北京市东城区2011届高三一模数学(文)试题及答案

2010学年度综合练习( 东城区 2010-2011 学年度综合练习(二) 文科) 高三数学 (文科)
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ _____________班级_______________姓名______________考号 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页,共 150 分。考试 时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷 和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

小题, 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项。 求的一项。 一项 (1)已知复数 z 满足 (1 ? i) z = 2 ,则 z 等于 (A) 1 + i (C) ?1 + i (B) 1 ? i (D) ?1 ? i

(2)命题“ ?x0 ∈ R , log 2 x0 ≤ 0 ”的否定为 (A) ?x0 ∈ R , log 2 x0 > 0 (C) ?x ∈ R , log 2 x ≥ 0 (B) ?x0 ∈ R , log 2 x0 ≥ 0 (D) ?x ∈ R , log 2 x > 0

(3)已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且当 x > 0 时, f ( x ) = ln( x + 1) ,则函数 f ( x) 的大致图像为 y y y

y

? 1 O1

x

?1 O 1 x

O

x

O

x

(A) (4)给定下列四个命题:

(B)

(C)

(D)

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,则这两个平面平行; ②若两个平面都垂直于同一条直线,则这两个平面平行; ③若两个平面互相垂直,则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面; ④若两个平面互相平行,则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面. 其中为真命题的是 (A)①和② (B)②和③ (C)③和④ (D)②和④

π (5)已知函数 y = sin ( ωx + ? ) (ω > 0, 0 < ? ≤ ) 的部分图象如图所示,则点 P ( ω, ? ) 的坐标为 2
-1-

y 1
π (A) (2, ) 3 1 π (C) ( , ) 2 3 π (B) (2, ) 6 1 π (D) ( , ) 2 6
π 3 5π 6

o
?1

x

(6)若右边的程序框图输出的 S 是 126 ,则条件①可为 (A) n ≤ 5 (C) n ≤ 7 (B) n ≤ 6 (D) n ≤ 8

(7)已知函数 f ( x) = ( ) ? x 3 ,那么在下列区间中含有函数
x

1 2

1

f ( x) 零点的为
(A) (0, )

1 3

(B) ( , )

1 1 3 2

(C) ( ,1)

1 2

(D) (1, 2)

(8)空间点到平面的距离如下定义:过空间一点作平面的垂线,

γ 点 该点和垂足之间的距离即为该点到平面的距离. 平面 α ,β , 两两互相垂直, A∈ α ,
点 A 到 β , γ 的距离都是 3 ,点 P 是 α 上的动点,满足 P 到 β 的距离是到 P 到点 A 距 离的 2 倍,则点 P 的轨迹上的点到 γ 的距离的最小值为 (A) 3 (C) 6 ? 3 (B) 3 ? 2 3 (D) 3 ? 3

第Ⅱ卷(共 110 分)
小题, 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 填空题: (9)抛物线 y 2 = 8 x 的焦点坐标为 . .

(10)在等差数列 {an } 中,若 a1 = 2, a2 + a3 = 13 ,则 a4 + a5 + a6 = (11)已知向量 a , b , c 满足 a ? b + 2c = 0 ,且 a ⊥ c , | a |= 2 , | c |= 1 , 则 | b |= .

(12)已知 α ∈ ( , π) , tan(α + (13)设 f ( x ) = ?

π 2

π 1 ) = ,则 sin α + cos α = 4 7



?2a x , x ≤ 1, ? 且 f (2 2) = 1 ,则 a = 2 ?log a ( x ? 1), x > 1, ?




f ( f (2)) =

-2-

? x ≥ 0, ? (14)设不等式组 ? y ≥ 0, 在直角坐标系中所表示的区域的面积为 S ,则当 k > 1 时, ? y ≤ ? kx + 4k ?
kS 的最小值为 k ?1


小题, 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 解答题: (15) (本小题共 13 分) 在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c . cos C = (Ⅰ)求证: A = B ; (Ⅱ)若△ ABC 的面积 S =

4 , c = 2b cos A . 5

15 ,求 c 的值. 2

(16) (本小题共 13 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是菱形.PB = PD ,E 为 PA 的中点. (Ⅰ)求证: PC ∥平面 BDE ; (Ⅱ)求证:平面 PAC ⊥ 平面 BDE .
E P

D

C

A

B

(17) (本小题共 13 分) 某高校在 2011 年的自主招生考试成绩 中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩 分组:第 1 组[75,80),第 2 组[80,85), 第 3 组[85,90),第 4 组[90,95),第 5 组 [95,100]得到的频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)分别求第 3,4,5 组的频率; (Ⅱ)若该校决定在笔试成绩高的第 3,4,5 组 中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面 试,求第 3,4,5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? (Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,学校决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受甲考官的面试,求第 4 组至少有一名学生被甲考官面试的概率. 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 75 80 85 90 95 100 分数 频率 组距

-3-

(18)(本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) = x + ax ? x + c ,且 a = f '( ) .
3 2

2 3

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f (x) 的单调区间; (Ⅲ)设函数 g ( x ) = [ f ( x ) ? x ] ? e ,若函数 g (x ) 在 x ∈ [?3,2] 上单调递增,求实数 c 的取
3 x

值范围.

(19) (本小题共 14 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率为 的最大值为 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若过点 P (0, m) 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A, B ,且 AP = 3PB ,求实数 m 的 取值范围.

1 ,椭圆 C 上的点到焦点距离 2

uuu r

uuu r

(20)(本小题共 13 分) 对于 n ∈ N * ( n ≥ 2) ,定义一个如下数阵:

? a11 ? ?a Ann = ? 21 L ? ?a ? n1

a12 a 22 L an 2

L a1n ? ? L a 2n ? L L? ? L a nn ? ?

其中对任意的 1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ n ,当 i 能整除 j 时, a ij = 1 ;当 i 不能整除 j 时,

a ij = 0 .
(Ⅰ)当 n = 4 时,试写出数阵 A44 ; (Ⅱ)设 t ( j ) =
n

∑a
i =1

n

ij

= a1 j + a 2 j + L + a nj .若 [x] 表示不超过 x 的最大整数,
n

求证:

∑ t ( j) = ∑[ i
j =1 i =1

n

].

-4-

学年度第二学期综合练习( 北京市东城区 2010-2011 学年度第二学期综合练习(一) 高三数学参考答案 文科) 高三数学参考答案 (文科)
小题, 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 选择题( (1)A (5)A (2)D (6)B (3)C (7)B (4)D (8)D

小题, 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 填空题( (9) (2, 0) (11) 2 2 (13) 7 ; 6 (10) 42 (12) ?

1 5

(14) 32

注:两个空的填空题第一个空填对得 2 分,第二个空填对得 3 分. 小题, 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 解答题( (15) (共 13 分) (Ⅰ)证明:因为 c = 2b cos A ,由正弦定理得 sin C = 2sin B ? cos A , 所以 sin( A + B ) = 2sin B ? cos A ,

sin( A ? B ) = 0 ,
在△ ABC 中,因为 0 < A < π , 0 < B < π , 所以 ? π < A ? B < π 所以 A = B . (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 a = b . 因为 cos C = ……………………6 分

4 3 ,所以 sin C = . 5 5 15 1 15 ,所以 S = ab sin C = ,a = b = 5. 2 2 2

因为△ ABC 的面积 S =
2 2 2

由余弦定理 c = a + b ? 2ab cos C = 10 所以 c = 10 . (16) (共 13 分) (Ⅰ)证明:因为 E , O 分别为 PA , AC 的中点, 所以 EO ∥ PC . 因为 EO ? 平面 BDE
P

……………………13 分

PC ? 平面 BDE
所以 PC ∥平面 BDE . ……………………6 分

E

D O
-5-

C

A

B

(Ⅱ)证明:连结 OP 因为 PB = PD , 所以 OP ⊥ BD . 在菱形 ABCD 中, BD ⊥ AC 因为 OP I AC = O 所以 BD ⊥ 平面 PAC 因为 BD ? 平面 BDE 所以平面 PAC ⊥ 平面 BDE . (17) (共 13 分) 解:(Ⅰ)由题设可知,第 3 组的频率为 0.06 × 5 = 0.3 , 第 4 组的频率为 0.04 × 5 = 0.2 , 第 5 组的频率为 0.02 × 5 = 0.1 . ……………………3 分 (Ⅱ)第 3 组的人数为 0.3 ×100 = 30 , 第 4 组的人数为 0.2 × 100 = 20 , 第 5 组的人数为 0.1× 100 = 10 . 因为第 3 , 4 , 5 组共有 60 名学生, 所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生,每组抽取的人数分别为: 第 3 组: ……………………13 分

30 ×6 = 3, 60 20 ×6 = 2 , 60 10 × 6 = 1. 60

第 4 组:

第 5 组:

所以第 3 , 4 , 5 组分别抽取 3 人, 2 人, 1 人. ……………………8 分 (Ⅲ)设第 3 组的 3 位同学为 A1 , A2 , A3 , 第 4 组的 2 位 同学为 B1 , B2 , 第 5 组的 1 位同学为 C1 . 则从六位同学中抽两位同学有:

( A1 , A2 ), ( A1 , A3 ), ( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A1 , C1 ), ( A2 , A3 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A2 , C1 ), ( A3 , B1 ), ( A3 , B2 ), ( A3 , C1 ), ( B1 , B2 ), ( B1 , C1 ), ( B2 , C1 ),
-6-

共 15 种可能. 其中第 4 组的 2 位同学为 B1 , B2 至少有一位同学入选的有:

( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A3 , B1 ), ( B1 , B2 ), ( A3 , B2 ), ( B1 , C1 ), ( B2 , C1 ), 共 9 种可能,
所以第 4 组至少有一名学生被甲考官面试的概率为

9 3 = . 15 5
……………………13 分

(18) (共 14 分) 解: (Ⅰ)由 f ( x) = x 3 + ax 2 ? x + c ,得 f '( x) = 3 x 2 + 2ax ? 1 . 当x=

2 2 2 2 2 2 时,得 a = f '( ) = 3 × ( ) + 2 f '( ) × ( ) ? 1 , 3 3 3 3 3
……………………4 分

解之,得 a = ?1 . (Ⅱ)因为 f ( x ) = x 3 ? x 2 ? x + c .

从而 f '( x ) = 3 x ? 2 x ? 1 = 3( x + )( x ? 1) ,列表如下:
2

1 3

x
f ' ( x) f (x)

1 (?∞ , ? ) 3
+ ↗

?

1 3

1 (? , 1) 3
- ↘

1

(1 , + ∞)
+ ↗

0
有极大值

0
有极小值

1 所以 f (x) 的单调递增区间是 (?∞ , ? ) 和 (1 , + ∞ ) ; 3 1 f (x) 的单调递减区间是 (? , 1) . 3
(Ⅲ)函数 g ( x ) = ( f ( x ) ? x 3 ) ? e x = ( ? x 2 ? x + c ) ? e x , 有 g(x ) = ( ?2 x ? 1)e x + ( ? x 2 ? x + c )e x = ( ? x 2 ? 3 x + c ? 1)e x , ' 因为函数在区间 x ∈ [?3,2] 上单调递增, 等价于 h( x ) = ? x 2 ? 3 x + c ? 1 ≥ 0 在 x ∈ [?3,2] 上恒成立, 只要 h( 2) ≥ 0 ,解得 c ≥ 11 , 所以 c 的取值范围是 c ≥ 11 . (19) (共 14 分) ……………………14 分 ……………………9 分

解: (Ⅰ)设所求的椭圆方程为:

x2 y2 + = 1 (a > b > 0) a2 b2

-7-

?c 1 ?a = 2 ?a = 2 ? ? 由题意: ?a + c = 3 ? ?b = 3 ? 2 ?c = 1 2 2 ? ?a = b + c ?
所求椭圆方程为:

x2 y 2 + = 1. 4 3
3 . 2

……………………5 分

(Ⅱ)若过点 P (0, m) 的斜率不存在,则 m = ±

若过点 P (0, m) 的直线斜率为 k ,即: m ≠ ± 直线 AB 的方程为 y ? m = kx 由?

3 时, 2

? y = kx + m
2 2

?3x + 4 y = 12

? (3 + 4k 2 ) x 2 + 8kmx + 4m 2 ? 12 = 0

? = 64m 2 k 2 ? 4(3 + 4k 2 )(4m 2 ? 12)
因为 AB 和椭圆 C 交于不同两点 所以 ? > 0 , 4k ? m + 3 > 0
2 2

所以 4k > m ? 3
2 2



设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 )

uuu r uuu r 8km 4m 2 ? 12 由已知 AP = 3PB ,则 x1 + x2 = ? , x1 x2 = 3 + 4k 2 3 + 4k 2 uuu r uuu r AP = (? x1 , m ? y1 ), PB = ( x2 , y2 ? m)
? x1 = 3 x2




将③代入②得: ?3(
2 2

4km 2 4m 2 ? 12 ) = 3 + 4k 2 3 + 4k 2
2 2

整理得: 16m k ? 12k + 3m ? 9 = 0 所以 k =
2

9 ? 3m 2 9 ? 3m 2 2 代入①式得 4k = > m2 ? 3 16m 2 ? 12 4m 2 ? 3

4m 2 (m 2 ? 3) 3 < 0 ,解得 < m 2 < 3 . 2 4m ? 3 4
所以 ? 3 < m < ?

3 3 或 <m< 3. 2 2

-8-

综上可得,实数 m 的取值范围为: ( ? 3, ?

3 3 ] U [ , 3) . 2 2
……………………14 分

(20)(共 13 分)

?1 ? 0 解: (Ⅰ)依题意可得, A44 = ? ?0 ? ?0

1 1 0 0

1 0 1 0

1? ? 1? 0? ? 1?
……………………4 分

(Ⅱ)由题意可知, t ( j ) 是数阵 Ann 的第 j 列的和, 因此

∑ t ( j) 是数阵 A
j =1

n

nn

所有数的和.

而数阵 Ann 所有数的和也可以考虑按行相加. 对任意的 1 ≤ i ≤ n ,不超过 n 的倍数有 1i , 2i ,…, [ ]i . 因此数阵 Ann 的第 i 行中有 [ ] 个1,其余是 0 ,即第 i 行的和为 [ ] .

n i

n i

n i

所以

∑ t ( j) = ∑[
j =1
i =1

n

n

n ]. i
……………………13 分

-9-


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