江苏省盐城中学2013-2014学年高二下学期期末考试数学理试题

江苏省盐城中学 2013—2014 学年度期末考试 高二年级数学(理科)试题
命题人:蔡广军 盛维清 审核人:徐瑢

试卷说明:本场考试时间 120 分钟,总分 150 分. 一、 填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上) 1. “若 x ? 1 ,则 x ? 2 x ? 3 ? 0 ”的逆命题是
2

▲ .

. 开始

2. i 是虚数单位,复数 (1 ? i ) ? (1 ? i) =



3.抛物线 x2 ? ay 的准线方程为 y ? 1 ,则焦点坐标是 4.如果执行右边的程序框图,那么输出的 S ? ▲

▲ .

.

k =1

S ?0

k ≤ 10?

5. 数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,...的第 15 项是 ▲

? 6. 已知平面 ? 的法向量为 n1 ? (3, 2,1) ,平面 ? 的法向量为 ? n2 ? (2,0, ?1) ,若平面 ? 与 ? 所成二面角为 ? ,则



? 是
S ? S ? 2k

输出 S 结束

cos? ?



. ▲ .

k ? k ?1

7.曲线 y ? ln x 上在点 P(1, 0) 处的切线方程为

8.试通过圆与球的类比,由“半径为 R 的圆的内接矩形中,以正方形的面积为最大,最大值为 2 R ” ,猜 测关于球的相应命题是“半径为 R 的球内接长方体中,以正方体的体积为最大,最大值 为 ▲ ”.

2

AB ? 2 , BC ? 1 , DD1 ? 3 ,则 AC 与 BD1 所成角的余弦值 9. 长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
为 ▲ . ▲ . ▲ .

10. 复数 z 满足 z ? 3 ? 4i ? 1(i 是虚数单位),则 z 的最大值为

11. 已知函数 f ( x) ? 2 x 3 ? ax2 ? 36x ? 24在 x ? 2 处有极值,则该函数的极小值为 12. 已知椭圆

x2 y 2 2 ,过椭圆上一点 M 作直线 MA, MB 交椭圆于 A, B 两 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率是 2 a b 2

点,且斜率存在分别为 k1 , k2 ,若点 A, B 关于原点对称,则 k1 ? k2 的值为



.

13. 如图,双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的两顶点为 A1 、 A2 ,虚轴 a 2 b2

两端点为 B1 、 B2 ,两焦点为 F 1 、 F2 ,若以 A 1 A2 为直径的圆内切于 菱形 F1B1F2 B2 ,切点分别为 A 、 B 、 C 、 D ,则双曲线的离心

率 e=



.

14. 已知 a ? 1 ,若 f ( x) ? 2x3 ? 3(a ? 1) x2 ? 6ax ? ?4a2 在 x ?[0,2 a ] 上恒成立,则实数 a 的取值范围 是 ▲ .

二、解答题: (本大题共 6 小题,计 80 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把答案 写在答题纸的指定区域内) 15. (本小题 12 分) 已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点为 F , A 是抛物线上横坐标为 4、且位于 x 轴上方的点, A 到抛 物线准线的距离等于 5,过 A 作 AB 垂直于 y 轴,垂足为 B , OB 的中点为 M . (1) 求抛物线方程; (2) 过 M 作 MN ⊥ FA ,垂足为 N ,求直线 MN 的方程.

16. (本小题 12 分)

E 为棱 AB 的中点. 如图,已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 2,点
求: (1) D1E 与平面 BC1D 所成角的正弦值; (2)二面角 D ? BC1 ? C 的余弦值.

17. (本小题 13 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n ? an ( n ? N ) .
*

(1)计算数列 ?an ? 的前 4 项; (2)猜想 an 并用数学归纳法证明之.

18. (本小题 13 分) 甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损 失并获得一定净收入,在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润 x (元)与年产量 t (吨)满足函数关 系 x ? 2000 t .若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 s 元(以下称 s 为赔付价格) . (1)将乙方的年利润 w (元)表示为年产量 t (吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量; (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y ? 0.002t 2 (元) ,在乙方按照获得最大利润的产量进行 生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格 s 是多少?

19. (本小题 15 分)

如图,椭圆 E : 离心率 e ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 ,右焦点为 F2 , a 2 b2

1 A、 B 两点, .过 F 点 A 在 x 轴上方, 1 的直线交椭圆于 2

且 ?ABF2 的周长为 8. (1)求椭圆 E 的方程; (2)当 AF1 、 F1F2 、 AF2 成等比数列时,求直线 AB 的方程; (3) 设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ,且与直线 x ? 4 相交于点 Q .试探究:在坐标 平面内是否存在定点 M ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理 由.

20. (本小题 15 分) 已知函数 f ( x) ? a x (a ? 0且a ? 1) . (1)当 a ? e 时, g ( x) ? mx2 (m ? 0, x ? R) , ①求 H ( x) ? f ( x) g ( x) 的单调增区间;

②当 x ? [?2, 4] 时,讨论曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的交点个数. (2) 若 A, B 是曲线 y ? f ( x) 上不同的两点, 点 C 是弦 AB 的中点, 过点 C 作 x 轴的垂线交曲线 y ? f ( x) 于点 D , k D 是曲线 y ? f ( x) 在点 D 处的切线的斜率,试比较 k D 与 k AB 的大小.

盐城中学 2013-2014 高二年级期末考试 数学(理科)答题纸 2014、1
一、填空题(14×5=70 分)

1 、 若 x2 ? 2 x ? 3 ? 0 , 则
x ?1

2、2 4、110 6、 70
14

3、 (0, ?1) 5、5 7、 x ? y ? 1 ? 0 9、0 11、3 13、 5 ? 1
2

8、

8 3R 3 9

10、6 12、 ?
1 2

14、 (1,7] ? (??, ?1)

二、解答题(共 90 分) 15、 (12 分) 解: (1) y 2 ? 4 x ; (2) F (1, 0) , A(4, 4) , B(0, 4) , M (0, 2) ,

k AF ?

4 3 , k MN ? ? , 3 4 3 ( x ? 0) , 4

所以直线 MN 的方程为 y ? 2 ? ? 即 3x ? 4 y ? 8 ? 0 .

16、 (12 分) 解:建立坐标系如图, 则

A(2, 0, 0) , B(2, 2,0) , C (0, 2,0) , A1 (2,0, 2) , B1 (2, 2, 2)

D1 (0,0, 2) E (2,1, 0) ,

???? ???? ? ???? ??? ? AC ? (?2, 2, ? 2) , D1E ? (21 , , ? 2) , AB ? (0, 0, 2) . 2, 0) , BB1 ? (0, 1
(1) 不难证明 AC 1 为平面 BC1 D 的法向量,

????

???? ??? ? ???? ???? ? A1C ?AB 3 , ? cos A1C, D1 E ? ???? ???? ? ? 9 A1C D1E

? D1E 与平面 BC1D 所成的角的余弦值为

78 ; 9

(2) AC AB 分别为平面 BC1D , BC1C 的法向量, 1 ,

???? ??? ?

???? ??? ? ???? ??? ? A1C ?AB 3 , ? cos A1C, AB ? ???? ??? ? ? 3 A1C AB

? 二面角 D ? BC1 ? C 的余弦值为

3 . 3

17、 (13 分) 解:由 a1 ? 2 ? a1 , a1 ? 1 , 由 a1 ? a2 ? 2 ? 2 ? a2 ,得 a2 ?

3 , 2 7 , 4

由 a1 ? a2 ? a3 ? 2 ? 3 ? a3 ,得 a3 ?

由 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 2 ? 4 ? a4 ,得 a4 ? 猜想 an ?

15 . 8

2n ? 1 . 2n ?1

下面用数学归纳法证明猜想正确: (1) n ? 1 时,左边 a1 ? 1 ,右边 ? 猜想成立. (2)假设当 n ? k 时,猜想成立,就是 ak ?

2n ? 1 21 ? 1 ? 1?1 ? 1 , 2n ?1 2

2k ? 1 , 2 k ?1

此时 Sk ? 2k ? ak ? 2k ?

2k ? 1 . 2k ?1

则当 n ? k ? 1 时,由 Sk ?1 ? 2(k ? 1) ? ak ?1 , 得 Sk ?1 ? ak ?1 ? 2(k ? 1) ? 2ak ?1 ,

1 1? 2k ? 1 ? 2k ?1 ? 1 ? ak ?1 ? [2(k ? 1) ? S k ] ? k ? 1 ? ? 2k ? k ?1 ? ? ( k ?1)?1 . 2 2? 2 ? 2
这就是说,当 n ? k ? 1 时,等式也成立. 由(1) (2)可知, an ?

2n ? 1 ? 对 n ? N 均成立. 2n ?1

18、 (13 分) 解: (1)因为赔付价格为 s 元/吨,所以乙方的实际年利润为 w ? 2000 t ? st . 由 w? ?

1000 1000 ? s t , ?s ? t t
2

? 1000 ? 令 w? ? 0 ,得 t ? t0 ? ? ? , ? s ?
当 t ? t0 时, w? ? 0 ;当 t ? t0 时, w? ? 0 , 所以 t ? t0 时, w 取得最大值. 因此乙方取得最大年利润的年产量 t 0 为 ?

? 1000 ? ; ? (吨) ? s ?
2

2

(2)设甲方净收入为 v 元,则 v ? st ? 0.002t .

? 1000 ? 将t ? ? ? 代入上式, ? s ?
得到甲方净收入 v 与赔付价格 s 之间的函数关系式 v ?

2

106 2 ? 4 ?109 . s s

又 v? ?

106 ? (8000 ? s 3 ) , s5

令 v? ? 0 ,得 s ? 20 . 当 s ? 20 时, v? ? 0 ;当 s ? 20 时, v ? ? 0 , 所以 s ? 20 时, v 取得最大值. 因此甲方应向乙方要求赔付价格 s ? 20 (元/吨)时,获最大净收入.

19、 (15 分) 解: (1)因为 | AB | ? | AF2 | ? | BF2 |? 8 , 即 | AF 1 |?| F 1B | ? | AF 2 | ? | BF 2 |? 8 而 | AF1 | ? | AF2 |?| F1B | ? | BF2 |? 2a ,所以 4a ? 8 ? a ? 2 , 而e ?

c 1 1 ? ? c ? a ? 1 ? b2 ? a 2 ? c2 ? 3 a 2 2

x2 y 2 ? ?1 所求椭圆方程为 4 3
(2)? AF1 、 F1F2 、 AF2 成等比数列,? AF 1 ? AF 2 ?4 又 AF1 ? AF2 ? 4 ,? AF1 ? AF2 ? 2 , ?AF 1F 2 是等边三角形

? 2? , ? 直线 AB 的倾斜角为 或 3 3
? 直线 AB 的方程为 3x ? y ? 3 ? 0或 3x ? y ? 3 ? 0
? y ? kx ? m ? ? (4k 2 ? 3) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 12 ? 0 (3)由 ? 2 x y2 ?1 ? ? 3 ?4

? ? 64k 2m2 ? 4(4k 2 ? 3)(4m2 ?12) ? 0 ? 4k 2 ? m2 ? 3 ? 0
x0 ?

? 4km 4k 3 4k 3 ? y ? kx ? m ? ? , y0 ? ,? P (? , ) ,由 ? ? Q(4, 4k ? m) 2 4k ? 3 m m m m ?x ? 4 ?

设存在 M ( x1 ,0) ,则由 MP ? MQ ? 0 可得 ?

???? ???? ?

16k 4kx1 12k ? ? 4 x1 ? x12 ? ?3? 0 m m m

? (4 x1 ? 4)

k ? x12 ? 4 x1 ? 3 ? 0 ,由于对任意 m, k 恒成立,所以联立解得 x1 ? 1 . m

故存在定点 M (1,0) ,符合题意.

20、 (15 分)
x 解: ( 1 ) ① H ( x) ? f ( x) g ( x) ? mx 2e x , 则 H ?( x)? m x e( ?x 2 ) ? 得 0 x ? 0 或 x ? ?2 , 所 以

H ( x) ? f ( x) g ( x) 的单调增区间为 (0, ??),(??, ?2) .
② 当 m ? 0 时, 曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 的公共点个数即方程 e x ? mx 2 根的个数. 由 e x ? mx 2



x (2 ? x) 1 x2 x2 x2 , 所以在 上不间断的函数 在 (??, 0) 上递减,在 R ? x 设 h( x) ? x , h?( x) ? h ( x ) ? ex m e e ex

(0, 2) 上递境,在 (2, ??) 上递减,
又因为 m ? 0, h(0) ? 0, h(2) ? 所以当 h(2) ?

4 16 , h(4) ? 4 , h(?2) ? 4e 2 2 e e

1 1 e2 ? h(?2) 时一公共点,解得 2 ? m ? m 4e 4

当0 ?

1 1 e2 e4 ? h(4) 或 ? h(2) 时两公共点,解得 m ? 或 m ? m m 4 16 1 e2 e4 ? h(2) 时三公共点,解得 ? m ? m 4 16
f ( x2 ) ? f ( x1 ) x ?x , k D ? f ?( 1 2 ) , x2 ? x1 2

当 h(4) ?

(2)设 A( x1, f ( x1 )), B( x2, f ( x2 ))( x1 ? x2) 则 k AB ?
x2 ? x1

x1 ? x2 x2 ? x1 x1 ? x2 a x2 ? a x1 2 ? a 2 ? ln a ? a 2 2 则 k AB ? kD ? [ a ? a ? ( x2 ? x1 ) ln a] x2 ? x1 x2 ? x1



x2 ? x1 ? t ? 0 , L( x) ? at ? a?t ? 2t ln a ,则 L?( x) ? ln a(at ? a?t ? 2) 2
①当 a ? 1 时, a ? 1 , ln a ? 0 ,则 L?(t ) ? (lna )( ,所以 L(t ) 在 (0, ??) 递增,则 at ? a?t ? 2) ? 0
t

x2 ? x 1 x ?1 x 2 a 2 a 2 L( t ) ? L(0)? 0 , 又 因 为 ?0 , 所 以 ? [a 2 ? a 2 ? ( x2 ? x1 ) ln a] ? 0 ,, 所 以 x2 ? x1 x2 ? x1

x1 ? x2

x1 ? x 2

k AB ? kD ? 0 ;
②当 0 ? a ? 1 时, 0 ? at ? 1 , ln a ? 0

x2 ? x1 2 则 L?(t ) ? ln a(a ? a ? 2) ? 0 ,所以 L(t ) 在 (0, ??) 递减,则 L(t ) ? L(0) ? 0 又因为 a ? 0 ,所以 x2 ? x1

t

?t

x2 ? x1 x1 ? x2 a 2 2 [a ? a 2 ? ( x2 ? x1 ) ln a] ? 0 ,所以 k AB ? kD ? 0 x2 ? x1

x2 ? x1

综上:当 a ? 1 时 k AB ? kD ;当 0 ? a ? 1 时 k AB ? kD .


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