上海市杨浦区2016届高三上学期期末“3+1”质量调研数学文试题
杨浦区 2015 学年度第一学期期末高三年级 3+1 质量调研 2016.1. 数学学科试卷(文科) 考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位 置上. 2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.
? 1 0? ?2 4 ? 1. 已知矩阵 A ? ? ?,B?? ? ,则 A ? B ? ? ?1 2 ? ? 1 ?3 ?
.
2. 已知全集 U=R,集合 A ? x ? 1 ? x ? 2 ,则集合 ? U A ? ___________________. 3. 已知函数 f ? x ? ? log3 ?
?
?
?4 ? ? 2 ? ,则方程 f ?1 ? x ? ? 4 的解 x = _____________. ?x ?
4. 某洗衣液广告需要用到一个直径为 4 米的球作为道具,该球表面用白布包裹,则至少需要 白布_________平方米. 5.无穷等比数列 ?an ? ( n ? N * )的首项 a1 ? 1 ,公比 q ?
1 , 3
开始
S n =___________. 则前 n 项和 Sn 的极限 lim n ??
6. 已知虚数 z 满足 2z ? z ? 1 ? 6i ,则 z ? ___________. 7.执行如右图所示的流程图,则输出的 S 的值为 8. 1 ? 3 x .
S=0
k=1 是
?
? 展开式中 x 的系数为_________________.
8
k>2016 否 S=S+ 1 k(k+1)
9.学校有两个食堂,现有 3 名学生前往就餐,则三个人在 同一个食堂就餐的概率是_________.
输出S
a5 标 准 差 为 2 , 则 数 10 . 若 数 a1 , a2 , a3 , a4 , 的
结束 k=k+1
3a1 ? 2 , a3 2 ?
2a, 3 3?
a2 , 3 a5的标准差为 ? 2, 3 2 4 ?
.
C
F
B E A
11.如图,在矩形 OABC 中,点 E、F 分别在线段 AB、BC 上, ??? ? ??? ? ??? ? 且满足 AB=3AE,BC=3CF,若 OB ? ? OE ? ? OF (? , ? ? R) , 则 ? ? ? ? ________________.
O
2 ? ? x ? 4 x ? 3, x ≤ 0 12.已知 f ? x ? ? ? 2 ,当 x ? ?? 2, 2? 时不等式 f ? x ? a ? ≥ f ? 2a ? x ? 恒成立, ? ?? x ? 2 x ? 3, x ? 0
则实数 a 的最小值是_____
.
13.抛物线 C 的顶点为原点 O ,焦点 F 在 x 轴正半轴,过焦点且倾斜角为 线于点 A, B ,若 AB ? 8 ,则抛物线 C 的方程为_________________. 14. 已 知 f ? x ? 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 当 0 ? x ? 1 时 , f
? 的直线 l 交抛物 4
? x? ?
2 x ,当 x ? 0 时,
f ? x ? 1? ? f ? x ? ? f ?1? ,若直线 y ? kx 与函数 y ? f ? x ? 的图象恰有 7 个不同的公共点,则
实数 k 的取值范围为_________________. 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答 题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 下列四个命题中,为真命题的是 ( ). A. 若 a ? b ,则 ac 2 ? bc 2 C. 若 a ? b ,则 a 2 ? b 2 B. 若 a ? b , c ? d 则 a ? c ? b ? d D. 若 a ? b ,则
16. 设 a, b 是两个单位向量,其夹角为 ? ,则“ ? ? ?
? ?
? 6
? ”是“ | a ? b |? 1 ”的 3
1 1 ? a b
(
).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 17.对于平面 ? 和两条直线 m, n , 下列命题中真命题是 A. 若 m ? ? , m ? n , 则 n‖? B. 若 m‖ ? , n‖? , 则 m‖ n C. 若 m, n 与 ? 所成的角相等, 则 m‖ n D. 若 m ? ? , m‖ n , 且 n 在平面 ? 外, 则 n‖? ? 18.下列函数中,既是偶函数,又在 ?0, ?? 上递增的函数的个数是 ① y ? tan x A. 1个 ② y ? cos?? x ? B. 2 个
(
)
(
)
?? ? ③ y ? sin? x ? ? 2? ?
D. 4 个
④ y ? cot
x 2
C. 3 个
三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤 . 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分 . 如图,某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型,先用木料搭边框,再用其他材料填充。 已知金字塔的每一条棱和边都相等。 (1) 求证:直线 AC 垂直于直线 SD ; 若搭边框共使用木料 24 米, 则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔 S 内 部 填 满?
C
D
B
A
20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分 . 某农场规划将果树种在正方形的场地内。为了保护果树不被风吹,决定在果树的周围种 松树。 在下图里,你可以看到规划种植果树的列数(n),果树数量及松树数量的规律:
n=1
n=2
n=3
n=4
= 果树 = 松树
n = 5 时果树数量及松树数量分别为多少; (1) 按此规律, 并写出果树数量 a n , 及松树数量 b n 关于 n 的表达式 (2)定义: f (n ? 1) ? f (n )
?n ? N ?为 f (n) 增加的速度;现农场想扩大种植面积,问:哪
*
种树增加的速度会更快?并说明理由
21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题 8 分,第 2 小题 6 分. 如图,在一条景观道的一端有一个半径为 50 米的圆形摩天轮 O,逆时针 15 分钟转一圈,从 A 处进入摩天轮的座舱, OA 垂直于地面 AM ,在距离 A 处 150 米处设置了一个望远镜 B . (1)同学甲打算独自乘坐摩天轮,但是其母亲不放心,于是约定在登上摩天轮座舱 5 分钟后, 在座舱内向其母亲挥手致意,而其母亲则在望远镜 B 中仔细观看。问望远镜 B 的仰角 ? 应调 整为多少度?(精确到 1 度) (2)在同学甲向其母亲挥手致意的同时,同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化
带 BD ,发现取景的视角 ? 恰为 45 ? ,求绿化带 BD 的长度(精确到 1 米)
C O ?
? M A D B
22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分 如图,曲线 ? 由两个椭圆 T1 :
x2 y 2 y 2 x2 T 和椭圆 : ? ? 1 a ? b ? 0 ? ? 1? b ? c ? 0 ? 组 ? ? 2 a 2 b2 b2 c 2
成,当 a, b, c 成等比数列时,称曲线 ? 为“猫眼曲线”. (1) 若猫眼曲线 ? 过点 M 0, ? 2 ,且 a, b, c 的公比为
?
?
2 ,求猫眼曲线 ? 的方程; 2
(2) 对于题 (1) 中的求猫眼曲线 ? , 任作斜率为 k ? k ? 0? 且不过原点的直线与该曲线相交, 交椭圆 T1 所得弦的中点为 M ,交椭圆 T2 所得弦的中点为 N ,求证:
k OM 为与 k 无关的定值; k ON
(3) 若斜率为 2 的直线 l 为椭圆 T2 的切线,且交椭圆 T1 于点 A, B , N 为椭圆 T1 上的任意 一点(点 N 与点 A, B 不重合) ,求 ?ABN 面积的最大值.
y
o
x
23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分. 已知函数 f ?x ? (x ? D) ,若存在常数 T(T>0) ,对任意 x ? D 都有 f ?x ? T ? ? T ? f ?x ? ,则 称函数 f ?x ? 为 T 倍周期函数 (1)判断 h ?x ? ? x 是否是 T 倍周期函数,并说明理由 (2)证明 g?x ? ? ? ? 是 T 倍周期函数,且 T 的值是唯一的 (3)若 f ?n ? (n ? N* ) 是 2 倍周期函数, f ?1? ? 1 , f ?2? ? ?4 , Sn 表示 f ?n ? 的前 n 项和,
?1? ?4?
x
Cn ?
S2n lim C n ,求 n ?? S2 n ?1
文科评分参考 填空题 1. ? ?
?3 4 ? ? ? 0 1 ? ?
7.
2.
? ??, ?1? ? ?2, ???
8. ?56 9.
3.1
4. 16?
5.
3 2
6. 5 12.4
2016 2017
1 4
10.6
11.
3 2
13. y 2 ? 4x
14. ( 2 2 ? 2 , 2 6 ? 4 )
二、选择题 15.C 16.A
17.D
18.A
三、解答题 19. (本题 12 分,第一小题 6 分,第二小题 6 分) 解: (1)如图,连接 AC , BD 交于点 O ,则 O 为线段 BD 中点, 在正方形 ABCD 中,对角线 AC ? BD 在 ?ASC 中,? SA ? SC ,? SO ? AC ? S O? B D ? , O ? AC ? 平面 SBD (2 分) (2 分) (2 分) (2 分) (2 分)
S
? A C? S D
(2)边长为 3 米
C
D
? 2? 3 2 ? 棱锥的高 SO ? 1 ? ? ? 2 ? ?3 ? 2 ? ?
2
2
B
A
? V?
1 2 3 2 9 2 立方米 ?3 ? ? 3 2 2 9 2 立方米填充材料. 2
(2 分)
答:需要
20. (本题 14 分,第一小题 6 分,第二小题 8 分) (1)n = 5 时果树 25 棵,松树 40 棵
(2 分) (2 分) (2 分)
an ? n2
b n ? 8n
(2) a n ?1 ? a n ? ?n ? 1? ? n 2 ? 2n ? 1
2
(2 分) (2 分) (2 分) (2 分)
b n ?1 ? b n ? 8?n ? 1? ? 8n ? 8
当 n ? 3 时,2n+1 < 8 松树增加的速度快 当 n ? 4 时,2n+1 > 8 果树增加的速度快
21. (本题 14 分,第 1 小题 8 分,第 2 小题 6 分, ) (1)? 逆时针 15 分钟转一圈, ? 5 分钟转过 120? , (2 分) 过点 C 作 CH ? AB 于点 H , 则 CH ? 50 ? 50 ? sin ?120? ? 90?? ? 75 , (2 分)
M
C O
? A D B
BH ? 1 5 0 ? 5?0 c?o s ?1 ?2 0?? ?9 0 ? 1 5 0
2 52 分) 3 (
? tan ? ?
CH 75 3 6? 3 6? 3 ,?? ? arctan ? ? ? ? 35? BH 150 ? 25 3 2 3 ? 1 11 11
(2 分)
答:望远镜的仰角 ? 设置为 35 ? (2)在 ?BCD 中, ? ? 35?, ? ? 45? ,??CDH ? 80? (2 分)
CH 75 ? sin 80? sin 80? BD CD ? 由正弦定理得: sin ? sin ? CD ? sin ? 75 ? sin 45? ? BD ? ? ? 94 sin ? sin 80? ? sin 35? ? CD ?
答:绿化带的长度为 94 米.
(2 分) (2 分)
22. (本题 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分) (1) b ?
2 ,? a ? 2, c ? 1,
(2 分)
x2 y 2 y2 ?T1 : ? ? 1 , T2 : ? x 2 ? 1; 4 2 2
(2 分)
(2)设斜率为 k 的直线交椭圆 T1 于点 C ? x1, y1 ? , D ? x2 , y2 ? ,线段 CD 中点 M ? x0 , y0 ?
? x0 ?
x1 ? x 2 y ?y , y0 ? 1 2 2
2
? x12 y12 ? ?1 ? ? 4 ? x ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 2 由? 2 ,得 1 2 4 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? 2 ? 4
? k 存在且 k ? 0 ,? x1 ? x2 ,且 x 0 ? 0
(2 分)
?
y1 ? y2 y0 1 1 ? ? ? ,即 k ? k OM ? ? x1 ? x2 x0 2 2
(2 分)
同理, k ? k ON ? ?2
?
k OM 1 ? 得证 k ON 4
2x ? m
(2 分)
(3)设直线 l 的方程为 y ?
? y ? 2x ? m ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ,? b ? 2c x ? 2 2mc x ? m c ? b c ? 0 ?y x2 ? 2 ? 2 ?1 c ?b
?
?
? ? ? 0 ,? m2 ? b2 ? 2c 2
l1 : y ? 2 x ? b 2 ? 2c 2
(2 分)
? y ? 2x ? m ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , ? b ? 2a x ? 2 2ma x ? m a ? b a ? 0 ?x y2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
?
?
? ? ? 0 ,? m2 ? b2 ? 2a 2
l2 : y ? 2 x ? b 2 ? 2a 2
两平行线间距离: d ? (1 分)
b2 ? 2c2 ? b2 ? 2a 2 3
(1 分)
? AB ?
2 3ab 2a 2 ? 2c 2 b2 ? 2a 2
ab 2a 2 ? 2c 2
(1 分)
? ?ABN 的面积最大值为 S ? 1 AB ? d ? 2
注:若用第一小题结论,算得:
?
b2 ? 2c 2 ? b2 ? 2a 2 b ? 2a
2 2
?
(1 分)
AB ?
?8 2 ?
2
? 4?5? 4
5
4 3 ? 5
d?
10 ? 2
? 2?
2
? ? ?1?
?
2
10 ? 2 3
1 4 3 10 ? 2 2 10 ? 4 ?ABN 的面积最大值为 S ? ? ? ? 2 5 5 3
23. (本题 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分) 解: (1) 设: h?x ? T ? ? T ? h?x ? 则 x ?T ? T?x 对任意 x 恒成立
得3分
(2 分) (2 分)
? T 无解
? h ?x ? ? x 不是 T 倍周期函数
(2) 设: g?x ? T ? ? T ? g?x ? 则 ? ?
?1? ? 4?
x ?T
?1? ? T?? ? ? 4?
x
对任意 x 恒成立
(2 分)
?1? ? ? ?T ? 4?
下证唯一性:
T
T?
1 2
1
(2 分)
1 若T ? , 2 1 若T ? , 2
?1? ? 1 ?2 1 T?? ? ?? ? ? 2 ?4? ?4? ?1? ? 1 ?2 1 T?? ? ?? ? ? 2 ?4? ?4?
T 1
T
矛盾
矛盾
? T?
1 是唯一的 2
(2 分)
(3) f ?3? ? f ?1 ? 2? ? 2f ?1? ? 2
f ?5? ? f ?3 ? 2? ? 2f ?3? ? 2 2 f ?7? ? f ?5 ? 2? ? 2f ?5? ? 23
??
f ?2n ? 1? ? f ?2n - 3 ? 2? ? 2f ?2n - 3? ? 2 n-1 f ?1? ? f ?3? ? f ?5? ? ? ? f ?2n - 1? ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ?1 ? 2 n ? 1
(2 分)
同理: f ?2? ? f ?4? ? f ?6? ? ? ? f ?2n? ? ?4 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ?1 ? ?4 2 n ? 1 (2 分)
?
?
?
?
? S2n ? f ?1? ? f ?2? ? ? ? f ?2n ? ? ?3 2 n ? 1
?
?
(2 分)
同理: S2n ?1 ? f ?1? ? f ?2? ? ? ? f ?2n ? 1? ? ?2 n ? 3
Cn ?
S2 n 3 2n ? 1 ? n S2 n ?1 2 ?3
?
?
n ??
lim C n ? 3
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