基于Matlab的电场有限元数值计算分析_图文

第 2 9卷 第 4期 20 07年 8月

电气电子教 学学报    J OURNAL  EEE OF 

V L   No4 o 2 9  .  Au 20   .  7 g 0

基于 Mal 的电场有限元数值计算分析 tb a
党晓强‘刘 , 念2 陈云 良1刘 继春 “ , ,

(. 1四川大学 水利水电学院, 成都 606邝 四川大学 电气 四川 105 . 信息学院 四 成都 606) 川 1 5 0
摘 要: 有限元法是对电磁场进行数值求解的重要方法, 也是木科电磁场课程的教学内容之一。论文结合本科教材阐述了对电场进行有限元 计算时的数学模型和算法原理, 介绍了Maa 软件基本的矩阵处理编程方式和电场场域有限元分析的算法框图。进而联系教材中一个电器 db 的电场电位分布计算实例, 在Maa环境下进行有限元计算编程的实现 数值解与解析解的比较结果表明 Maa 应用在对电磁场进行有限 tb l tb l 元计算所具备的合理性与简易性。 本文对本科教学中帮助学生理解电磁场的数值计算及其编程实现有一定的参考惫义。 关健询: 电场数值计算孚 有限元分析‘ tb Maa编程 l
中.5*¥ - 4.  P319  } 04 14T 9 .  :                        &M9i 9: Ri A 文t 编号 :0 8 6 620 )4 08-0 10 -0 8 (0 70 -07 3

Fnt Ee et mei l a s o Eet c  l B sd  Ma a ii l n N e  m u r a A l i f  c iFe ae o c n y s  l r id  n  t b l
D N X o i g, U  n,  N  - n' I Jcu          I Na2C E Ynu g LU  hm A G  - a `L i i gn a H ul , i -
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Asat item n mt d  n  o mn m t d  eco ant fl' nm rac pt br :  e  et h ia ipr et h f ltm gec ds  ec o u - tc F i l n e e o s  m t e o o er r  ii e u il  a m
t n ad ia o  t cig  t t e crm geifl ter cus T i ppr  s ae te i ,  i s  te  hn cne o l t ant id  oy  r o n t  l h e s a o n f  o e c  h e o e. hs  e iut ts  a l r l h e c if l' f i e met  l ima e ts dl  a oi m  na etlo txbo .  t b l tc  ds  t l n aa s er i e i e  n e n y s t mac moead  rh f dm na f tok Mal h i n l t u g s  e a porm n apoc fr ti cmp t i ad r sod  i e met to agrh f w e rga mig  rah  m r o ua o n c r pn f t l n mehd  oi m  a p o a x  t n  o e i e  n e l t l r o fl w d  rdcd  ea lo oe prts cr f l' vl g ds iui i te  tok  ol e it ue An  mpe  n a aau e tc  d s  t e  tbt n  h txbo i o no x f  p l i i e e o a ir o n  e s flld sd  e c if l f i e met dl  Mal pormmn. d e frne  w e ufl b e o l tc  d  t l n moe ad  t b  ga igA t df ec bt en ie a n  r i i e  e e n e n a r n h ie e te  ue utad  aayirsl is l w i idctte  v i a  esnb ad  w - h cmp trsl n te  l c ut s  l hc n i s  ao e  irao al n cn e o e s  h n t e s ma , h  a h b d s  e e  o

n nesy  l et T e  eia p l r c f udr aut udra i a fll g i t lip m n h ppr  hlur e n o ne r a s  e t d g  ufl e a m e .  a s e f e e e  i f r  g d e n s n n n lin d  i
porm n o e c o ant fl' nmei l  uai . rga mig  l t m gei id s  ra cmptt n f  r e c  e u c o o K y od: tifl n m ra cmptt n f i e met  l i; t b orm ig ewrse cr id  ei l  uai ;  t l n aay s Mal p ga mn l c  u c o e e o i e  n e n s a r

在电      计算中, 磁场的 仅对那些具有最简单边界
条件 和场域几何形状 规则 的间题才有解 析解 , 多数 问题 的求解必须用 数值计算 的方法 , 其场域 分布的

题进行计算。 结果表明使用 M tb aa 对有限元分析 l
编程中的矩阵进行处理, 程序设计清晰简便 , 于理 易 解和实现。

数值计算内 容是学习 难点。 本科教学中 常介绍的 有
矩量法 、 有限差分法 和有 限元法 。本文将有 限元法

1 电场的有限元数学模型
有限元法是以变分原理和剖分插值为基础 的一     

和Maa结合起来对电磁场教学中的电 tb l 位分布问
收稿 日期 2 0-0 -2 ; 回日期 :0 7 4 9 07 1 9修 20 -0-0

作者简介 党晓强(95 , 四川西昌人, 17-)男, 博士, 讲师r 从事电气设备故障诊断方面的教学和研究工作 刘 念 (96 ,          四 15-)男 川成都人. 博士, 教授, 从事电力系统过电压分析、 电气设备故障诊断方面的教学和研究工作
陈云 良(96 , 云         男 , 南巍山 人 博 士 讲 师 , 17 -) 从事发 电设备 故障诊 断方面的 教学和 研究工作

万方数据

第 4期

党晓强, 刘

念等 : 基于 Malb的电场有 限元数值计算分析 t a

种数值计算方法, 其基本思想是将场域方程等价为
一个条件变分问题 , 然后 由条件 变分问题 对场域进 行剖分离散 为方程 组进 行求解 。对于 一个 电场来 说, 其储能总是趋 于最小 , 这样变分法 的泛函和电场

+Za)  。( (,."  5 h8 a, ) ‘ ,I = y   - Y 一 a       . b d k  ‘
可 成w华 一 又 ku 。 形式, : 写 ae2 ,h 的 h 即
乙心 生                    k - d走

的储能就联系起来了。
对于边界为      L的无源空气介质 二维 静电场 中, 一个封闭场域 s内的等价 量泛 函可以写为: 能
了 | . 2飞 | .

w u .: . a( k ’ ,    r  k w )  ,           湘  ,
a,        u }” ’ } (’( {{

W)i. )()  n) 矩阵 K如式()其中s为对应三角形单元的面积, (一E(2a 一, u Ja  2  ( L + I 1 d s 7。
x y为对应三角形节点上 的坐标 , , 这样 在编 程处理 过程 中显得更清晰简便 。


通常也可      经过代换计算直接得到各单元的系数

L 二 kJ  J O              k 。 - L  L u ]

在有限元分析 中,      将所研究 的区域 5划分成有

限的n 个三角形网 格单元, 如图1 所示。 对应、 个节
点 ,s为单 元 。 d 的面积 。
碱 |

戏 () 7 鱿

然后进 行总体合成 , 各单元的能量 函数对 同      将 一节点 的电位的一 阶偏导数相 加 , 获得所要 求解 的 线性 方程组 。 由以上分析 , 知在该场域 内的电场有 可 限元数学模 型为: 式中 U为      n个节点 处的待求 电位 , 为 n阶矩 K 图 1 用有限          二维电 元分析的 场场域 阵。

[ ?      =o  阅 田〕                () s

对任意三角形单元 e      中任一点的电位可以认 为由 该三角 形的 三个节点( 分别设为 i ,) , k上的电 j 位u 该点坐标zy 随 ,变化而线性确定。 因此, 对于单
元。 构造插值函数 : “ = a ; ;; kk 。 ;  u+at = u+a 其中 。 称为形状函数 。 、 那么有插值 函数 的一阶偏导数 为:
1, e 二e s s

最后进行强加边界条件处理,      消去已知电位节
点在系数矩阵中所 在的行和列, 得到简化后的方程 , 继而可以对电位进行求解。

2  tb中的基本编程方式             Mal a

A, = i ,  i k
口卜 “h

( 2)

M tb      aa 既是一种 l 运行环 又是一种以矩阵为 境,
基本单位的编程语言 , 自己的数据类型 、 它有 数据运

算符、 操作符和结构化的流程控制语句以 及丰富的
函数库和强大的图形处理功能。
( 3)

rt —_ n  ash卜 ae a / J 二丁e u

{ 高t 出 。 ,

l , I一}   a 。* u 5静h y . r

+( 艺

从而得到能量函数 W。 :
W ( )= u

耳a仙 , h
ah a) y h t



采用 M t 进行矩阵运算的      b aa l 优点是: () l      中有丰富的函数和简易的算术形 1Maa tb 式对矩阵进行运算, 如矩阵间的加、 乘 、 乘 减、 除、 方、 矩阵自 身的转置、 求逆以及逻辑运算等都非常
方便 。

(4 )

则将单元 中的能量 函数 W。 每一个节点 电      。 对

() l      对矩阵操作的便利性, 2 tb Maa 同样体现在 对线性方程组的求解上。 如对一个正定方 程组的 求 解, 设A为矩阵, B为列向 X F 语句可以 量, =A B 计
算得到方程组 AXX=B的解 。

位 “ l ,, 求一阶偏导数, , =i k ( j) 得

a( 可藻a a w) 区.r  a 一 (,    , n 6x c  =   e i }u u z o  k  。
万方数据

() Maa     l 求解电场场域有限元分析的 3 用 tb 算法
框 图如 图 2 所示。

电气 电子教学学报

第2 卷 9

已知该实例场域任意一点电位值的解析解为:

杯x刃 二 ,

(k+ l s( k+ 1  2 h2 ) a

二(+I (3t         y9 ‘k A 1 ( n ) 2 ) ) 23  k         1 +a x
通过框图2 算法用 M tb      中 aa进行编程, l 计算得
到节点上的 电位值 。解析解所得 的电位值与程序计

算的电 位值对比 如表 1 可以看出解析解与该数值 。
解 是基本相符 的, 误差部 分原 因是由单元剖 分的离

散化程 度引起的。
节点


裹 1 解的比较                     数值解
37 .5 3. 75 1. 25 1. 25

解析解
3. 81 3. 81 1. 23 1. 23

误差 16 .% 16 写 16 .%
16% .






4 结束语
图 2  t b            Mal 进行有限元分析求解框 图 a

本 文阐述      了电场 电位有限元算 法的基本原 理,

3 电器电场实例分析
分析实例为文献 [〕      3 的一个例题 。接地金属 槽 的横截面如图 3 所示 。在底面 X=0  < 范围 ,  0 <Y 3 内是零电位 , 壁 0 <3  范围内和 0 Y 在侧 <X ,  Y =。 < <3X 范 围内是零 电位 V=O在顶盖 Y=30 , =3 ; ,< X <3范围 内电位为常数 V= 0 求解 槽 内电位 1 V, 0

结合实例在 M tb aa 进行编程实现, l 结果表明利用 M tb aa求解一些基于有限元思想分析的电场分布 l
问题是 简单 可行 的。因此在 电磁场计算 的教学和本

科生 完成相关计算 作业的 环节中, 采用Maa环境 tb l 实现 其数值算法是有一定的 借鉴价值和现实意义
的。

分布。 对边界内的 未知区 域进行剖分, 区域内ab ,  ,
cd四个节点处的 电位为待求对象 。 ,
Y                                     

参考文献 :
[] 吴天明.M T A 1 A L B电力系统设计与分析〔 , M] 北京 国防工 业出版杜,04     20 [] 张榴晨, 2 徐松.有限元在电磁场计算中的应用【 口北京: M. 中国 铁道出版社,96      19 [] hg g m, igu 周克定, 3  Ba S G i u Hzol著, n ir 张肃文, 董天临, 辜成 林 译.      电磁场与电磁波仁 . M]北京: 机械〔 业出版社, 0 20 0 仁] 冯慈章. 4 电磁场( 第二版)M〕北京 高等教育出版社,93 [ 18 〔 胡之光 电机电磁场的分析和计算〔 习 M」北京: 机械工业出版

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图 3 待求解的场域

万方数据


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