9-5 线面、面面垂直的判定与性质 新人教B版

9-5 线面、面面垂直的判定与性质 新人教 B 版
1.(2011· 北京西城模拟)已知两条不同的直线 a,b 和两个不同的平面 α,β,且 a⊥α,b⊥β,那么 α⊥β 是 a⊥b 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] C [解析] α⊥β? ? ?? a∥β或a? β ? a⊥α ? ? a⊥b; b⊥β a⊥α? ?
? a⊥b? ?? b∥α或b? α

? ? ? ? ?

b⊥β

? ?? α⊥β. ?

2.(文)(2011· 唐山模拟)已知一个平面 α,那么对于空间内的任意一条直线 a,在平面 α 内一定存在一条直线 b, 使得 a 与 b( A.平行 C.异面 [答案] D [解析] 当 a 与 α 相交时,平面内不存在直线与 a 平行;当 a∥α 时,平面内不存在直线与 a 相交;当 a? 平面 α 时,平面 α 内不存在直线与 a 异面;无论 a 在何位置,a 在平面 α 内总有射影 a′,当 b? α,b⊥a′时,有 b⊥a,故 选 D. (理)(2011· 青岛模拟)设两个平面 α,β,直线 l,下列三个条件:①l⊥α;②l∥β;③α⊥β.若以其中两个作为前提, 另一个作为结论,则可构成三个命题,这三个命题中正确命题的个数为( A.3 C.1 [答案] C [解析] 选 C. 3.(文)(2011· 东莞模拟)若 l 为一条直线,α、β、γ 为三个互不重合的平面,给出下面三个命题: ①α⊥γ,β⊥γ? α⊥β;②α⊥γ,β∥γ? α⊥β; ③l∥α,l⊥β? α⊥β. 其中的真命题有( ) l⊥α? α⊥β? l∥β ? ? ? ? ?? α⊥β; ?? l∥β,此时可能 l? β, ?? / / ? ? ? l∥β ? l⊥α ? α⊥β? l⊥α,此时 l 与 α 还可能平行、斜交,故 B.2 D.0 ) ) B.相交 D.垂直

A.0 个 C.2 个 [答案] C

B.1 个 D.3 个

[解析] ①中 α 与 β 可能平行,故①错,②③正确. (理)(2011· 北京市朝阳区模拟)设 α,β,γ 是三个不重合的平面,l 是直线,给出下列命题 ①若 α⊥β,β⊥γ,则 α⊥γ;②若 l 上两点到 α 的距离相等,则 l∥α;③若 l⊥α,l∥β,则 α⊥β;④若 α∥β, l?β,且 l∥α,则 l∥β. 其中正确的命题是( A.①② C.②④ [答案] D [解析] 对于①:若 α⊥β,β⊥γ,则可能 α⊥γ,也可能 α∥γ.对于②:若 l 上两点到 α 的距离相等,则 l∥α,显 然错误.当 l⊥α,l∩α=A 时,l 上到 A 距离相等的两点到 α 的距离相等.③④显然正确. 4.(2011· 安徽省皖南八校联考)设 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确的是( A.若 l⊥m,m? α,则 l⊥α B.若 l⊥α,m? α,则 l⊥m C.若 l∥α,l∥m,则 m∥α D.若 l∥α,m∥α,则 l∥m [答案] B [解析] 直线垂直于平面中两条相交直线,才能垂直于平面,故 A 错;C 中 m 可能包含在平面 α 中;D 中两条 直线可能平行、相交或异面. 5.(2011· 广东省深圳市高三调研)如下图,在立体图形 D-ABC 中,若 AB=CB,AD=CD,E 是 AC 的中点,则 下列结论正确的是( ) ) ) B.②③ D.③④

A.平面 ABC⊥平面 ABD B.平面 ABD⊥平面 BDC C.平面 ABC⊥平面 BDE,且平面 ADC⊥平面 BDE D.平面 ABC⊥平面 ADC,且平面 ADC⊥平面 BDE [答案] C [解析] 要判断两个平面的垂直关系,就需找一个平面内的一条直线与另一个平面垂直.因为 AB=CB,且 E 是 AC 的中点,所以 BE⊥AC,同理有 DE⊥AC,于是 AC⊥平面 BDE.因为 AC 在平面 ABC 内,所以平面 ABC⊥平

面 BDE.又由于 AC? 平面 ACD,所以平面 ACD⊥平面 BDE.所以选 C. 6.(文)(2011· 济宁三模)在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若 AB=2,AA1=1,则点 A 到平面 A1BC 的距离为( A. 3 4 B. 3 2 )

3 3 C. 4

D. 3

[答案] B [解析] 解法 1:取 BC 中点 E,连接 AE、A1E,过点 A 作 AF⊥A1E,垂足为 F.

∵A1A⊥平面 ABC,∴A1A⊥BC, ∵AB=AC.∴AE⊥BC. ∴BC⊥平面 AEA1. ∴BC⊥AF,又 AF⊥A1E, ∴AF⊥平面 A1BC. ∴AF 的长即为所求点 A 到平面 A1BC 的距离. ∵AA1=1,AE= 3,∴AF= 3 . 2

1 1 3 解法 2:VA1-ABC= S△ABC· 1= × 3× AA 1= . 3 3 3 又∵A1B=A1C= 5, 在△A1BE 中,A1E= A1B2-BE2=2. 1 ∴S△A1BC= × 2=2. 2× 2 1 2 ∴VA-A1BC= × S△A1BC· h. h= 3 3 2 3 3 3 ∴ h= ,∴h= .∴点 A 到平面 A1BC 距离为 . 3 3 2 2

(理)(2011· 海淀检测)若正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面边长为 1,AB1 与底面 ABCD 成 60° 角,则 A1C1 到底面 ABCD 的距离为( A. 3 3 ) B.1 D. 3

C. 2 [答案] D

[解析] 依题可知∠B1AB=60° ,平面 A1B1C1D1∥平面 ABCD,A1C1? 平面 A1B1C1D1, ∴B1B 即为所求距离,在△ABB1 中得, B1B= 3.故选 D. 7.(文)(2011· 扬州模拟)已知直线 l,m,n,平面 α,m? α,n? α,则“l⊥α”是“l⊥m 且 l⊥n”的________条件.(填 “充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一) [答案] 充分不必要 [解析] 若 l⊥α,则 l 垂直于平面 α 内的任意直线,故 l⊥m 且 l⊥n,但若 l⊥m 且 l⊥n,不能得出 l⊥α. (理)(2011· 揭阳模拟)设 x、y、z 是空间不同的直线或平面,对下列四种情形:①x、y、z 均为直线;②x、y 是直 线, 是平面; 是直线, y 是平面; z ③z x、 ④x、 z 均为平面, y、 其中使“x⊥z 且 y⊥z? x∥y”为真命题的序号是________. [答案] ②③ [解析] 当 x、y 为直线,z 为平面时,有 x⊥z,y⊥z? x∥y;当 x、y 为平面,z 为直线时,有 x⊥z,y⊥z? x∥y, 故②③正确. [点评] 由正方体交于同一个顶点的三条棱和三个面知①④均使命题为假命题. 8.(2011· 苏州模拟)已知 m,n 是两条不同的直线,α,β 为两个不同的平面,下列四个命题: ①若 m⊥α,n⊥β,m⊥n,则 α⊥β; ②若 m∥α,n∥β,m⊥n,则 α∥β; ③若 m⊥α,n∥β,m⊥n,则 α∥β; ④若 m⊥α,n⊥β,α⊥β,则 m⊥n. 其中正确的命题是(填上所有正确命题的序号)________. [答案] ①④
? [解析] ①m⊥α? ?? n? α或n∥α ? m⊥n ? ? α⊥β;

n⊥β

? ? ? ? ?

②如下图,m 为 B1C1,n 为 A1B1,α 为平面 ADD1A1,β 为平面 ABCD,满足②的条件,故②错;

③在上图中,将 A1B1、B1C1 改为 m、n,满足 m⊥α,n⊥β,m⊥n,故③错; ④n⊥β? ? ?? n∥α或n? α ? α⊥β? ? m⊥n. m⊥α

? ? ? ? ?

9.如下图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边都相等,M 是 PC 上的一动点,当点 M 满足________ 时,平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)

[答案] DM⊥PC [解析] ∵ABCD 为正方形,∴BD⊥AC, ∵PA⊥平面 ABCD,∴BD⊥PA, ∵PA∩AC=A,∴BD⊥平面 PAC,∴BD⊥PC, 故当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时,有 PC⊥平面 MBD, 从而有平面 PCD⊥平面 MBD. 10.(文)(2010· 山东临沂)在直平行六面体 AC1 中,四边形 ABCD 是菱形,∠DAB=60° ,AC∩BD=O,AB=AA1.

(1)求证:C1O∥平面 AB1D1; (2)求证:平面 AB1D1⊥平面 ACC1A1. [证明] (1)连接 A1C1 交 B1D1 于 O1,连接 AO1.

在平行四边形 AA1C1C 中,C1O1∥AO,C1O1=AO, ∴四边形 AOC1O1 为平行四边形,∴C1O∥AO1. ∵C1O?平面 AB1D1,AO1? 平面 AB1D1, ∴C1O∥平面 AB1D1. (2)在直平行六面体 AC1 中, A1A⊥平面 A1B1C1D1,∴A1A⊥B1D1. ∵四边形 A1B1C1D1 为菱形,∴B1D1⊥A1C1. ∵A1C1∩AA1=A1,A1C1? 平面 ACC1A1,AA1? 平面 ACC1A1,∴B1D1⊥平面 ACC1A1. ∵B1D1? 平面 AB1D1,∴平面 AB1D1⊥平面 ACC1A1. (理)(2011· 广东省广州市调研)如下图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等 边三角形,已知 BD=2AD=4,AB=2DC=2 5.

(1)求证:BD⊥平面 PAD; (2)求三棱锥 A-PCD 的体积. [解析] (1)证明:在△ABD 中,由于 AD=2,BD=4,AB=2 5,∴AD2+BD2=AB2.∴AD⊥BD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,BD? 平面 ABCD,∴BD⊥平面 PAD. (2)解:过 P 作 PO⊥AD 交 AD 于 O.又平面 PAD⊥平面 ABCD,∴PO⊥平面 ABCD.

∵△PAD 是边长为 2 的等边三角形,∴PO= 3. 由(1)知,AD⊥BD,在 Rt△ABD 中, AD× BD 4 5 斜边 AB 边上的高为 h= = . AB 5 1 1 4 5 ∵AB∥DC,∴S△ACD= CD× h= × 5× =2. 2 2 5 1 1 2 3 ∴VA-PCD=VP-ACD= S△ACD× PO= × 2× 3= . 3 3 3

11.(2011· 广东广州一模)已知 l,m 是不同的两条直线,α,β 是不重合的两个平面,则下列命题中为真命题的是 ( ) A.若 l⊥α,α⊥β,则 l∥β B.若 l∥α,α⊥β,则 l∥β C.若 l⊥m,α∥β,m ? β,则 l⊥α

D.若 l⊥α,α∥β,m? β,则 l⊥m [答案] D
? l⊥α ? ?? l⊥β ? α∥β? ? l⊥m.

[解析]

m? β

? ? ? ? ?

12.(文)设 m、n 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,考察下列命题,其中正确的命题是( A.m⊥α,n? β,m⊥n? α⊥β B.α∥β,m⊥α,n∥β? m⊥n C.α⊥β,m⊥α,n∥β? m⊥n D.α⊥β,α∩β=m,n⊥m? n⊥β [答案] B [解析] 如下图 (1)满足 m⊥α,n? β,m⊥n,但 β∥α,故 A 错;
? α∥β ? ?? m⊥β ? m⊥α? ? m⊥n,故 B 对;

)

n∥β

? ? ? ? ?

如图(2)满足 α⊥β,m⊥α,n∥β,但 m∥n,故 C 错; 如图(3)α⊥β,α∩β=m, AB⊥m 于 B,BC⊥m 于 B,直线 AC 为直线 n,显然满足 D 的条件,但不能得出 n ⊥β.故 D 错.∴选 B.

π (理)如下图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,A1D 与 BC1 所成的角为 ,则 BC1 与平面 BB1D1D 所 2 成角的正弦值为( )

A. C.

6 3 15 5

1 B. 2 D. 3 2

[答案] B [解析] 连接 B1C,∴B1C∥A1D, π ∵A1D 与 BC1 所成的角为 ,∴B1C⊥BC1, 2

∴长方体 ABCD-A1B1C1D1 为正方体,取 B1D1 的中点 M,连接 C1M,BM,∴C1M⊥平面 BB1D1D,∴∠C1BM 为 BC1 与平面 BB1D1D 所成的角, ∵AB=BC=2,∴C1M= 2,BC1=2 2, C1M 1 ∴sin∠C1BM= = ,故选 B. C1B 2 13.(文)(2010· 河北唐山)如下图,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,∠ADC=90° ,且 AA1=AD=DC=2,M∈ 平面 ABCD,当 D1M⊥平面 A1C1D 时,DM=________.

[答案] 2 2 [解析] ∵DA=DC=DD1 且 DA、 DD1 两两垂直, DC、 故当点 M 使四边形 ADCM 为正方形时, 1M⊥平面 A1C1D, D ∴DM=2 2. (理)(2011· 西安模拟)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C 的中心, 则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是________. [答案] 60° [解析]

如上图,取 BC 中点 E,连结 DE、AE、AD,依题意知三棱柱为正三棱柱,易得 AE⊥平面 BB1C1C,故∠ADE 为 AD 与平面 BB1C 1C 所成的角.设各棱长为 1,则 AE= 3 AE 2 tan∠ADE= = = 3,∴∠ADE=60° . DE 1 2 14.(文)如下图,已知在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AD⊥DC,AB∥DC,DC=DD1=2AD=2AB=2. 3 1 ,DE= , 2 2

(1)求证:DB⊥平面 B1BCC1; (2)设 E 是 DC 上一点,试确定 E 的位置,使得 D1E∥平面 A1BD,并说明理由. [解析] (1)证明:∵AB∥DC,AD⊥DC,∴AB⊥AD,在 Rt△ABD 中,AB=AD=1,∴BD= 2, 易求 BC= 2,又∵CD=2,∴BD⊥BC. 又 BD⊥BB1,B1B∩BC=B,∴BD⊥平面 B1BCC1. (2)DC 的中点即为 E 点.∵DE∥AB,DE=AB, ∴四边形 ABED 是平行四边形.∴AD 綊 BE.

又 AD 綊 A1D1,∴BE 綊 A1D1, ∴四边形 A1D1EB 是平行四边形.∴D1E∥A1B. ∵D1E?平面 A1BD,A1B? 平面 A1BD,∴D1E∥平面 A1BD. (理)(2011· 北京模拟)如下图,正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD =2,CD=4,M 为 CE 的中点.

(1)求证:BM∥平面 ADEF; (2)求证:平面 BDE⊥平面 BEC. [解析] (1)证明:延长 DA 与 CB 相交于 P, ∵AB=AD=2,CD=4,AB∥CD, ∴B 为 PC 的中点, 又 M 为 CE 的中点,∴BM∥EP, ∵BM?平面 ADEF,EP? 平面 ADEF, ∴BM∥平面 ADEF. 1 1 (2)证明:由(1)知,BC= PC= PD2+CD2=2 2, 2 2 又 BD= AD2+AB2=2 2, ∴BD2+BC2=CD2,∴BD⊥BC. 又平面 ADEF⊥平面 ABCD,ED⊥AD, ∴ED⊥平面 ABCD,∴ED⊥BC, ∵ED∩BD=D,∴BC⊥平面 BDE, 又 BC? 平面 BEC, ∴平面 BDE⊥平面 BEC. 15.(文)(2011· 北京文,17)如下图,在四面体 PABC 中,PC⊥AB、PA⊥BC,点 D、E、F、G 分别是棱 AP、AC、 BC、PB 的中点.

(1)求证:DE∥平面 BCP; (2)求证:四边形 DEFG 为矩形; (3)是否存在点 Q,到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等?说明理由. [解析] (1)因为 D,E 分别为 AP,AC 的中点,

所以 DE∥PC, 又因为 DE?平面 BCP,PC? 平面 BCP, 所以 DE∥平面 BCP. (2)因为 D,E,F,G 分别为 AP,AC,BC,PB 的中点,所以 DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF,所以四边形 DEFG 为平行四边形, 又因为 PC⊥AB, 所以 DE⊥DG,所以四边形 DEFG 为矩形. (3)存在点 Q 满足条件,理由如下: 连接 DF,EG,设 Q 为 EG 的中点, 1 由(2)知,DF∩EG=Q,且 QD=QE=QF=QG= EG, 2 分别取 PC,AB 的中点 M,N,连接 ME,EN,NG,MG,MN. 1 与(2)同理,可证四边形 MENG 为矩形,其对角线交点为 EG 的中点 Q,且 QM=QN= EG, 2 所以 Q 为满足条件的点. (理)(2011· 北京石景山测试)在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G 分别为棱 BB1,DD1 和 CC1 的 中点.

(1)求证:C1F∥平面 DEG; (2)求三棱锥 D1-A1AE 的体积; (3)试在棱 CD 上求一点 M,使 D1M⊥平面 DEG. [解析] (1)证明:∵正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,F,G 分别为棱 DD1 和 CC1 的中点,

∴DF∥GC1,且 DF=GC1. ∴四边形 DGC1F 是平行四边形.∴C1F∥DG. 又 C1F?平面 DEG,DG? 平面 DEG, ∴C1F∥平面 DEG. (2)解:正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,有 A1D1⊥平面 AA1E.

∴A1D1 是三棱锥 D1-A1AE 的高,A1D1=1. 1 ∴VD1-A1AE= · S△A1AE· 1A1 D 3 1 1 1 = × × 1× 1× 1= . 3 2 6 (3)解:当 M 为棱 CD 的中点时,有 D1M⊥平面 DEG. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,有 BC⊥平面 CDD1C1, 又∵D1M? 平面 CDD1C1,BC∥EG, ∴EG⊥D1M. 1 又∵tan∠GDC=tan∠MD1D= , 2 ∴∠GDC=∠MD1D,∴∠MD1D+∠D1DG=∠GDC+∠D1DG=90° ,∴D1M⊥DG. 又 DG∩EG=G,∴D1M⊥平面 DEG.

1.定点 A 和 B 都在平面 α 内,定点 P?α,PB⊥α,C 是 α 内异于 A 和 B 的动点,且 PC⊥AC.那么,动点 C 在 平面 α 内的轨迹是( )

A.一条线段,但要去掉两个点 B.一个圆,但要去掉两个点 C.一个椭圆,但要去掉两个点 D.半圆,但要去掉两个点 [答案] B [解析] 连接 BC,∵PB⊥α,∴AC⊥PB.

又∵PC⊥AC,∴AC⊥BC. ∴C 在以 AB 为直径的圆上.故选 B. 2.(2010· 芜湖十二中)已知两条不同的直线 m、n,两个不同的平面 α、β,则下列命题中的真命题是( A.若 m⊥α,n⊥β,α⊥β,则 m⊥n B.若 m∥α,n∥ β,α∥β,则 m∥n C.若 m⊥α,n∥β,α⊥β,则 m⊥n D.若 m∥α,n⊥β,α⊥β,则 m∥n [答案] A [解析] m⊥α? ? ?? m∥β或m? β ? α⊥β ? ? m⊥n,故 A 正确; n⊥β )

? ? ?

如图(1),m⊥α,n⊥α 满足 n∥β,但 m∥n,故 C 错; 如图(2)知 B 错;

如图(3)正方体中,m∥α,n⊥β,α⊥β,知 D 错. 3. (2011· 北京海淀区期末)已知 m, 是两条不同的直线, β 是两个不同的平面. n α, 下列命题中不正确的是( A.若 m∥α,α∩β=n,则 m∥n B.若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α C.若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β D.若 m⊥α,m? β,则 α⊥β [答案] A [解析] 选项 A 中,直线 m 与直线 n 也可能异面,因此 A 不正确. 4.(2011· 郑州二检)已知 α,β,γ 是三个不同的平面,命题“α∥β,且 α⊥γ? β⊥γ”是真命题.如果把 α,β,γ 中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的所有新命题中,真命题有( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 [答案] C [解析] 依题意得,命题“a∥b,且 a⊥γ? b⊥γ”是真命题(由“若两条平行线中的一条与一个平面垂直,则另一 条也与这个平面垂直”可知);命题“a∥β,且 a⊥c? β⊥c”是假命题(直线 c 可能位于平面 β 内,此时结论不成立); 命题“α∥b, α⊥c? b⊥c”是真命题(因为 α∥b, 且 因此在平面 α 内必存在直线 b1∥b; α⊥c, 又 因此 c⊥b1, ∴c⊥b). 综 ) )

上所述,其中真命题有 2 个,选 C. 5.(2011· 盘锦月考)如下图所示,△ABC 为正三角形,EC⊥平面 ABC,BD∥CE,EC=CA=2BD,M 是 EA 的中 点.求证:

(1)DE=DA; (2)平面 BDM⊥平面 ECA. [证明] (1)如下图所示,取 EC 中点 F,连接 DF. ∵EC⊥平面 ABC,BD∥EC,

∴BD⊥平面 ABC,∴BD⊥AB, 1 ∵BD∥EC,BD= EC=FC,∴EC⊥BC. 2 ∴四边形 FCBD 是矩形,∴DF⊥EC. 又 BA=BC=DF, ∴Rt△DEF≌Rt△ADB,∴DE=DA. (2)如图所示,取 AC 中点 N,连接 MN、NB, 1 ∵M 是 EA 的中点,∴MN 綊 EC. 2 1 由 BD 綊 EC,且 BD⊥平面 ABC,可得四边形 MNBD 是矩形,于是 DM⊥MN. 2 ∵DE=DA,M 是 EA 的中点,∴DM⊥EA. 又 EA∩MN=M,∴DM⊥平面 ECA,

而 DM? 平面 BDM,∴平面 ECA⊥平面 BDM. 1 6.(2011· 辽宁文,18)如下图,四边形 ABCD 为正方形,QA⊥平面 ABCD,PD∥QA,QA=AB= PD. 2

(1)证明:PQ⊥平面 DCQ; (2)求棱锥 Q-ABCD 的体积与棱锥 P-DCQ 的体积的比值. [解析] (1)由条件知 PDAQ 为直角梯形. 因为 QA⊥平面 ABCD,所以平面 PDAQ⊥平面 ABCD,交线为 AD. 又四边形 ABCD 为正方形,DC⊥AD, 所以 DC⊥平面 PDAQ,可得 PQ⊥DC.[来源:Z+xx+k.Com] 在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ=PQ= (2)设 AB=a. 由题设知 AQ 为棱锥 Q-ABCD 的高, 1 所以棱锥 Q-ABCD 的体积 V1= a3, 3 由(1)知 PQ 为棱锥 P-DCQ 的高,而 PQ= 2a,△DCQ 的 面积为 2 2 1 a ,所以棱锥 P-DCQ 的体积 V2= a3. 2 3 2 PD, 则 PQ⊥QD.所以 PQ⊥平面 DCQ. 2

故棱锥 Q-ABCD 的体积与棱锥 P-DCQ 的体积的比值为 1. 7.已知点 P 是菱形 ABCD 外一点,∠DAB=60° ,其边长为 a,侧面 PAD 是正三角形,其所在平面垂直于底面 ABCD,G 为 AD 的中点.

(1)求证:AD⊥PB; (2)若 E 为 BC 边中点,能否在棱 PC 上找一点 F,使平面 DEF⊥平面 ABCD.并证明你的结论. [分析] (1)要证 AD⊥PB, ∵△PAD 为正三角形, 为 AD 中点, G ∴AD⊥PG, 故只需证明 AD⊥平面 PBG 即可. (2) 假设存在点 F 使平面 DEF⊥平面 ABCD,则平面 DEF 必过平面 ABCD 的垂线,由于 PG⊥平面 ABCD,而 PG 不可 能在平面 DEF 内,故需过直线 DE 作平面 PBG 的平行平面,由此可得点 F 的位置. [解析] (1)证明:连接 BG,PG. ∵四边形 ABCD 是菱形且∠DAB=60° .∴BG⊥AD. 又△PAD 为正三角形,且 G 是 AD 中点,∴PG⊥AD. ∵PG∩BG=G,∴AD⊥平面 PBG. 又 PB? 平面 PBG,∴AD⊥PB.

(2)解:当 F 是 PC 中点时,平面 DEF⊥平面 ABCD. 证明如下: 取 PC 的中点 F,连接 DE、EF、DF. 在△PBC 中,EF∥PB.在菱形 ABCD 中,BG∥DE. ∴平面 DEF∥平面 PGB. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,PG⊥AD.∴PG⊥平面 ABCD. 又 PG? 平面 PGB.∴平面 PGB⊥平面 ABCD. ∴平面 DEF⊥平面 ABCD.


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