上海市杨浦区2016届高三上学期期末“3+1”质量调研数学文试题

杨浦区 2015 学年度第一学期期末高三年级 3+1 质量调研 2016.1. 数学学科试卷（文科） 考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位 置上． 2．本试卷共有 23 道题，满分 150 分，考试时间 120 分钟． 一．填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分．
? 1 0? ?2 4 ? 1. 已知矩阵 A ? ? ?，B?? ? ，则 A ? B ? ? ?1 2 ? ? 1 ?3 ?

．

2. 已知全集 U=R，集合 A ? x ? 1 ? x ? 2 ，则集合 ? U A ? ___________________. 3. 已知函数 f ? x ? ? log3 ?

?

?

?4 ? ? 2 ? ，则方程 f ?1 ? x ? ? 4 的解 x = _____________. ?x ?

4. 某洗衣液广告需要用到一个直径为 4 米的球作为道具，该球表面用白布包裹，则至少需要 白布_________平方米. 5．无穷等比数列 ?an ? ( n ? N * )的首项 a1 ? 1 ，公比 q ?

1 ， 3

开始

S n =___________. 则前 n 项和 Sn 的极限 lim n ??
6. 已知虚数 z 满足 2z ? z ? 1 ? 6i ，则 z ? ___________. 7．执行如右图所示的流程图，则输出的 S 的值为 8． 1 ? 3 x ．

S=0

k=1 是

?

? 展开式中 x 的系数为_________________.
8

k>2016 否 S=S+ 1 k(k+1)

9．学校有两个食堂，现有 3 名学生前往就餐，则三个人在 同一个食堂就餐的概率是_________.

输出S

a5 标 准 差 为 2 ， 则 数 10 ． 若 数 a1 , a2 , a3 , a4 , 的

结束 k=k+1

3a1 ? 2 , a3 2 ?

2a, 3 3?

a2 , 3 a5的标准差为 ? 2, 3 2 4 ?

.

C

F

B E A

11．如图，在矩形 OABC 中，点 E、F 分别在线段 AB、BC 上， ??? ? ??? ? ??? ? 且满足 AB=3AE，BC=3CF，若 OB ? ? OE ? ? OF (? , ? ? R) ， 则 ? ? ? ? ________________.

O

2 ? ? x ? 4 x ? 3, x ≤ 0 12．已知 f ? x ? ? ? 2 ，当 x ? ?? 2, 2? 时不等式 f ? x ? a ? ≥ f ? 2a ? x ? 恒成立， ? ?? x ? 2 x ? 3, x ? 0

则实数 a 的最小值是_____

．

13．抛物线 C 的顶点为原点 O ，焦点 F 在 x 轴正半轴，过焦点且倾斜角为 线于点 A, B ，若 AB ? 8 ，则抛物线 C 的方程为_________________. 14. 已 知 f ? x ? 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 当 0 ? x ? 1 时 ， f

? 的直线 l 交抛物 4

? x? ?

2 x ，当 x ? 0 时，

f ? x ? 1? ? f ? x ? ? f ?1? ，若直线 y ? kx 与函数 y ? f ? x ? 的图象恰有 7 个不同的公共点，则
实数 k 的取值范围为_________________. 二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答 题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得 5 分，否则一律得零分. 15. 下列四个命题中，为真命题的是 （ ）. A. 若 a ? b ，则 ac 2 ? bc 2 C. 若 a ? b ，则 a 2 ? b 2 B. 若 a ? b ， c ? d 则 a ? c ? b ? d D. 若 a ? b ，则

16. 设 a, b 是两个单位向量,其夹角为 ? ,则“ ? ? ?

? ?

? 6

? ”是“ | a ? b |? 1 ”的 3

1 1 ? a b

（

）.

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 17．对于平面 ? 和两条直线 m, n , 下列命题中真命题是 A. 若 m ? ? , m ? n , 则 n‖? B. 若 m‖ ? , n‖? , 则 m‖ n C. 若 m, n 与 ? 所成的角相等, 则 m‖ n D. 若 m ? ? , m‖ n , 且 n 在平面 ? 外, 则 n‖? ? 18．下列函数中，既是偶函数，又在 ?0, ?? 上递增的函数的个数是 ① y ? tan x A. 1个 ② y ? cos?? x ? B. 2 个

(

)

（

）

?? ? ③ y ? sin? x ? ? 2? ?
D. 4 个

④ y ? cot

x 2

C. 3 个

三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤 . 19． （本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 6 分 ． 如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型，先用木料搭边框，再用其他材料填充。 已知金字塔的每一条棱和边都相等。 （1） 求证：直线 AC 垂直于直线 SD ； 若搭边框共使用木料 24 米， 则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔 S 内 部 填 满？

C

D

B

A

20． （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分 ． 某农场规划将果树种在正方形的场地内。为了保护果树不被风吹，决定在果树的周围种 松树。 在下图里，你可以看到规划种植果树的列数(n)，果树数量及松树数量的规律：

n=1

n=2

n=3

n=4

= 果树 = 松树
n = 5 时果树数量及松树数量分别为多少； （1） 按此规律， 并写出果树数量 a n ， 及松树数量 b n 关于 n 的表达式 （2）定义： f (n ? 1) ? f (n )

?n ? N ?为 f (n) 增加的速度；现农场想扩大种植面积，问：哪
*

种树增加的速度会更快？并说明理由

21． （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题 8 分，第 2 小题 6 分． 如图，在一条景观道的一端有一个半径为 50 米的圆形摩天轮 O，逆时针 15 分钟转一圈，从 A 处进入摩天轮的座舱， OA 垂直于地面 AM ，在距离 A 处 150 米处设置了一个望远镜 B . （1）同学甲打算独自乘坐摩天轮，但是其母亲不放心，于是约定在登上摩天轮座舱 5 分钟后， 在座舱内向其母亲挥手致意，而其母亲则在望远镜 B 中仔细观看。问望远镜 B 的仰角 ? 应调 整为多少度？（精确到 1 度） （2）在同学甲向其母亲挥手致意的同时，同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化

带 BD ，发现取景的视角 ? 恰为 45 ? ，求绿化带 BD 的长度（精确到 1 米）

C O ?

? M A D B

22． （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分 如图，曲线 ? 由两个椭圆 T1 ：

x2 y 2 y 2 x2 T 和椭圆 ： ? ? 1 a ? b ? 0 ? ? 1? b ? c ? 0 ? 组 ? ? 2 a 2 b2 b2 c 2

成，当 a, b, c 成等比数列时，称曲线 ? 为“猫眼曲线”. （1） 若猫眼曲线 ? 过点 M 0, ? 2 ，且 a, b, c 的公比为

?

?

2 ，求猫眼曲线 ? 的方程； 2

（2） 对于题 （1） 中的求猫眼曲线 ? ， 任作斜率为 k ? k ? 0? 且不过原点的直线与该曲线相交， 交椭圆 T1 所得弦的中点为 M ，交椭圆 T2 所得弦的中点为 N ，求证：

k OM 为与 k 无关的定值； k ON

（3） 若斜率为 2 的直线 l 为椭圆 T2 的切线，且交椭圆 T1 于点 A, B ， N 为椭圆 T1 上的任意 一点（点 N 与点 A, B 不重合） ，求 ?ABN 面积的最大值.

y

o

x

23． （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分. 已知函数 f ?x ? (x ? D) ，若存在常数 T（T>0） ，对任意 x ? D 都有 f ?x ? T ? ? T ? f ?x ? ，则 称函数 f ?x ? 为 T 倍周期函数 （1）判断 h ?x ? ? x 是否是 T 倍周期函数，并说明理由 （2）证明 g?x ? ? ? ? 是 T 倍周期函数，且 T 的值是唯一的 （3）若 f ?n ? (n ? N* ) 是 2 倍周期函数， f ?1? ? 1 ， f ?2? ? ?4 ， Sn 表示 f ?n ? 的前 n 项和，

?1? ?4?

x

Cn ?

S2n lim C n ，求 n ?? S2 n ?1

文科评分参考 填空题 1． ? ?

?3 4 ? ? ? 0 1 ? ?
7.

2．

? ??, ?1? ? ?2, ???
8． ?56 9．

3．1

4． 16?

5.

3 2

6． 5 12．4

2016 2017

1 4

10．6

11．

3 2

13． y 2 ? 4x

14． （ 2 2 ? 2 ， 2 6 ? 4 ）

二、选择题 15．C 16．A

17．D

18．A

三、解答题 19． （本题 12 分，第一小题 6 分，第二小题 6 分） 解： （1）如图，连接 AC , BD 交于点 O ，则 O 为线段 BD 中点， 在正方形 ABCD 中，对角线 AC ? BD 在 ?ASC 中，? SA ? SC ，? SO ? AC ? S O? B D ? ， O ? AC ? 平面 SBD （2 分） （2 分） （2 分） （2 分） （2 分）
S

? A C? S D
（2）边长为 3 米

C

D

? 2? 3 2 ? 棱锥的高 SO ? 1 ? ? ? 2 ? ?3 ? 2 ? ?
2

2

B

A

? V?

1 2 3 2 9 2 立方米 ?3 ? ? 3 2 2 9 2 立方米填充材料. 2

（2 分）

答：需要

20． （本题 14 分，第一小题 6 分，第二小题 8 分） （1）n = 5 时果树 25 棵，松树 40 棵

（2 分） （2 分） （2 分）

an ? n2

b n ? 8n
（2） a n ?1 ? a n ? ?n ? 1? ? n 2 ? 2n ? 1
2

（2 分） （2 分） （2 分） （2 分）

b n ?1 ? b n ? 8?n ? 1? ? 8n ? 8
当 n ? 3 时，2n+1 < 8 松树增加的速度快 当 n ? 4 时，2n+1 > 8 果树增加的速度快

21． （本题 14 分，第 1 小题 8 分，第 2 小题 6 分， ） （1）? 逆时针 15 分钟转一圈， ? 5 分钟转过 120? ， （2 分） 过点 C 作 CH ? AB 于点 H ， 则 CH ? 50 ? 50 ? sin ?120? ? 90?? ? 75 ， （2 分）
M

C O

? A D B

BH ? 1 5 0 ? 5?0 c?o s ?1 ?2 0?? ?9 0 ? 1 5 0

2 52 分） 3 （

? tan ? ?

CH 75 3 6? 3 6? 3 ，?? ? arctan ? ? ? ? 35? BH 150 ? 25 3 2 3 ? 1 11 11

（2 分）

答：望远镜的仰角 ? 设置为 35 ? （2）在 ?BCD 中， ? ? 35?, ? ? 45? ，??CDH ? 80? （2 分）

CH 75 ? sin 80? sin 80? BD CD ? 由正弦定理得： sin ? sin ? CD ? sin ? 75 ? sin 45? ? BD ? ? ? 94 sin ? sin 80? ? sin 35? ? CD ?
答：绿化带的长度为 94 米.

（2 分） （2 分）

22． （本题 16 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分） （1） b ?

2 ，? a ? 2, c ? 1，

（2 分）

x2 y 2 y2 ?T1 : ? ? 1 ， T2 : ? x 2 ? 1； 4 2 2

（2 分）

（2）设斜率为 k 的直线交椭圆 T1 于点 C ? x1, y1 ? , D ? x2 , y2 ? ，线段 CD 中点 M ? x0 , y0 ?

? x0 ?

x1 ? x 2 y ?y , y0 ? 1 2 2

2

? x12 y12 ? ?1 ? ? 4 ? x ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 2 由? 2 ，得 1 2 4 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? 2 ? 4
? k 存在且 k ? 0 ，? x1 ? x2 ，且 x 0 ? 0

（2 分）

?

y1 ? y2 y0 1 1 ? ? ? ，即 k ? k OM ? ? x1 ? x2 x0 2 2

（2 分）

同理， k ? k ON ? ?2

?

k OM 1 ? 得证 k ON 4
2x ? m

（2 分）

（3）设直线 l 的方程为 y ?

? y ? 2x ? m ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ，? b ? 2c x ? 2 2mc x ? m c ? b c ? 0 ?y x2 ? 2 ? 2 ?1 c ?b

?

?

? ? ? 0 ，? m2 ? b2 ? 2c 2
l1 : y ? 2 x ? b 2 ? 2c 2
（2 分）

? y ? 2x ? m ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ， ? b ? 2a x ? 2 2ma x ? m a ? b a ? 0 ?x y2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a

?

?

? ? ? 0 ，? m2 ? b2 ? 2a 2
l2 : y ? 2 x ? b 2 ? 2a 2
两平行线间距离： d ? （1 分）

b2 ? 2c2 ? b2 ? 2a 2 3

（1 分）

? AB ?

2 3ab 2a 2 ? 2c 2 b2 ? 2a 2
ab 2a 2 ? 2c 2

（1 分）

? ?ABN 的面积最大值为 S ? 1 AB ? d ? 2
注：若用第一小题结论，算得：

?

b2 ? 2c 2 ? b2 ? 2a 2 b ? 2a
2 2

?

（1 分）

AB ?

?8 2 ?

2

? 4?5? 4

5

4 3 ? 5

d?

10 ? 2

? 2?

2

? ? ?1?

?
2

10 ? 2 3

1 4 3 10 ? 2 2 10 ? 4 ?ABN 的面积最大值为 S ? ? ? ? 2 5 5 3
23． （本题 18 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分） 解： （1） 设： h?x ? T ? ? T ? h?x ? 则 x ?T ? T?x 对任意 x 恒成立

得3分

（2 分） （2 分）

? T 无解

? h ?x ? ? x 不是 T 倍周期函数

（2） 设： g?x ? T ? ? T ? g?x ? 则 ? ?

?1? ? 4?

x ?T

?1? ? T?? ? ? 4?

x

对任意 x 恒成立

（2 分）

?1? ? ? ?T ? 4?
下证唯一性：

T

T?

1 2
1

（2 分）

1 若T ? ， 2 1 若T ? ， 2

?1? ? 1 ?2 1 T?? ? ?? ? ? 2 ?4? ?4? ?1? ? 1 ?2 1 T?? ? ?? ? ? 2 ?4? ?4?
T 1

T

矛盾

矛盾

? T?

1 是唯一的 2

（2 分）

（3） f ?3? ? f ?1 ? 2? ? 2f ?1? ? 2

f ?5? ? f ?3 ? 2? ? 2f ?3? ? 2 2 f ?7? ? f ?5 ? 2? ? 2f ?5? ? 23
??

f ?2n ? 1? ? f ?2n - 3 ? 2? ? 2f ?2n - 3? ? 2 n-1 f ?1? ? f ?3? ? f ?5? ? ? ? f ?2n - 1? ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ?1 ? 2 n ? 1

（2 分）

同理： f ?2? ? f ?4? ? f ?6? ? ? ? f ?2n? ? ?4 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ?1 ? ?4 2 n ? 1 （2 分）

?

?

?

?

? S2n ? f ?1? ? f ?2? ? ? ? f ?2n ? ? ?3 2 n ? 1

?

?
（2 分）

同理： S2n ?1 ? f ?1? ? f ?2? ? ? ? f ?2n ? 1? ? ?2 n ? 3

Cn ?

S2 n 3 2n ? 1 ? n S2 n ?1 2 ?3

?

?

n ??

lim C n ? 3

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