【锁定高考】2015届高考数学一轮总复习(基础达标+提优演练)第3章 第3节 两角和、差及二倍角公式 文

【锁定高考】 (新课标版)2015 届高考数学一轮总复习(基础达标+ 提优演练)第 3 章 第 3 节 两角和、差及二倍角公式 文
A 组 基础达标 (时间:30 分钟 满分:50 分) 若时间有限,建议选讲 3,6,9 一、 选择题(每小题 5 分,共 25 分) ?π ? 1 1.(2014·荆州模拟)设 sin? +θ ?= ,则 sin 2θ 等于(A) ?4 ? 3 7 1 A. - B. - 9 9 C. 1 9 D. 7 9

2 7 ?π ? ? ?1? 2?π 解析:sin 2θ =-cos? +2θ ?=2sin ? +θ ?-1=2×? ? -1=- . 9 ?2 ? ?4 ? ?3? 2.(2013·潍坊模拟)化简 2+cos 2-sin 1的结果是(C) A. -cos 1 B. cos 1 C. 3cos 1 D. - 3cos 1 2+cos 2-sin 1 =
2 2

解析: cos 1.

1-cos 2 2+cos 2- = 2

3+3cos 2 2 = 3cos 1 = 3 2

? ? ?π ? 2?π 2?π 3.(2014·北京东城模拟)已知函数 f(x)=cos ? +x?-cos ? -x?,则 f? ?等 ?4 ? ?4 ? ?12?
于(B) A. C. 1 2 3 2 1 B. - 2 D. - 3 2

π? π 1 ? ?π ? 2?π 2? 解析: f(x)=cos ? +x?-sin ?x+ ?=-sin 2x,∴f? ?=-sin =- . 4? 6 2 ?4 ? ? ?12? 1 cos 2α +sin 2α +1 4. 已知 tan α = ,则 等于(A) 2 2 cos α A. 3 B. 6 C. 12 D. 解析: 3 2
2

cos 2α +sin 2α +1 2cos α +2sin α ·cos α = =2+2tan α =3. 2 2 cos α cos α

5. (2014·淄博模拟)已知△ABC 的三个内角满足:sin A=sin Ccos B,则△ABC 的形状为(B) A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形

1

解析: 由 sin A=sin Ccos B,得 sin(B+C)=sin Ccos B, 于是 sin Bcos C+cos Bsin C=sin Ccos B, 即 sin Bcos C=0, ∵sin B≠0,∴cos C=0,故 C=90°, ∴△ABC 为直角三角形. 二、 填空题(每小题 5 分,共 15 分) 1+tan α 1 6. (2013·南平模拟)若 =2 013,则 +tan 2α = 2 013 1-tan α cos 2α 1 解析: +tan cos 2α 1+tan α =2 013. 1-tan α 7. (2013·抚顺模拟)若锐角 α ,β 满足(1+ 3tan α ) (1+ 3tan β )=4, π 则 α +β = W. 3 解析: 由(1+ 3tan α ) (1+ 3tan β )=4, tan α +tan β 可得 = 3,即 tan(α +β )= 3. 1-tan α tan β π 又 α +β ∈(0,π ) ,∴α +β = . 3 8.已知 α ,β 均为锐角,且 cos(α +β )=sin(α -β ) ,则 tan α = 1 W. 解析: 根据已知条件得 cos α cos β - sin α sin β = sin α cos β - cos α sin β ,cos β (cos α -sin α )+sin β (cos α -sin α )=0, 即(cos β +sin β ) (cos α -sin α )=0. 又 α ,β 为锐角,则 sin β +cos β >0, ∴cos α -sin α =0,∴tan α =1. 三、 解答题(共 10 分) 1 4 2 2cos x-2cos x+ 2 9. (2014·贵州六校联考)化简: . π π ? ? 2? ? 2tan? -x?sin ? +x? ?4 ? ?4 ? 1 2 2 -2sin xcos x+ 2 解析: 原式= (4 分) π ? ? ? 2?π 2sin? -x?cos ? -x? ?4 ? ?4 ? π ? ? cos? -x? ?4 ? 1 2 (1-sin 2x) 2 = (8 分) ?π ? ?π ? 2sin? -x?cos? -x? ?4 ? ?4 ?
2

.

1+sin 2α (cos α +sin α ) cos α +sin α 2α = = = = 2 2 cos 2α cos α -sin α cos α -sin α

2

1 2 cos 2x 2 = ?π ? sin? -2x? 2 ? ? 1 = cos 2x.(10 分) 2 B 组 提优演练 (时间:30 分钟 满分:50 分) 若时间有限,建议选讲 4,6,9 一、 选择题(每小题 5 分,共 20 分) 3 7 ?π π ? 1.(2012·山东高考)若θ ∈? , ?,sin 2θ = ,则 sin θ 等于(D) 8 ?4 2?

A. C.

3 5 7 4

B.

4 5 3 4

D.

?π π ? ?π ? 解析: ∵θ ∈? , ?,∴2θ ∈? ,π ?. ?4 2? ?2 ?
1 2 ∴cos 2θ =- 1-sin 2θ =- , 8 ∴sin θ = 1-cos 2θ 3 = . 2 4

2 π? 1 π 2sin α +sin 2α ? 2. (2014·厦门模拟)已知 tan?α + ?= ,且- <α <0,则 等于 4? 2 2 π? ? ? cos?α - ? 4? ?

(A) 2 5 A. - 5 3 5 B. - 10

3 10 2 5 C. - D. 10 5 π ? tan α +1 1 1 ? 解析: 由 tan?α + ?= = ,得 tan α =- . 4 ? 1-tan α 2 3 ? π 10 又- <α <0,∴sin α =- . 2 10 故 2sin α +sin 2α 2sin α (sin α +cos α ) = =2 2sin π? 2 ? α - cos? (sin α +cos α ) 4? ? ? 2
2

2 5 α =- . 5

3 3. (2013·中山模拟) 已知角 A 为△ABC 的内角, 且 sin 2A=- , 则 sin A-cos A 4 等于(A) A. 7 2 B. - 7 2

3

1 1 C. - D. 2 2 3 解析: ∵A 为△ABC 的内角且 sin 2A=2sin Acos A=- <0, 4 ∴sin A>0,cos 又(sin A-cos A<0,∴sin A-cos A>0. 7 7 2 A) =1-2sin Acos A= .∴sin A-cos A= . 4 2 sin β ? 3 3 ,0<β < ?= cos β ? 14

4. 定义运算?

1 ? sin α ? a b ? ?=ad-bc,若 cos α =7,? ? c d ? ? cos α

π α < ,则 β 等于(D) 2 A. C. π 12 π 4 B. D. π 6 π 3

3 3 解析: 依题意有 sin α cos β -cos α sin β =sin(α -β )= ,又 0<β < 14 π π α < ,∴0<α -β < , 2 2 13 1 4 3 2 故 cos(α -β )= 1-sin (α -β )= ,而 cos α = ,∴sin α = , 14 7 7 于是 sin β =sin[α -(α -β )]=sin α cos(α -β )-cos α sin(α -β ) 4 3 13 1 3 3 3 π = × - × = ,故 β = . 7 14 7 14 2 3 二、 填空题(每小题 5 分,共 15 分) cos 2θ ?π ? 5. 若 tan? -θ ?=3,则 = 3 W. 4 1 + sin 2θ ? ? 解析:

?π ? 1-tan θ = 3 , ∴ tan ∵tan ? -θ ? = ?4 ? 1+tan θ

θ =-

1 cos 2θ .∴ = 2 1+sin 2θ

1 1- 2 2 2 4 cos θ -sin θ 1-tan θ = = =3. 2 2 2 sin θ +2sin θ cos θ +cos θ tan θ +2tan θ +1 1 -1+1 4 24 ?π ? 3 6. (2013·北大附中模拟)在△ABC 中,已知 cos? +A?= ,则 cos 2A 的值为 25 ?4 ? 5 W. 解析: cos?

?π +A?=cos π cos A-sin π sin A= 2(cos A-sin A)=3, ? 4 4 2 5 ?4 ?

3 2 ∴cos A-sin A= >0. ① 5 π π ∴0<A< ,∴0<2A< . 4 2

4

18 7 由①得 1-sin 2A= ,∴sin 2A= . 25 25 24 2 ∴cos 2A= 1-sin 2A= . 25 1 1 ? 3 ? ? π? 7. (2013·衡水调研)sin?x- π ?cos?x- ?=- ,则 cos 4x= 4? 4 2 ? 4 ? ? 3 ? ? 3 ? ?π ? π? 解析: ∵sin?x- π ?=-cos? +x- π ?=-cos?x- ?, 4 2 4 4? ? ? ? ? ? π? ? 1+cos?2x- ? 2? 1 π ? ? 1 2? ∴cos ?x- ?= ,∴ = . 4? 4 2 4 ? π? 1 1 ? ∴cos?2x- ?=- ,即 sin 2x=- . 2? 2 2 ? 1 2 ∴cos 4x=1-2sin 2x= . 2 三、 解答题(共 15 分) π? ? 8.(7 分) (2013·玉溪模拟)已知函数 f(x)=tan?3x+ ?. 4? ? W.

?π ? (1)求 f? ?的值; ?9?
3π ? π? ? ?α π ? ? (2)设 α ∈?π , ?,若 f? + ?=2,求 cos?α - ?的值. 2 ? 4? ? ?3 4? ?

?π ? ?π π ? 解析: (1)f? ?=tan? + ?= ?9? ?3 4?

π π +tan 3 4 3+1 = =-2- 3.(2 分) π π 1- 3 1-tan tan 3 4 tan

3π π ? ?α π ? ? (2)∵f? + ?=tan?α + + ?=tan(α +π )=tan α =2, 3 4 4 4? ? ? ? ∴ sin α =2,即 sin α =2cos α . ① cos α
2 2

又 sin α +cos α =1, ② 1 2 由①②解得 cos α = .(4 分) 5 3π ? 5 2 5 ? ∵α ∈?π , ?,∴cos α =- ,sin α =- . 2 ? 5 5 ? π? π π ? ∴cos?α - ?=cos α cos +sin α sin 4 4 4 ? ? =- 5 2 ? 2 5? 2 × +?- ?× 2 5 2 ? 5 ?

3 10 =- .(7 分) 10 1 ? ? ? π? ? π? 2 9. (8 分) (2014·蒙阴模拟) 已知 f ( x) =?1+ sin x-2sin?x+ ?·sin?x- ?. ? 4? 4? ? tan x? ? ? (1)若 tan α =2,求 f(α )的值;
5

?π π ? (2)若 x∈? , ?,求 f(x)的取值范围. ?12 2 ? ? π? ? π? 2 解析: (1)f(x)=(sin x+sin xcos x)+2sin?x+ ?·cos?x+ ? 4? 4? ? ?
= 1-cos 2x 1 + sin 2 2 π? ? 2x+sin?2x+ ? 2? ?

1 1 = + (sin 2x-cos 2x)+cos 2x 2 2 1 = (sin 2 1 2x+cos 2x)+ .(2 分) 2

∵tan α =2, 2sin α cos α 2tan α 4 ∴sin 2α = 2 = 2 = , 2 sin α +cos α tan α +1 5 cos cos α -sin α 1-tan α 3 2α = = =- . 2 2 2 sin α +cos α 1+tan α 5 1 3 2α )+ = .(4 分) 2 5
2 2 2

1 ∴f(α )= (sin 2α +cos 2

π? 1 1 1 2 ? (2)由(1)得 f(x)= (sin 2x+cos 2x)+ = sin?2x+ ?+ .(6 分) 4? 2 2 2 2 ? 由 x∈? 故-

?π ,π ?,得5π ≤2x+π ≤5π . ? 12 4 4 ?12 2 ?

π? 2 2+1 ? ≤sin?2x+ ?≤1,则 0≤f(x)≤ , 4? 2 2 ?

∴f(x)的取值范围是?0,

? ?

2+1? ?.(8 分) 2 ?

6


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