【2019年整理】11-1常数项级数的概念与性质_图文

第一节 常数项级数的概念和性质
? ? ? ? ? 一、问题的提出 二、级数的概念 三、级数的性质 四、收敛的必要条件 五、小结 练习题

一、级数的概念
1. 级数的定义:
?

一般项 (常数项)无穷级数

un ? u1 ? u2 ? u3 ? ? ? un ? ? ? n?1
级数的部分和

sn ? u1 ? u2 ? ? ? un ? ? ui
部分和数列
i ?1

n

s1 ? u1 , s2 ? u1 ? u2 , s3 ? u1 ? u2 ? u3 ,?, sn ? u1 ? u2 ? ? ? un ,?

2. 级数的收敛与发散:
当 n 无限增大时, 如果级数 ? un 的部分和
n ?1 ?

数列 sn 有极限 s , 即 lim sn ? s 则称无穷级数
n? ?

un 收敛, 这时极限 ? n ?1

?

s 叫做级数 ? un 的和. 并
n ?1
?

?

写成 s ? u1 ? u2 ? ? ? un ? ?

如果 sn 没有极限, 则称无穷级数

?u
n ?1

n 发散 .

即 常数项级数收敛(发散)? lim sn 存在(不存在)
n? ?

余项 rn ? s ? sn ? un?1 ? un? 2 ? ? ?


sn ? s

误差为 rn

( lim rn ? 0)
n? ?

un? i ? i ?1

?

例 1 讨论等比级数(几何级数)
n 2 n aq ? a ? aq ? aq ? ? ? aq ? ? ( a ? 0) ? n? 0 ?

的收敛性.

解 如果q ? 1时

sn ? a ? aq ? aq 2 ? ? ? aq n?1
a ? aq a aq n ? ? ? , 1? q 1? q 1? q
n

a sn ? 当q ? 1时, ? lim q ? 0 ? lim n? ? 1 ? q 收敛 n? ?
n n ? lim q ? ? ? lim sn ? ? 当q ? 1时, n? ? n? ?

发散

如果 q ? 1时
当q ? 1时,
sn ? na ? ?

发散

当q ? ?1时, 级数变为a ? a ? a ? a ? ?
? lim sn不存在
n? ?

发散

?当q ? 1时, 收敛 综上 ? aq ? n? 0 ?当q ? 1时, 发散
? n

例2


判别无穷级数 ? 22 n 31? n 的收敛性.
n ?1

?

? un ? 22 n 31? n

? 4? ? 4?? ? ? 3?

n ?1

,

4 已知级数为等比级数,公比 q ? , 3

?| q |? 1,

? 原级数发散.

例3

判别无穷级数

1 1 1 ? ??? ? ? 的收敛性. 1? 3 3 ? 5 ( 2n ? 1) ? ( 2n ? 1)
1 1 1 1 ? ( ? ), 解 ? un ? ( 2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 ? sn ? ? ? ?? 1? 3 3 ? 5 ( 2n ? 1) ? ( 2n ? 1)
1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 3 2 3 5 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 ? (1 ? ), 2 2n ? 1
1 1 ? lim sn ? lim (1 ? ) n? ? n? ? 2 2n ? 1
1 ? , 2

1 ? 级数收敛, 和为 . 2

三、基本性质
性质 1 如果级数

?u
n ?1

?

n 收敛 , 则

kun 亦收敛. ? n ?1

?

结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.
性质 2 设两收敛级数 s ? 则级数
? ?

?u
n ?1

n,

? ? ? vn ,
n ?1

? (u
n ?1

?

n

? v n ) 收敛, 其和为 s ? ? .

结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.

例5

5 1? ? ? n ? 的和. 求级数 ? ? 2 ? n?1 ? n( n ? 1)
? 5 1? ? ? 5 1 ? n? ?? ?? n ? ? 2 ? n?1 n( n ? 1) n?1 2 n?1 ? n( n ? 1) ? 5 1 ? ?1 ?? ? 5? ? ? ? n ? 1? n?1 n( n ? 1) n ?1 ? n ?

?

?



1 ? 1 ?1 令 g n ? 5? ? ? ), ? ? 5(1 ? k ? 1? n?1 k ?1 ? k

n

1 ? lim gn ? 5 lim (1 ? ) ? 5, n? ? n? ? n?1
1 1 1 ? ? n是等比级数, 公比q ? ? 1, 首项是 , 2 2 n ?1 2
1 ? 1 ? ? n ? lim hn ? 2 ? 1, n? ? 1 n ?1 2 1? 2
?

5 1? ? 故? ? ? n ? ? 5 ? 1 ? 6. 2 ? n?1 ? n( n ? 1)

?

性质 3

若级数

un 收敛, 则 ? un 也收敛 ? n ?1 n? k ?1

?

?

( k ? 1). 且其逆亦真. (即级数的前面加上
(或去掉)有限项,级数的敛散性不变)
证明

uk ?1 ? uk ? 2 ? ? ? uk ? n ? ? ? n ? uk ?1 ? uk ? 2 ? ? ? uk ? n ? sn ? k ? sk , 则 lim ? n ? lim sn? k ? lim sk ? s ? sk . n? ? n? ? n? ?

性质 类似地可以证明在级数前面加上有限项不 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 影响级数的敛散性 . 于原来的和 .

注意
收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.

例如 (1 ? 1) ? (1 ? 1) ? ?

收敛 发散

1?1?1?1??

推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原来级 数也发散.

四、收敛的必要条件
级数收敛的必要条件:

当n无限增大时, 它的一般项 un趋于零, 即
级数收敛 ? lim un ? 0.
证明
? s ? ? un
n ?1 ?

n? ?

则 un ? sn ? sn?1 ,
n? ? n? ?

? lim un ? lim sn ? lim sn?1 ? s ? s ? 0.
n? ?

注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;

1 2 3 n n ?1 例如 ? ? ? ? ? ( ?1) ? ? 发散 2 3 4 n?1
2.必要条件不充分.

1 1 1 例如调和级数 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 3 n
有 lim un ? 0, 但级数是否收敛?
n? ?

讨论

1 1 1 n 1 ? ? , ? s2 n ? sn ? ? ? ?? n?1 n? 2 2n 2n 2

假设调和级数收敛, 其和为s.
于是 lim( s2 n ? sn ) ? s ? s ? 0,
n? ?

1 便有 0 ? (n ? ?) 2

这是不可能的.

? 级数发散 .

五、小结
常数项级数的基本概念
基本审敛法
1.由定义,若sn ? s ,则级数收敛;

2.当lim un ? 0 ,则级数发散;
n? ?

3. 按基本性质.

练习题
一、填空题 : 5 1 ? 3 ? ( 2n ? 1) 1、若 a n ? , 则 ? a n =____________ ; 2 ? 4 ? 2n n ?1 5 n! 2、若 a n ? n , 则 ? a n =______________________ ; n n ?1 x x x x 3、若级数为 ? ? ? ?则 a n ? _______ ; 2 2?4 2?4?6 a2 a3 a4 a5 4、若级数为 ? ? ? ? ?则 a n ? ________; 3 5 7 9 1 1 1 5、若级数为 1 ? ? 3 ? ? 5 ? ? ? 则当 n ? _____ 2 4 6 时 a n ? _____ ;当 n ? ______ 时 a n ? ________ ; 6、等比级数? aq n ,当_____时收敛;当____时发散 .
n? 0 ?

三、由定义判别级数 1 1 1 1 ? ? ??? ? ?的收敛性. 1? 3 3? 5 5? 7 ( 2n ? 1)(2n ? 1) 四、判别下列级数的收敛性 : 1 1 1 1 ? ?; 1、 ? ? ? ? ? 3 6 9 3n 1 1 1 1 1 1 1 1 2、 ( ? ) ? ( 2 ? 2 ) ? ( 3 ? 3 ) ? ? ? ( n ? n ) ? ?; 2 3 2 3 2 3 2 3 1 1 1 1 1 1 ??? n ? ?? . 3、 ? ? ? 2 10 4 20 10n 2

练习题答案
1 1? 2 1? 3 ? 5 1? 3 ? 5 ? 7 1? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? ? ? 一、 1 、 ? ; 2 2 ? 4 2 ? 4 ? 6 2 ? 4 ? 6 ? 8 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? 10 1! 2! 3! 4! 5! 2、 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ; 1 2 3 4 5
n?1 a x 3、 ; 4 、 ( ?1) n ?1 ; 2n ? 1 2 ? 4 ? 6 ? ? ? ( 2n ) 1 2 k ? 1 . 2 k ? 1 , 2 k , 5、 ; 6 、 q ? 1, q ? 1 . 2k 三、收敛 . 四、 1 、发散; 2 、收敛; n 1 1 ) ]. 3 、发散、 [ s2 n ? ? ( k ? 10k k ?1 2
n 2


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