解:

1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? . an 4

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N ? . n 3 3 1 2 ? 当 n ? 1 时, 2a1 ? 2S1 ? a2 ? ? 1 ? ? a2 ? 2 3 3
又 a1 ? 1 ,? a2 ? 4 (2)解:

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N ? . n 3 3


n ? n ? 1?? n ? 2 ? 1 2 ? 2Sn ? nan?1 ? n3 ? n 2 ? n ? nan ?1 ? 3 3 3

? 当 n ? 2 时, 2Sn ?1 ? ? n ? 1? an ?

? n ? 1? n ? n ? 1?
3



由① — ②,得 2Sn ? 2Sn?1 ? nan?1 ? ? n ?1? an ? n ? n ?1?

2an ? 2Sn ? 2Sn?1

?2an ? nan?1 ? ? n ?1? an ? n ? n ?1?
? ? an ?1 an ? ?1 n ?1 n a ?a ? ? 数列 ? n ? 是以首项为 1 ? 1 ,公差为 1 的等差数列. 1 ?n?

an ? 1 ? 1? ? n ? 1? ? n,? an ? n 2 ? n ? 2 ? n

当 n ? 1 时,上式显然成立.
2

?an ? n2 , n ? N *
*

(3)证明:由(2)知, an ? n , n ? N

11

①当 n ? 1 时,

1 7 ? 1 ? ,? 原不等式成立. a1 4 1 1 1 7 ? ? 1 ? ? ,? 原不等式亦成立. a1 a2 4 4

②当 n ? 2 时,

③当 n ? 3 时,

n2 ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ,? 1 1 1 ? ? ? an 12 22

1 1 ? 2 n ? n ?1? ? ? n ? 1? ? 1 1 ? ? n ? 2? ? n ? n ? 1? ? ? n ? 1?

?

1 1 ? ? a1 a2

?

?

1 1 1 ? 1? ? ? 2 n 1? 3 2 ? 4

1 ?1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 ? 1 1 ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?1 3 ? 2 ? 2 4 ? 2 ? 3 5 ? 1 ?1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?1 3 2 4 3 5 ?

1? 1 1? 1? 1 1 ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 ? n ? 2 n ? 2 ? n ?1 n ? 1 ?

1 1 1 1 ? ? ? ? ? n ? 2 n n ?1 n ? 1 ?

1 ?1 1 1 1 ? 7 1? 1 1 ? 7 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? 2 ? 1 2 n n ?1 ? 4 2 ? n n ?1 ? 4

? 当 n ? 3 时,,? 原不等式亦成立.
综上,对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? . an 4

13. (2013 北京卷(理) )已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前 n 项的最大值记为 An,第 n 项之

后各项 an ?1 , an?2 ,的最小值记为 Bn,dn=An-Bn . (I)若{an}为 2,1,4,3,2,1,4,3,,是一个 周期为 4 的数列(即对任意 n∈N , an? 4 ? an ),写出 d1,d2,d3,d4 的值;
*

(II)设 d 为非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3)的充分必要条件为{an}为公差为 d 的等差数列; (III)证明:若 a1=2,dn=1(n=1,2,3,),则{an}的项只能是 1 或者 2,且有无穷多项为 1.
【答案】(I) d1

? d2 ? 1, d3 ? d4 ? 3. ? an ? .

(II)(充分性)因为 ?an ? 是公差为 d 的等差数列,且 d ? 0 ,所以 a1 ? a2 ? 因此 An ? an , Bn ? an?1 , dn ? an ? an?1 ? ?d (n ? 1, 2,3, (必要性)因为 dn ? ?d ? 0 (n ? 1,2,3,

).

) ,所以 An ? Bn ? dn ? Bn .
于是 An ? an , Bn ? an?1 .

又因为 an ? An , an?1 ? Bn ,所以 an ? an?1 .

因此 an?1 ? an ? Bn ? An ? ?dn ? d ,即 ?an ? 是公差为 d 的等差数列.

12

(III)因为 a1 ? 2, d1 ? 1,所以 A1 ? a1 ? 2 , B1 ? A 1 ? d1 ? 1 .故对任意 n ? 1, an ? B 1 ? 1. 假设 ?an ? (n ? 2) 中存在大于 2 的项. 设 m 为满足 an ? 2 的最小正整数,则 m ? 2 ,并且对任意 1 ? k ? m, ak ? 2 ,. 又因为 a1 ? 2 ,所以 Am?1 ? 2 ,且 Am ? am ? 2 . 于是 Bm ? Am ? dm ? 2 ?1 ? 1 , Bm?1 ? min ?am , Bm? ? 2 . 故 dm?1 ? Am?1 ? Bm?1 ? 2 ? 2 ? 0 ,与 dm?1 ? 1 矛盾. 所以对于任意 n ? 1 ,有 an ? 2 ,即非负整数列 ?an ? 的各项只能为 1 或 2. 因此对任意 n ? 1 , an ? 2 ? a1 ,所以 An ? 2 . 故 Bn ? An ? dn ? 2 ?1 ? 1 .

因此对于任意正整数 n ,存在 m 满足 m ? n ,且 am ? 1 ,即数列 ?an ? 有无穷多项为 1.
14. (2013 年陕西卷(理) )

设 {an } 是公比为 q 的等比数列. (Ⅰ) 导 {an } 的前 n 项和公式;
【答案】解:(Ⅰ) 分两种情况讨论.

(Ⅱ) 设 q≠1, 证明数列 {an ? 1} 不是 等比数列.

{an }是首项为a1的常数数列,所以 S n ? a1 ? a1 ? ? ? a1 ? na1. ① 当q ? 1时,数列
② 当q ? 1时,S n ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an ? qSn ? qa1 ? qa2 ? ? ? qan?1 ? qan .

1 - q)S n ? a1 ? (a2 ? qa1 ) ? (a3 ? qa2 )? ? (an ? qan?1 ) ? qan ? a1 ? qan . 上面两式错位相减:(

? Sn ?

a1 ? qan a (1 ? q n ) ?. 1 . 1- q 1- q
(q ? 1) (q ? 1)

?na1 , ? ③综上, S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q , ?
(Ⅱ) 使用反证法.

设 {an } 是公比 q≠1 的等比数列, 假设数列 {an ? 1} 是等比数列.则 ①当 ?n ? N ,使得an ? 1 =0 成立,则 {an ? 1} 不是等比数列.
*

an?1 ? 1 a1q n ? 1 ? ? 恒为常数 ②当 ?n ? N ,使得an ? 1 ? 0 成立,则 an ? 1 a1q n?1 ? 1
*

13

? a1q n ? 1 ? a1q n?1 ? 1 ? 当a1 ? 0时, q ? 1 .这与题目条件 q≠1 矛盾.
③综上两种情况,假设数列 {an ? 1} 是等比数列均不成立,所以当 q≠1 时, 数列 {an ? 1} 不是等比数列.


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