广东省揭阳一中2012-2013学年高二下学期第一次阶段考数学理试题_图文

2012—2013 学年度揭阳一中高二级第二学期阶段考试(一)

数学科试卷(理科)

命题人:谢晓燕

一.选择题(每小题 5 分,共 40 分)

?

? 1.定积分

2 ??

sin xdx 的值为





2

A. 2

B. ? 2

C.0

D. ?2

2.设函数 f (x) 在 R 上可导,其导函数 f ?(x) ,且函数 f (x) 在 x ? ?2 处取得极小值,则函数

y ? xf ?(x) 的图象可能是( )

3. 曲线 y ? x3 ? x ? 2 在点 P0 处的切线平行于直线 y ? 4x ,则点 P0 的坐标是( )

A.(0,1)

B.(1,0)

C.(-1,-4)或(1,0)

4.函数 y ? 1 x2 ? ln x 的单调递减区间为( ) 2

(A)( ? 1,1]

(B)(0,1] (C.)[1,+∞)

D.(-1,-4) (D)(0,+∞)

5. 以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0 的圆心的抛物线的方

程是( )

A. y ? 3x 2 或 y ? ?3x 2

B. y ? 3x 2

C. y 2 ? ?9x 或 y ? 3x 2

D. y ? ?3x 2 或 y 2 ? 9x

6.已知向量

? a

?

?1,1,0?,

? b

?

??

1,0,2?,且

? ka

?

? b



? 2a

?

? b

互相垂直,则

k

的值是(



A. 1

B. 1 5

C. 3 5

D. 7 5

7.观察式子:1 ?

1 22

?

3 2

,1?

1 22

?

1 32

?

5 3

,1?

1 22

?

1 32

?

1 42

?

7 4

,…,则可归纳出式

子为( )

A.1 ?

1 22

?

1 32

???

1 n2

?

1 2n ? 1

C.

1?

1 22

?

1 32

?

?

?

1 n2

?

2n ? 1 n

B.1 ?

1 22

?

1 32

???

1 n2

?

1 2n ? 1

D.

1?

1 22

?

1 32

?

?

?

1 n2

?

2n 2n ? 1

8.设 a ? 0 , b ? 0 , e 是自然对数的底数( )

A. 若 ea ? 2a ? eb ? 3b ,则 a ? b

B. 若 ea ? 2a ? eb ? 3b ,则 a ? b

C. 若 ea ? 2a ? eb ? 3b ,则 a ? b

D. 若 ea ? 2a ? eb ? 3b ,则 a ? b

二.填空题(每小题 5 分,共 30 分)
9.函数 f (x) ? sin x 的导函数为_________. x

10. 由曲线 y ? x 与直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积______.
11. 设 P 是△ABC 内一点,△ABC 三边上的高分别为 hA、hB、hC,P 到三边的距离依次为 la、lb、 lc,则有lhaA+lhbB+lhcC=1;类比到空间,设 P 是四面体 ABCD 内一点,四顶点到对面的距离分别 是 hA、hB、hC、hD,P 到这四个面的距离依次是 la、lb、lc、ld,则有________.

12.已知函数 f ?x? ? f ??? ? ?? cos x ? sin x ,则 f ?? ? ?? 的值为________.

?6?

?6?

13.设双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1( a

?

0,b

?

0 )的渐近线与抛物线

y

?

x2

? 1 相切,则该双曲线的

离心率等于_________.
14.已知二次函数 f ?x? ? ax2 ? bx ? c 的导数为 f ??x? ,且 f ??0? ? 0 ,对于任意实数 x 都有

f

?x? ?

0

,则

f ?1? f ??0?

的最小值为_______.

三.解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分)

15.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x) ? x3 ? 3x ,过点 P?2,?6? 作曲线 y ? f (x) 的切线,

求切线方程.

16.(本小题满分 12 分)若 f (x) ? ? 1 x2 ? b ln(x ? 2)在(-1,+?)上是减函数,求 b 的取值范围. 2
17. (本小题满分 14 分)某种商品每件进价 12 元,售价 20 元,每天可卖出 48 件。若售价降低,
销售量可以增加,且售价降低 x(0 ? x ? 8) 元时,每天多卖出的件数与 x2 ? x 成正比。已知商
品售价降低 3 元时,一天可多卖出 36 件。
(1)试将该商品一天的销售利润表示成 x 的函数;
(2)该商品售价为多少元时一天的销售利润最大?
18.(本小题满分 14 分)已知函数 f (x) ? x3 ? ax 2 ? bx 在 x ? 1 处有极值 ?2 . (1)求常数 a 、 b ;
(2)求曲线 y ? f ? x? 与 x 轴所包围的面积。
19.(本小题满分 14 分)已知函数 f ? x? ? x2 ? ax ? ln x , a ? R (1)令 g ? x? ? f ? x? ? x2 ,是否存在实数 a ,当 x ? (0, e]( e 是自然常数)时,函数 g(x) 的
最小值是 3 ,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由;

(2)求证:当 x ? (0, e]时, e2 x ? 5 ? ln x ? ln x

2

x

20 .( 本 小 题 满 分 14 分 ) 设 函 数 f ? x? ? x3 ? 3bx2 ? 3cx 在 两 个 极 值 点 x1、x2 , 且

x1 ?[?1,0], x2 ?[1, 2].(1)求 b、c 满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些

条件的点 ?b, c? 的区域;

(2)证明:

?10 ?

f

?

x2

?

?

?

1 2


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