圆锥曲线切点弦方程的性质新探_图文

■理论探新
圆锥曲线切点弦方程的性质新探
王保庆【1】杨振兴蔡凯闭
(【1]武汉市汉南一中 湖北?武汉430090;

[2】武汉市第三中学湖北?武汉430050)
中图分类号:0182 文献标识码:A 文章编号:1672—7894(2009)05—284-02

摘要本文研究了当巴知点在圆锥曲线内部时,形如“切点 弦方程”形式的方程的一些性质,并探讨了它们的应用。 关键词圆锥曲线切点弦方程性质 过圆锥曲线上一点作圆锥曲线的切线,这是大家所熟知的问

意一点向圆引切线,切点为A、B,则直线AB必过定点‰列。
2在圆锥曲线中的性质
完全类似于命题1的证明,可以得到下列性质。

命题2:设‰yo)为椭圆手+旁=1内一点,过P任作椭圆的弦
AB,以A、丑为切点作切线,两切线交于肘。则直线等+等2t是
M的轨迹。

题;过圆锥曲线外一点一般可作圆锥曲线的两条切线,从而得到切
点弦.这类问题也有众多学者对其进行了深入研究,并得到一系列

结果。如文献【1】iⅡ!明了下列结论:

设‰托盼别是圆锥曲线

当直线等+爷2l与椭圆相离时,过该直线上任意一点肘作
椭圆的切线MA、MB(A、B为切点)则直线AB必过定点p‰纠。

(1)等+乓=1;(2)车一善=l(3)yk-2p# 旷D。d。D一
外一点,从P分别作曲线的两条切线,切点为R、p,则切点弦 RD的方程分别为

命题3:设P‰纠是双曲线内一点(孚一萼>1),-g线等+
征 瑶 茁

Y-,-敛,=I是过P的任意一条弦的两端点为切点的两切线交点的轨
0一

(1)等+爷2l;(2)等一爷21;(3)yoy2p(x+xd。
并得到推论:

迹。

当-y-+{等=l与双曲线不相交时,过该直线上任意一点肘作
双曲线的切线IdA、MB,其中A、曰为切点,则直线AB必过定点P

(1)圆捕铲妒外坼。托)_点所对应的切点弦方程为瑚竹垆r2;
(2)圆体一”矿+仔_,矿=,外一点P(x=yo)所对应的切点弦方程为
(知-mXx—m净(y旷-n№一n净≯

文献【2】、【3瑚!明了下面的结论:
设只ky。J是不在曲线A矿=2Bxy=CyZ+2Dx+2Ey+F=O

囟。纠。 命题4:设P‰列为抛物线,=2p茹内一点(y02>2p知),直线

忻PB≈姥过只k列的抛物线的任意一条弦的端点为切点的两切
线的交点的轨迹。

的含焦点的区域内的任一点,则该曲线关于只瓦纠的切点弦方

当直线胴P佴;纠与抛物线r'=2px不相交时,过此直线上任意
命题5:过椭圆;+吾=1(o>b>D)的左焦点F,(-c,例任作一弦

程为Axdz+口阮—弦H劬矿_D仁懈班田叶拍H扛0

(+)

一点.jIf作抛物线的切线MA、MB,其中A、B为切点,直线AB必过

但是,当只%,,毋在圆锥曲线的内部(含焦点的区域内)时,方程 (?)又有什么意义和性质呢?本文就此问题进行了探讨,并得到一 些有用的结果。

定点坼b纠。
AB,以^、曰为切点的两切线的交点轨迹为左准线*=生;过椭圆乓


1在圆中的性质

命题h设只妃,,d为圆舻r2内一点‰W≠o),过点目如删主
证明:设A、B、M的坐标分别为A



作一条不过圆心的弦AB。若以^、口为切点的两条切线相交于肘,

+鲁=l的右焦点Ffc,班作一弦A口,以A、B为切点的两切线的交
0一

则膨点的轨迹是直线瑚竹谚=,。 0。枷,口(。≯曲埘0棚.则肥t、
MB的方程分别为:
xJx+yty---r2

点轨迹为准线x=£。反之,过等+等=1的左准线*=篮上任意一点 旷
C 0’ C

作椭圆的切线,两切线的切点的连线必过左焦点;过椭圆等+乓=1 矿
D‘

(1) (2)

硝+,,力一

右准线上W=生上任取一点作椭圆的切线,两切线的切点的连线必


削叭Q’叫尸登(4)
由A、P.B三点共线,知向量和与向量j

k:丑竺出生

(3)

弋 /\一。

芦 蕊.

过右焦点。 对于双曲线、抛物线,可以得到类似结论,这里就不再重复了。

3在高考命题中的体现
在教学中,如果能够引导学生通过探究性学习获得并证明上述 结论,不仅对培养学生的创造性思维能力有重要作用,而且对解答 一些高考题有重要帮助。

?.‘j芦=阢略^妒,,厶蔚=蜘Dyr砌
7.(xo-cb盼r№卜(*r啪口—y|净o
7.Or,溉r往r*1)y口=*drx甜l

例1:(2008年江西理第21题)设点P‰纠在直线x=m(y#y-m,
D<m<JJ上,过点P作双曲线矿—,=J的 两条切线PA、PB,切点为J4、曰,定点肘


由(3)×删×拍及(5)得埘啊舻:,2,即为M的轨迹方程。
进一步可以证明下列结论:

05、

(上.o)。 m
(1)过点A作直线x--r=D的垂线, 垂足为JI、,,试求&4MN的重心G所在 曲线方程;

B为切点的圆的切线交于点‰y。J。
284.f叙毛l‘

(i)若直线蓦庐啊矿矿与圆冉y毛^r>0)交于A、B两点,则以A、

(ii)若直线描啊萨,与圆,∥(r>0)相离,则过此直线上任

N鼹 少’ N



万   方数据

埋化珠耕_
(2)求证:A、M、B三点菸绕。 0A为此抛物线的切线。 (3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由。(答案:成立) 说明:由前面的结论知:本题(2)、(3)显然是以下面的结论为背

说明:根据前丽的结论知,过直线茹=m,y≠y.m,O<m<l,即直线 一1#一日?搏J,仃≠轫bD‘;矸l《∞上任意一点P作双曲线矿-f=l的切线 Ut PA、JF曰,其中A、B为切点,则直线A曰必过定点州上,o)。这就是本 瓤龠题的摹本思路。 倒2;(2∞8年山东理笫22题)如图。设抛物线方程为x2=2py 函>例,M为直线垆—2p任意一点,过肘引抛物线的切线,切点分别
为A、B。 (1)求证:A、M、B三点的横坐标成等 差数列; (2)已知当肘点的坐标为像一21,)时, IABI=4、/T矿,求此时抛物线的方程; (3)是否存在点』If,使c关于直线AB 的对称点D在抛物线x2=2pyO,>o)上。其 值。

景编写的,以过定点c(o,c所在任意一弦AB的端点A、曰为切点的 两切线的交点Q的轨迹方程为j笔}=o?g(即卫唼上;狮)即,,=-c,这



就是题中的直线l;反之,过口引抛物线的切线qA、∞,直线AB必
过点CrD,c)。如果了解这一事实,解答该题时可做到心中有数,而能 信心十足地解答好该题。

例4:(2006年全国高考鼹(Ⅱ)理第21题,文第22题)已知抛

物线存钾的焦点为F,A、B是抛物线上的两个动点,.gA---f=A两
(A>O),过A、霸两点分别作抛物线的切线,设其交点为M。

(1)证明蔚?j可为定值。 (2)设的A,4BM面积为.s,写出S娟)的表达式并求s的最小
说明:由前面的结论知,本题中的肘事实上在准线y=-争上,
这样姚题便可迎刃而解。

中。点c满足记=刁穿+刁营(D为坐标原
点)。若存在,求出所在适合题意的点jIf的 坐标;若不存在.请说明理由。 关键。 例3:(2007江苏试裰第19蹶)如 图,在平面直角坐标系中,过Y轴正方向

说明:由前面的结论易知AB必过定点(o,2p),这即为解签蛹的


(1)的答案为0。(2)的答案为s=}(x/T+—;:),,最小值为


、/A

4。

k勺B


上一点c似Ej睡佧一直线,与抛物线y=矿
.工

J口

相交于4、霸两点,一条垂直于*轴的直 线,分别与线段A四和直线交于点P、Q。

参考文献 【1】蔡献慧.圆锥曲线切点弦的应用.洛阻师范学院学报[Jl,2006(5). 【2】黄熙宗.圆锥曲线切点弦方程的简易求法.苏州教育学院学报册,1991(3):
94-95.

(1)着砑坷秽=2,求c的值。(答案
c蒿2)

【3】宋光德.圆锥曲线中的切线和弦新探.绍兴纹理学院学报[Jl,2001,2l(1):
720.721.

(2)若P为线段AB的中点,求证:
(上接第263页)

责任编辑启航

扣和扣扣扣+.■扣■扣扣和扣扣扣和扣扣扣扣扣扣扣扣扣扣扣扣扣扣扣和扣和和扣扣卜扣扣扣和扣扣和
与绘画、膏乐及其他一些艺术门类相比.从业过程中的艰辛非局外 人所能尽知。 舞鼹界有旬名盲I“舞蹈是残酷的艺术。”且不谚卸lI练时的挥汗 如雨。超强的运动量和严格的技术规范给所有从年少时就开始习 舞学员带来的苦痛是一般人难以忍受的。俗话说:“台上一分钟,台
下十年功。”不厌其烦的基本功训练,对所有学员的毅力和耐力都 东西,必须要有一定的知识积淀,也即演员必须要具备较好的文化 素养。 中国艺术历来推崇“象外之象”、“象外之意”、“弦外之音”等理 念,通俗点说,就是一个好的艺术作品,要使受众在表面的感性形象 之外,还能意会到内在的意境、意象以及深长的意味。如当年轰动 一时的女子独舞《春江花月夜》,其表现的决不仅仅是一系列看来赏 心悦目的肢体动作组合。它是根据同名古曲的再创作,表现了在优 美宁静的花月之夜,一位妙龄女子的情思、哀怨和对美好未来的憧 憬,其景美、其情真,内涵非常丰富。如果表演者文化素养较差,不

燕一种考验和磨练。因无法承受训练的苦痛,尽管十分钟爱舞蹈事
业.但中途放弃所爱者不在少数。即使一些舞蹈界的成功人士。在 享受了不少赞誉和鲜花之后,有时也因伤痛和压力,产生放弃事业 的念头。如享誉世界的舞蹈大师乌兰诺娃就曾坦承:自己青年时

期.有一次训练和演出间隙到度假地休息,凝视着平静的湖水,真 希望自己身上的一切艰难和压力从此随着湖水漂去。人们可能认 为,这种情况。只是针对舞蹈演员来说的。其实不然。因为每一位从
事舞蹈专业的人,都要熟练地掌握舞蹈技能和技巧,舞蹈编导和舞

能深刻领悟作品中所蕴含深切情思,表演时不能充分展示人物内心 丰富的情愫,只是靠一些单纯而优美的姿体动作来演绎,其艺术感 染力定会大打折拇,作品更不可能轰动一时,成为经典。这也充分
说明,舞蹈不仅要表现出人物外形的美,同时更要表现出她内心世

蹈教师更不能例外。尽管有些舞蹈编导和舞蹈教师,因为种种原 因,或身体条件所限,,或年龄过大,在登台表演方面处于劣势。但
他们在舞蹈技能技巧的掌握上,却是一般年轻演员所难能比拟的。

界优美动人的情感、品性等等。 无数艺术实践证实,一部作品要想获得成功,编导和排练者除
了要掌握全部的动作技巧外,还必须深入领悟蕴含其内的相关文化 内涵,只有这样,表演者才能真正“进入角色”,作品也才能以“真情” 打动观众的心。如果排演的是一部大型舞剧,那就有更多的内容需 要去研究和把握,如时代背景、历史境况、风土人情、人物性格等等。 只有充分了解和真正吃透了作品内里蕴含的精髓,当舞蹈作品出现 在舞台上的时候。才能拨动人的心弦,激起人的情感,以致使人的心 灵受到陶治和启迪,从而满足人们高层次的审美需求。 文化是一种“底蕴”。有如金字塔的基础,基础越宽大坚固,塔身

他们对舞蹈的理解和技能的应用,达到了一个很高的层次,而这种
层次,完全是以汗水、辛劳和苦痛为代价的换得有。所以说,要学好

舞蹈,如果没有克服艰难困苦的毅力,不能忍常人难忍的苦痛,是
无论如何也达不到一个很高的层面的。

3文化素质
文化素质是从事一切事业都应该具备的基础性东西,所以又

才能越高。对任何艺术工作者来说,这都是至理名言。这不仅为古
今杰出的艺术家的实践所证明,也是许多艺术家的切身体会。著名

常常最易被人们所忽视。长期以来,社会上普遍存在一种认识上的
偏差,以为舞蹈仅仅是一种动作技巧,只要训练到位,即可获得演 出的成功。正如有人在批评中所说:“艺术教育的致命遗憾,就是过

京剧艺术家王梦云教育学生说:“术有穷,艺有止,腹有诗书气自华。 一个艺术工作者最后面靠的是文化。”综上所述,笔者认为,全面认
识和处理好舞蹈从业者的素质问题,特别是克服文化素养的普遍不 足这个长期存在的薄弱环节,是舞蹈事业发展的需要。是时代的需 要,更是舞蹈事业进一走向辉煌的必需。 责任编辑秦艾桢

分强调技术至上。似乎技术练好了就懂了艺术。”这真是一针见血。 前面我们B经说过舞蹈并非单纯的动作展示,动作是要包涵一定
内容的。这内容就是特定的情感、思想,特定情景中的人物性格,以 及特定历史、地域和民族的风俗文化。要把握和表现这些深层次的

簟f缸≮if.285

万   方数据

圆锥曲线切点弦方程的性质新探
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 王保庆, 杨振兴, 蔡凯 王保庆,蔡凯(武汉市汉南一中,湖北·武汉,430090), 杨振兴(武汉市第三中学,湖北·武汉 ,430050) 科教文汇 The Science Education Article Collects 2009(14)

参考文献(3条) 1.宋光德 圆锥曲线中的切线和弦新探 2001(01) 2.黄熙宗 圆锥曲线切点弦方程的简易求法 1991(03) 3.蔡献慧 圆锥曲线切点弦的应用[期刊论文]-洛阳师范学院学报 2006(05)

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_kjwh200914264.aspx


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