2013年山东省德州市乐陵一中高二数学必修五学案《数列》(第1课时)_图文

第二章 数列

课程整合 1 数列求和 共两课时
**学习目标** 1.掌握数列求和的方法; 2.能根据和式的特征选用相应的方法求和. **要点精讲** 1.公式法:等差、等比数列求和公式;

? 公式: n k 2 ? 12 ? 22 ? 32 ? ? ? n2 ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1) ,

k ?1

6

?n
k3
k ?1

?

13

?

23

???

n3

?

?1 ?? 2

n(n

? 1)??? 2 等。

2.错位相减法:若?an? 是等差数列,?bn? 是等比数列,则求数列?anbn? 的前 n 项和 Sn ,
常用错位相减法。 3.裂项相消法:有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程消去中间项,只
剩有限项。 4.分组求和法:把一个数列分成几个可以直接求和的数列。 5.并项求和法:特点是数列的前后两项和或差可以组成一个我们熟悉的数列形式
6.倒序相加法:类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法.
**范例分析**
例 1.求和: Sn ? 1? (1? q) ? (1? q ? q2 ) ? ??? ? (1? q ? q2 ? ??? ? qn ) .

例 2.(1)已知数列?an? 满足 an ?

1 n n ?1( n ?1 ?

n ) ,求 Sn 。

(2)已知数列?an? 的通项公式 an

?

n2

1 ?

2n

,求

Sn



(3)已知数列?an? 的通项公式 an

?

(2n

4n2 ?1)(2n

? 1)

,求

Sn



(4)求和: Sn

?1?

1 1? 2

? 1?

1 2?

3

?????

1?

2?

1 3?????

n



例 3.(1)求和: Sn ? 1? 2 ? 2? 3 ? 3? 4 ? ??? ? n(n ?1)

(2)求和: Sn ? ?1? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? ??? ? (?1)n (2n ?1)

(3)已知函数对一切 x ? R , f (x) ? f (1? x) ? 1 。

求和: S ? f (0) ? f ( 1) ? f ( 2) ? ??? ? f ( n ? 2) ? f ( n ?1) ? f (1) 。

nn

n

n



4.在等差数列{an} 中,首项 a1

? 1,数列{bn} 满足 bn

?

( 1 )an 2

,且 b1b2b3

?

1 64



(1)求数列{an} 的通项公式;

(2)求证: a1b1 ? a2b2 ? ? anbn ? 2 。

**规律总结**
1.在例 1 中,把和式看成是某个数列?an? 的前 n 项和 Sn ,把每一项按通项形式分开,然
后分组求和。

2.常用结论: n ?1 ? n ? 1 ? 1 , lg(1? 1 ) ? lg(n ?1) ? lg n ,

n n?1 n n?1

n

1 ? 1 ? 1 , 1 ? 1 (1 ? 1 ) , n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? 2) 2 n n ? 2

1 ? 1 ( 1 ? 1 ) , 1 ? 1 ( 1 ? 1 )( p ? q) , an (an ? d ) d an an ? d pq q ? p p q

1

?1( 1 ?

1

)。

n(n ?1)(n ? 2) 2 n(n ?1) (n ?1)(n ? 2)

2.用错位相减法求和时最好列出前 3 项和末 3 项; 3.对和式中通项作结构分析,确定选用哪个方法. **基础训练** 一、选择题

1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn ? 1? 5 ? 9 ?13 ?17 ? 21? ? ? ? ?1 n?1 ?4n ? 3? ,

则 S15 ? S22 ? S31 等于( )

A.13

B. ?76

C.46

D.76

2.数列1? 4 , 2? 5 , 3? 6 ,…, n(n ? 3) ,…则它的前 n 项和 Sn ? ( )

A. 1 n(n ?1)(n ? 2) 3
C. 1 n(n ?1)(n ? 4) 3

B. 1 n(n ?1)(n ? 3) 3
D. 1 n(n ?1)(n ? 5) 3

3.和式1? (1? 2) ? (1? 2 ? 22 ) ? ??? ? (1? 2 ? 22 ? ??? ? 2n?1) ? (

)

A. 2n?1 ? n ? 2

B. 2n?1 ? n ?1

C. 2n ? n ? 2

D. 2n ? n ?1

4.已知

f

(x)

?

4x 4x ?

2

,则

f

( 1 )? 101

f

( 2 )????? 101

f

( 99 ) ? 101

f

(100 ) 101

?





A.100

B. 51 C. 50.5

D. 50

5.和式1? 1 ? 4? 1 ? 7 ? 1 ? 248

? (3n ? 2)? 1 ? ( 2n



A.

4

?

3n ? 2n

4

二、填空题

B.

3

?

n? 2n

4

C.

4

?

3n ? 2n

4

D. 2n ? n ?1

6.求和: 1 ? 1 ? ?

1

?



1? 4 4? 7

(3n ? 2) ? (3n ?1)

7.设 Sn ? ?12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ? (2n ?1)2 ? (2n)2 ,则 Sn ? ______________。

8.已知 an

? 12

?

22

? 32

?????

n2

, bn

?

2n ? an

1

,则

b1

? b2

? b3

?????

bn

?



三、解答题

9.已知点列 Pn (an , bn ) 在直线 l : y ? 2x ?1上, P1 为直线 l 与 y 轴的交点,等差数列{an}的 公差为1(n ? N * )

(1)求 {an } 、 {bn } 的通项公式;

(2)设 Cn

?

n

1 P1Pn

(n ? 2) ,求 C2 ? C3 ? ??? ? Cn?1 ? Cn 。

10.已知函数 f ?x? 满足对于任意的实数 x, y ,都有 f ?x ? y? ? f ?x? f ?y?,且 f ?1? ? 1 。
2
(1)求 f ?2?, f ?3? 的值;
(2)求证数列{ f (n)} 为等比数列;
(3)设 an ? (n ?1) ? f ?n? , n ? N ? ,求证: a1 ? a2 ? ? an ? 3 .

**能力提高**

11.有限数列

A ? {a1, a2 ,???, an}, Sn 为其前 n 项和,定义

S1 ? S2

? ???? Sn n



A 的“凯森

和 ” ; 如 有 99 项 的 数 列 {a1, a2 ,???, a99} 的 “ 凯 森 和 ” 为 1000 , 则 有 100 项 的 数 列

{1, a1, a2 ,???, a99} 的“凯森和”为(



A.1001 B. 999 C. 991 D. 990

12.(1)已知数列{an}的通项公式 an

?

??2n ???2n

?1(n为奇数) ? 2(n为偶数),求数列{an}的前 2n

项的和

S2n



(2)已知数列 {an } 的通项公式

an

?

(2n?1

2n ?1)(2n

?1)

,求数列{an}的前 n

项的和

Sn



课程整合 1 数列求和 18 答案

例 1.通过分析通项找规律:设 an ? 1? q ? q2 ? ??? ? qn , Sn 是数列?an? 的前 n 项和,

当q

? 1时, an

?1?

q

?

q2

?????

qn

?

n

, Sn

?1?

2

? 3 ? ??? ?

n

?

n(n ?1) 2

当q

? 1时, an

? 1? qn 1? q

?1 1? q

? 1 ?qn , 1? q

Sn

?

(1 1? q

?

1 1? q

?

????

1) 1? q

?

1 1? q

(q

?

q2

?

????

qn )

?

1 1? q

n

?

q 1? q

?

(1? qn ) 1? q

例 2.(1) an ?

n?1? n ? 1 ? n n?1 n

1 n ?1



Sn

?

1? 1

1 ?1? n ?1

1 n ?1

(2) an

?

n2

1 ? 2n

?

1? 2

(n ? 2) ? n n(n ? 2)

?

1 2

(1 n

?

n

1 ?

2

)



Sn

?

1 2

(1 ? 1

1 2

?

1? n ?1

n

1) ?2

(3) an

?

(4n2 ?1) ?1 (2n ?1)(2n ?1)

?1?

1 2

(1 ? 2n ?1

1 ), 2n ?1

Sn

?

n

?

1 2

(1 ?

1) 2n ?1

?

n

?

n 2n ?1

?

2n2 ? 2n 2n ?1



(4)设

Sn

为数列{an}的前 n

项和,则

an

?

1?

2

1 ????

?

n

?

2 n(n ?1)

?

2 n

?

2 n ?1



Sn

?

(2 1

?

2) 2

?

(2 2

?

2) 3

?????

(2 n

?

2) n ?1

?

2?

2 n ?1

?

2n n ?1

例 3.(1)设 an ? n(n ?1) ,则 Sn 是数列?an? 的前 n 项和,因为 an ? n2 ? n ,

所以 Sn ? (12 ? 22 ? 32 ? ??? ? n2 ) ? (1? 2 ? 3 ? ??? ? n)

? n(n ?1)(2n ?1) ? n(n ?1) ? n(n ?1)(n ? 2)

6

2

3

(2)当

n

为偶数时,

Sn

?

?1 ?

3?

5

?

7

?

9

?

???

?

(?1)n (2n

?1)

?

2?

n 2

?

n





n

为奇数时,

Sn

?

?1 ?

3?

5

?

7

?

9

?????

(?1)n (2n

?1)

?

?1 ?

n ?1? (?2) 2

?

?n

(3) S ? f (0) ? f ( 1) ? f ( 2) ? ??? ? f ( n ? 2) ? f ( n ?1) ? f (1)

nn

n

n

S ? f (1) ? f ( n ?1) ? f ( n ? 2) ? ??? ? f ( 2) ? f (1) ? f (0)

n

n

nn

两式相加,得 2S ? n ?1, S ? n ?1 。 2

例 4.(1) a1 ? a2 ? a3 ? 6 , an ? n

(2)令 Sn ? a1b1 ? a2b2 ? ? anbn ,则

Sn

?

1 2

?

2 ? ( 1 )2 2

? 3? (1)3 2

?????

(n

?1) ? ( 1 )n?1 2

?

n ? ( 1 )n 2

1 2

Sn

?

(1)2 2

?

2? (1)3 2

?

3? ( 1 )4 2

?????

(n

?1) ? ( 1)n 2

?

n ? ( 1 )n?1 2

两式相减,

1 2

Sn

?

1 2

?

(1)2 2

? (1)3 2

?

(1)4 2

?????

(1)n 2

?

n ? ( 1 )n?1 2

? 1? ( 1 )n ? n ( 1 )n?1 ? 1

2

2

∴ Sn ? 2

**基础训练**
1.B 提示: S15 ? S22 ? S31 ? 29 ? 44 ? 61 ? ?76

2.D 提示: n(n ? 3) ? n2 ? 3n , Sn ? (12 ? 22 ? 32 ? ??? ? n2 ) ? 3(1? 2 ? 3 ? ??? ? n)

? n(n ?1)(2n ?1) ? 3n(n ?1) ? n(n ?1)(n ? 5)

6

2

3

3.A 提示:和式的通项为1? 2 ? 22 ? ??? ? 2n?1 ? 2n ?1 ,

4.D 提示:对一切 x ? R , f (x) ? f (1? x) ? 1 。用倒序相加法

11

1

1

5.设 Sn ? 1? 2 ? 4? 22 ? 7 ? 23 ? ? (3n ? 2) ? 2n , ①



1 2

Sn

? 1?

1 22

?

4?

1 23

?

7?

1 24

?

?

(3n ? 5)?

1 2n

?

(3n

?

2) ?

1 2n?1





由② ? ①,得

1 2

Sn

?

1 2

?

3(

1 22

?

1 23

?

1 24

?

?

1 2n

)

? (3n ? 2)?

1 2n?1

?

2 ? 3(1)n 2

? (3n

?

2) ?

1 2n?1

Sn

?

4?

3n ? 2n

4

6. n

提示:

1

?1( 1 ? 1 )

3n ?1

(3n ? 2) ? (3n ?1) 3 3n ? 2 3n ?1

7. 2n2 ? n 提示: Sn ? (1? 2) ? (3 ? 4) ? ??? ? (2n ?1? 2n) ? 2n2 ? n

8. 6n n ?1

提示: an

?

n(n

? 1)(2n 6

? 1)

, bn

?

2n ?1 an

?

6 n(n ?1)

?

6( 1 n

?

1) n ?1



b1

?

b2

? b3

?????

bn

?

6n n ?1



9.解:(1)? Pn (an , bn ) 在直线 l : y ? 2x ? 1上,?bn ? 2an ? 1

∵ P1 为直线 l 与 y 轴的交点,∴ P1(0,1) ? a1 ? 0 , 又数列{an}的公差为 1 ? an ? n ?1(n ? N * ) ?bn ? 2n ?1(n ? N * )

(2)? P1 (0,1), pn (an , bn )

?| P1Pn |? an2 ? (bn ?1)2 ? (n ?1)2 ? (2n ? 2)2 ? 5(n ?1)

Cn

?

n? |

1 P1Pn

|

?

1 ? 1 ( 1 ? 1) 5n(n ?1) 5 n ?1 n

(n ? 2)

所以 C2 ? C3 ?

? Cn ?

1 (1? 1 ? 1 ? 1 5 223

? 1 ? 1) ? 1 (1? 1) n ?1 n 5 n

10.(1) f ?2? ? f (1?1) ? f 2 (1) ? 1 , f ?3? ? f (1? 2) ? f (1) f (2) ? 1 ;

4

8

(2)取 x ? 1, y ? n ? N ? ,则 f ?n ?1? ? f ?n? f ?1? ,

所以 f (n ?1) ? f (1) ? 1 ,所以数列{ f (n)} 为等比数列,公比为 1 ,首项为 1 ,

f (n)

2

2

2

(3)数列{ f

(n)} 的通项为

f

(n)

?

? ??

1 2

?n ??

, an

?

(n

?1) ?

f

?n?

?

(n

? 1)

?

? ??

1 2

?n ??



设 Sn ? a1 ? a2 ? ? an ,则

Sn

?

2?

1 2

?

3 ? ( 1 )2 2

?

4 ? ( 1 )3 2

?

? (n ?1) ? ( 1)n?2 ? n ? ( 1)n?1 ? (n ?1) ? ( 1)n

2

2

2



1 2

Sn

?

2 ? ( 1 )2 2

? 3?(1)3 2

?

4 ? ( 1 )4 2

?

? (n ?1) ? ( 1)n?1 ? n ? ( 1)n ? (n ?1) ? ( 1)n?1 ②

2

2

2

由① ? ②得

(1 ?

1 2

)

Sn

? 1? [(1)2 2

?

( 1 )3 2

? (1)4 2

?

? 3 ? (1 )n ? (n ?1) ? (1 )n?1 ? 3

22

22



1 2

Sn

?

3 2

,所以

Sn

?

3,

? ( 1 )n?1 ? ( 1 )n ] ? (n ?1) ? ( 1)n?1

2

2

2

所以 a1 ? a2 ? ? an ? 3

**能力提高**

11.C

提示: S1 ? S2 ? ??? ? S99 99

? 1000 , S1 ? S2

? ??? ? S99

? 99000 ,

S1'

? S2'

?

?

?

?

?

S

' 100

? 1? (1? S1) ? (1? S2 ) ? ??? ? (1? S99 )

?

99000 ?100

? 991

100

100

100

12.(1) S2n ? (21 ?1) ? (22 ? 2) ? (23 ?1) ? (24 ? 2) ? ??? ? (22n?1 ?1) ? (22n ? 2)

所以 S2n ? (21 ? 22 ? 23 ? 24 ? ??? ? 22n?1 ? 22n ) ? n ? 2n ? 22n?1 ? n ? 2

(2)

an

?

(2n?1

2n ?1)(2n

?1)

?

(2n?1 ?1) ? (2n ?1) (2n?1 ?1)(2n ?1)

?

1 (2n ?1)

?

1 (2n?1 ?1)



1 Sn ? 1? 2n?1 ?1


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