高中数学解题思路大全:巧用判别式

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巧用判别式
张金祥

在解题中,大家往往会遇到有关一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a、b、c ? R ,a≠0) 的问题,而利用判别式 ? ? b 2 ? 4ac 解题,却能使问题化繁为简、化难为易,收到事半功 倍的效果。所以,如果已知条件中含有二次方程或二次函数,则可考虑直接应用判别式, 点击思维,灵活运用。下面通过几例解法,说明一下自己的感悟。

例 1. 已知 sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? 1 ,求证: |sin 2? ? sin 2 ? ? sin 2? | ? 2 2 。 证明:由已知得 cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 2 构造函数 f ( x ) ? ( x sin ? ? cos? ) 2 ? ( x sin ? ? cos ? ) 2 ? ( x sin ? ? cos ? ) 2

? x 2 ? (sin 2? ? sin 2 ? ? sin 2? ) x ? 2
因 f ( x ) ? 0 ,所以 ? ? (sin 2? ? sin 2 ? ? sin 2? ) 2 ? 8 ? 0 故 |sin 2? ? sin 2 ? ? sin 2? | ? 2 2 成立。 说明:本题利用构造法,解题过程简捷、流畅,并且需要有较强的直接观察能力。

例 2. 设实数 x、y,且 x 2 ? xy ? y 2 ? 1 。求 x 2 ? xy ? y 2 的取值范围。解:已知

x 2 ? xy ? y 2 ? 1 ①
设 x 2 ? xy ? y 2 ? k ①-②整理得 xy ? ②

1 (1 ? k ) 2



由①得 ( x ? y ) 2 ? 1 ? xy ,把③式代入得 ( x ? y ) 2 ?

1 (3 ? k ) , 2

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则有

1 (3 ? k ) ? 0,得k ? 3 。 ④ 2

在条件④下, x ? y ? ±

3? k 2



由③⑤可知,x、y 是方程 t 2 ?

3? k 1? k ·t ? ? 0 的根。 2 2

因为 t ? R ,所以 ? ? 综上可知,

3? k 1 ? 2(1 ? k ) ? 0 ,解得 k ? 2 3

1 1 ? k ? 3 ,即 ? x 2 ? xy ? y 2 ? 3 3 3

说明:若题设中含有形如 ? ? ? 、 ?? 的项,就可考虑用韦达定理构造二次方程。解 本题需要有一定的数学思想,先求 x+y、xy,再构造二次方程,利用判别式轻松解题。

例 3. 已知 ? ? ? ? ? ? ? ,求证: x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2 xy cos? ? 2 yz cos ? ? 2 zx cos ? 证明:视不等式的左边减去右边为一个关于 x 的二次函数,那么有

f ( x ) ? x 2 ? 2( y cos? ? z cos ? ) x ? ( y 2 ? z 2 ? 2 yz cos ? )
其判别式 ? ? 4( y cos? ? z cos ? ) 2 ? 4( y 2 ? z 2 ? 2 yz cos ? )

? 4[ y 2 (cos2 ? ? 1) ? 2 yz (cos ? ? cos? cos ? ) ? z 2 (cos2 ? ? 1)] ? ?4[ y 2 sin 2 ? ? 2 yz ( ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ) ? z 2 sin 2 ? ]

? ?4( y 2 sin 2 ? ? 2 yz sin ? sin ? ? z 2 sin 2 ? ) ? ?4( y sin ? ? z sin ? ) 2 ? 0,即? ? 0
故开口向上的二次函数 f ( x ) 恒为非负,即对所有 x、y、z,所求证的不等式成立。 说明:本题可谓“纸老虎”。通过仔细审题,巧妙构造二次函数,利用判别式使问题 轻松获解。 [练一练]
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在区间[1.5, 3]上, 函数 f ( x ) ? x 2 ? bx ? c 与函数 g ( x ) ? x ? 小值,则函数 f ( x ) 在区间[1.5,3]上的最大值为( A. 8 B. 6 C. 5 )

1 同时取到相同的最 x ?1

D. 4 答案:D

提示: g ( x ) ? x ? 1 ?

1 1 ? 1 ? 2 ( x ? 1)( ) ? 1 ? 3 ,当且仅当 x ? 2 时, x ?1 x ?1

g ( x ) min ? 3 ,所以 f ( x ) ? ( x ? 2) 2 ? 3 ,在区间[1.5,3]上 f ( x ) max ? f (3) ? 4 。

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