高二数学寒假作业 专题10 空间向量及运算(背)

专题 10
【背一背】 一、空间向量的有关概念:

空间向量及其运算

1.在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量,向量的大小叫做向量的长度或模(

AB

) ,

a) 向量也用有向线段表示( AB, .
2.零向量:长度为0的向量叫做零向量,记为 0 . 3.单位向量:长度为1的向量称为单位向量. 4.相等向量:方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间,同向且等长的有向线段表示同一向量或相 等向量. 5.相反向量:与向量 a 长度相等而方向相反的向量,称为 a 的相反向量,记为 ? a . 二、空间向量的加减法与运算律

空间向量 的加减法

类似平面向量,定义空间向量的加、减法运算(如图): → → → → → → OB=OA+AB= a ? b ;CA=OA-OC= a ? b . (1)交换律:a+b= b ? a

加法运 算律

b ? c) ; (2)结合律:(a+b)+c= a+(

向量的数乘运算及运算律 (1)向量的数乘:实数 λ 与空间向量 a 的乘积仍然是一个向量,记作 ? a ,称为向量的数乘运算.当 λ>0 时, λa 与向量 a 方向相同,λ<0 时,λa 与向量 a 方向相反,a 的长度是 a 的长度的 ( 2)空间向量的数乘运算满足分配律与结合律. 分配律: ? (a+b)=? a+?b ;结合律:

?

倍.

? ? a =? ?? ? a
向量叫

? ?

共线向量 (1)共线向量:如果表示空间向量的有向 线段所在的直线互相平行或重合,则这些 做共线向量或平行向量. (2)对空间任意两个向量 a、b(b≠0),a∥b 的充要条件是存在实数 ? ,使得 a ? ? b

(3)方向向量:如图 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,对空间任意一点 O,点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t,使 OP ? OA ? ta ,其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量. 共面向量 (1)共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量. (2)如果两个向量 a、b 不共线,那么向量 p 与向量 a、b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x,y),
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使 p ? xa ? yb .对空间任意一点 O ,点 P 在平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数对 (x , y) ,使

OP ? OA? x AB? y AC.
六、空间向量的数量积运算 1.空间向量的夹角 定义 → → 已知两个非零向量 a,b,在空间中任取一点 O,作OA=a,OB=b,则∠AOB 叫做向量 a,b 的 夹角 记法 范围

? a, b?
[0, ? ]

,想一想: 〈a,b〉与〈b,a〉相等吗?〈a,b〉与〈 a,- b〉呢? 2.空间向量的数量积 (1)定义:已知两个非零向量 a,b,则|a||b|cos〈a,b〉叫做 a,b 的数量积,记作 a· b. (2)数量积的运算律 数乘向量与向量数 量积的结合律 交换律 分配律 (λa)·b= ? (a ? b) a· b= b ? a a· (b+c)= a ? b ? a ? c (3)数量积的性质 ①若 a,b 是非零向量,则 a⊥b? a ? b ? 0 . 两个向 量数量 积的 性质 ②若 a 与 b 同向,则 a· b= 若反向,则 a· b=

a?b



?a?b

.

特别地:a· a=|a|2 或|a|= a· a.

a ?b
③若 θ 为 a,b 的夹角,则 cos θ = ④|a·b|≤|a|·|b|. 七,空间向量运算的坐标表示 1.空间向量的直角坐标运算律 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 (1)a+b= (2) a-b= (3)λa=

a?b

(a1+b1,a2+b2,a3+b3 ) ; (a1 ? b1,a2 ? b2,a3 ? b3 ) ;

(?a1,?a2,?a3 ) (λ∈R);
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(4)a· b=

a1b1+a2b2+a3b3 ; a1=?b1,a2=?b2,a3=?b3 (? ? R) ; a1b1+a2b2+a3b3 ? 0 .

(5)a∥b? (6)a⊥b?

2.几个重要公式 → ( x -x ,y2-y1,z2-z1 ) (1)若 A(x1,y1,z 1)、B(x2,y2,z2),则AB= 2 1 _.即一个向量在空间直角坐标系 中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. (2)模长公式: 若 a=(a1, a2, a3), b=(b1, b2, b3), 则|a|= a· a=

a12 ? a2 2 ? a32

, |b|= b· b=

b12 ? b2 2 ? b32

.

a1b1 ? a2b2 ? a3b3
(3)夹角公式:cos〈a,b〉=

a12 ? a22 ? a32 b12 ? b22 ? b32 (a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)).
AB


(4) 两点 间的距离公式: 若 A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2). 则

AB =_

2

? x ?x ? ?? y ? y ? ?? z ?z ? .
2 2 2 2 1 2 1 2 1

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