高中数学第一章三角函数1.3蝗制课件2北师大版必修

1.3 弧度制

【知识提炼】 1.弧度制的概念 (1)1弧度角:在单位圆中,长度为_1_的__弧__所对的圆心角为1弧度角,它 的单位符号是rad,读作弧度. (2)弧度制:以_弧__度__作为单位来度量角的单位制.

2.角度与弧度的互化

?

180

180

?

3.弧度数与弧度制的作用

正数 负数 0
l r

【即时小测】 1.思考下列问题 (1)长度为1的弧所对的圆心角一定是1弧度角吗? 提示:不一定.只有半径也是1时圆心角才是1弧度的角.否则圆心角不 是1弧度角.

(2)弧度的计算公式为|α |= l ,为什么带绝对值号?

r 提示:因为角度有正角、负角之分,而弧长为正值,当α

<0时,α

=-

l

.

r

2.如果一扇形的弧长为π ,半径等于2,则扇形所对圆心角为( )

A.π

B.2π

C. ?

2 【解析】选C.由题意π =2α ,故α = ? .

2

D. 3? 2

3.将-300°化为弧度为________.
【解析】-300× ? =- 5? . 180 3
答案:- 5? 3

4. 5 π 化为度,结果为________. 6
【解析】πrad=180°,则1rad= (180 )?, ?
所以 5 ? ? ( 5 ?? 180 )? ? 150?. 6 6?
答案:150°

5.把-570°化为2kπ +α (0≤α <2π ,k∈Z)的形式为____________.

【解析】 ?570? ? ?570? ? ? ?19 ?,

180 6

?19 ? ? ?3 1 ? ? ?4? ? 5 ?.

6 答案:

6 ?4? ?

5

?

6

6

【知识探究】 知识点1 角度制与弧度制 观察图形,回答下列问题:
问题:怎样理解、记忆角度制与弧度制的互化公式?

【总结提升】 1.角度制与弧度制的差别 (1)定义不同. (2)单位不同.弧度制是以“弧度”为单位,单位可以省略,而角度制是 以“度”为单位,单位不能省略. (3)弧度制是十进制,而角度制是六十进制.

2.角度制与弧度制的互化 (1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的 半径大小无关的值,仅和半径与所含的弧这两者的比值有关. (2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化.

3.学习弧度制的注意点

知识点2 弧度制下的弧长公式及扇形面积公式 观察图形,回答下列问题:
问题:怎样利用角度制下的扇形面积公式推导弧度制下的扇形面积公 式?

【总结提升】 关于扇形的面积公式 (1)公式中共四个量分别为α ,l,R,S,由其中的两个量可以求出另外的 两个量,即知二求二. (2)运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公 式简单得多,但要注意它的前提是α 为弧度数.

(3)在运用公式时,还应熟练地掌握这两个公式的变形运用:

① l ?| ? | r,| ? |? l ,r ? l ; r |?|



S

?

1 2

|

?

|

r2,| ?

|?

2S r2

【题型探究】 类型一 角度与弧度的互化 【典例】1.(2015·宝鸡高一检测)角2013°的弧度表示为 ( )

A. 11 π 60

B. 671 π 60

C. 671 π 120

D. 11 π 120

2.下列转化结果错误的是 ( )

A.67°30′化成弧度是 3 π rad

8

B.- 10π 化成度是-600度

3 C.-150°化成弧度是

7π rad

6 D. ? 化成度是15度

12

3.把下列各角写成2kπ +α (0≤α <2π ,k∈Z)的形式,并指出它们是

第几象限角:

①16? .② ? 315?.③ ? 11? .

3

7

【解题探究】1.典例1,2中角度化弧度、弧度化角度的公式是什么?

提示: 1rad ?(180)?,1? ? ? rad.

?

180

2.用弧度判断角所在的象限一般考虑哪个范围?

提示:利用与该角终边相同的角(0≤α <2π )所在的象限判断.

2.选C.因为1°=π180,

A中, 67?30? ? 67.5? ? ? 3 ?, 正确.

180 8

B中, ?10 ? ? ?10 ?? 180? ? ?600?, 正确.

3

3?

C中: ?150? ? ? ? ?150 ? ? 5 ? ? 7 ?,

180

66

错误.

D中, ? ? ? ? 180? ? 15?, 正确. 12 12 ?

3.① 16? ? 4? ? 4?, 是第三象限角.



3

3

?315? ? ?315? ?

rad ? ? 7? rad,所以-315°可以表示为(-2)

180

4

×π+ ? ,是第一象限角.

4

③ ?11? ? ?2? ? 3?, 是第一象限角.

7

7

【方法技巧】角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点

(1)原则:牢记180°=π rad,充分利用1°= ? rad和1 rad= (180 )?

180

?

进行换算.

(2)方法:设一个角的弧度数为α ,角度数为n,

则 ?rad ? (? 180 )?;n? ? n ? rad.

?

180

(3)注意点 ①用“弧度”为单位度量角时,“弧度”二字或“rad”可以省略不写; ②用“弧度”为单位度量角时,常常把弧度数写成多少π 的形式,如无 特别要求,不必把π 写成小数; ③度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度.

【拓展延伸】 1.用弧度数表示象限角

2.弧度制下与角α 终边相同的角的表示 在弧度制下,与角α 的终边相同的角可以表示为 {β |β =2kπ +α ,k∈Z},即与角α 终边相同的角可以表示成α 加上 2π 的整数倍.

【变式训练】(1)157°30′=________rad.

(2)

2 5

π rad=________°.

(3)如图所示,用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角α 的

集合.

【解析】(1)因为157°30′=157.5°,

所以 157.5? ? 157.5? ? rad ? 7 ?rad.

180

8

答案: 7 ?

8

(2)因为1 rad ? (180 )?,所以 2 ? ? ( 2 ?? 180 )? ? 72?.

?

5 5?

答案:72

(3)①按逆时针方向,在-π~π范围内与角

4? 3

终边相同的角为 ? 2?, 3

故所求集合S为

S ? {? | 2k? ? 2?<?<2k? ? ?,k ? Z}.

3 ②所求集合为 S

?

{?

|

6 2k?<?<2k?

?

?

,

k

?

Z}

?{?

|

2k?

?

2?<?<

3

3

2k? ? ?, k ? Z}.

类型二 用弧度制表示角的集合
【典例】1.终边经过点(a,a)(a≠0)的角α 的集合是 ( )
A.{?} 4
B.{? , 5?} 44
C.{?|? ? ? ? 2k?, k ? Z} 4
D.{?|? ? ? ? k?, k ? Z} 4

2.用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断 2015°是不是这个集合的元素.

【解题探究】1.典例1中,在[0,2π ]内,哪个角的终边经过点(a,a)

(a≠0)?

提示: ? 和 5? 的终边经过点(a,a)(a≠0). 44
2.典例2中,在[0,2π ]内终边在图中阴影区域内的集合(包括边界)是

什么?

提示:{? | 5? ? ? ? 3?}.

6

2

【解析】1.选D.终边经过点(a,a)(a>0)的角α的集合为

{?|? ? ? ? 2k?, k ? Z}; 4
终边经过点(a,a)(a<0)的角α的集合为

{?|? ? 5? ? 2k?,k ? Z} ? {?|? ? ? ? ?2k ?1??,k ? Z},

4

4

所以终边经过点(a,a)(a≠0)的角α的集合是

{?|? ? ? ? 2k?,k ? Z}?{?|? ? ? ? ?2k ?1??,k ? Z}

4

4

? {?|? ? ? ? k?, k ? Z}. 4

2.因为150°= 5? .所以终边在阴影区域内角的集合为

6

S ? {? | 5? ? 2k? ? ? ? 3? ? 2k?, k ? Z}.

6

2

因为2015°=215°+5×360°=

43?

+10π,

又 5?<43?<3? . 所以2015°=

36 403?

∈S,即2015°是这个集合的元

6 36 2

36

素.

【方法技巧】 1.用弧度表示角的注意点 (1)注意角度与弧度不能混用. (2)各终边相同的角需加2kπ ,k∈Z. (3)求两个角的集合的交集时,注意应用数轴直观确定,可对k进行适当 地赋值.

2.解决“弧度”与“角度”概念问题的关键点 (1)引入弧度制后,角的集合与实数集建立了一一对应关系. (2)用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同(都是0);用 角度制和弧度制度量任意非零角,单位不同,数量也不同. (3)“角度”与“弧度”可以按照“180°=π rad”这一等量关系进行 相互转化.

【变式训练】用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界) 的角θ 的集合.

【解析】(1)以OB为终边的330°角可看成-30°角,化为弧度,即- ? ,

6

而 75? ? 75? ? rad ? 5? rad.

180

12

所以终边落在阴影部分内的角的集合为{θ|2kπ-

? <θ<2kπ+

5?

,

k∈Z}.

6

12

(2)因为30°= ? rad,210°= 7? rad,

6

6

这两个角的终边所在的直线相同,因此终边在直线AB上的角为α=kπ

+ ? ,k∈Z,而终边在y轴上的角为β=kπ+ ? ,k∈Z,从而终边落在阴影

6 部分内的角的集合为{θ|kπ+

?

2 <θ<kπ+

?

,k∈Z}.

6

2

类型三 弧长公式与面积公式的应用 【典例】1.(2015·福州高一检测)已知扇形的圆心角为120°,半径 为 3 cm,则此扇形的面积为________. 2.已知半径为10的☉O中,弦AB的长为10.求弦AB所对的圆心角α 的弧 度值.

【解题探究】1.题1中据已知条件,可利用扇形的哪个面积公式求解? 提示:由于已知扇形的圆心角和半径,可利用扇形面积公式S= 1 lR.
2 2.圆心角的角度值是多少?
提示:圆心角的角度值是60°.

【解析】1.设扇形弧长为l,

因为120? ?120? ? rad ? 2? ?rad?

180

3

所以 l ? ?R ? 2? ? 3 ? 2 3? ?cm?.

3

3

? ? 所以 S ? 1 lR ? 1 ? 2 3? ? 3 ? ? cm2 . 2 23

答案:πcm2

2.由☉O的半径r=10=AB,知△AOB是等边三角形,
所以α=∠AOB=60°= ? . 3

【延伸探究】
1.(改变问法)若题2中条件不变,改为求α 所在扇形的弧长l. 【解析】因为α= ? ,r=10, 故l=αr= 10?. 3
3

2.(改变问法)若题2条件不变改为求弧所在的弓形面积S.

【解析】S扇形= 1 lr ? 1 ? 10? ?10 ? 50? .

2 23

3

而S△AOB= 1 AB 10 3 ? 1 ?10 ? 10 3 ? 50 3 ,

2

22

2

2

所以S=S扇形-S△AOB= 50( ? ? 3 ). 32

【方法技巧】弧度制下扇形面积公式的应用 (1)涉及的公式:弧长l=|α |r,周长2r+l,面积S= 1 lr= 1 α r2.
22 (2)解题策略:先分析题目条件中已知哪些量,然后利用相关的公式直
接求解或解方程组求解.

【补偿训练】(2015·石家庄高一检测)已知扇形AOB的周长为8cm,面积 为3cm2,则其圆心角为 ( )

A.6或 2 3
C. 1 或 2 63

B.6或 3 2
D. 1 或3 6

?2r ? ?r ? 8,

【解析】选A.由题意

?

? ??

1 2

?r

2

?

3,

解得

????r ??16,,或

??r ? 3,

????

?

2 3

.

规范解答 弧长与扇形面积问题 【典例】(12分)(2015·沈阳高一检测)已知扇形的周长为40cm,当它的 半径和圆心角取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?

【审题指导】 要求扇形面积的最大值,首先利用半径,圆心角表示出扇形面积,再利 用周长40建立半径与圆心角的关系,用其中的一个表示另一个后代入, 配方求最值.

【规范解答】设扇形的半径和弧长分别为r和l, 由题意可得2r+l=40,……………………………………………2分 所以l=40-2r,………………………………………………………4分 由l=40-2r>0,解得0<r<20, ………………………………………………………………………6分

所以扇形的面积 S= 1 lr= 1(40-2r)r
22 =-r2+20r=-(r-10)2+100,
…………………………………………………………………8分 因为0<r<20, 所以当r=10时,面积取得最大值100,………………………9分 当r=10时,弧长l=20,圆心角为2,……………………………11分 所以当半径为10、圆心角为2时,扇形的面积最大,最大值为100. …………………………………………………………………12分

【题后悟道】 1.关注题目中未知量的范围 题目中往往含有多个变量,一般用一个变量表示其他的变量,可以利用 已知范围、变量自身的应用、变量之间的关系限制等确定变量的范围. 如本题中一方面半径r大于0,另一方面利用l的范围确定r小于20. 2.准确求函数的最值 配方法是解决二次式最值问题的主要方法,应熟练掌握基本的运算.如 本题中求扇形面积的最大值就是利用的配方法.


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