2019最新人教A版高中数学必修五课件2-4-2等比数列的性质56张优质课件_图文

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第二章

数列

第二章
2.4 等比数列

第二章
第 2 课时 等比数列的性质

课程目标解读

在理解掌握等比数列定义和通项公式的基础上,探索发现 等比数列的性质,并能够运用这些性质解决一些实际问题.

课前自主预习

请类比等差数列的性质探索给出等比数列的相应的性质. 等比数列{an}的一些性质(公比为 q): (1)对任意正整数 n,都有aan+n1= q . (2)对任意正整数 n、m,都有aamn= qn-m . (3)对任意正整数 n(n>1),都有 an-1·an+1= a2n .

(4)对任意正整数 p、q、r、s,若 p+q=r+s,则apaq=ar·as 特别地,若 m+n=2p,则 am·an= (ap)2 .
(5)对任意常数 k(k≠0),{kan}仍成等比数列,公比为 q . 1q、另qk外、{|qa1|n},. {akn},{|an|},也都是等比数列,公比依次为
(6){an},{bn}都是等比数列,则{anbn}与{abnn}都是等比数列, 且公比分别为原公比的 积与商.

(7)等比数列{an}中,等间隔(即序号成等差数列)的项仍成 等比数列;等间隔的 k 项之和(或积)仍成等比数列.
如:a1,a3,a5,……a2n-1……成等比数列. a1,a4,a7……a3n-2……成等比数列. a3,a7,a11……a4n-1……成等比数列. a1+a2,a3+a4,a5+a6……a2n-1+a2n……成等比数列等等.

(8){an}是有穷等比数列,则与首末两项等距离的两项积相 等,且等于首末两项之积.即:a1an=a2 an-1 =a3 an-2 =…= ak an-k+1 .
(9)若数列{an}是各项均为正数、公比为 q 的等比数列,则 数列{lg an}是公差为 lgq 的等差数列.

重点难点展示

重点:等比数列的性质. 难点:灵活运用等比数列的性质解决一些实际问题.

学习要点点拨

1.我们已学过等差数列的性质,可类比等差数列的性质 分析得出等比数列的性质,应用性质时关键抓住下标成等差的 项之间的关系来解决.
2.既是等差数列,又是等比数列的数列是非零常数列. 3.解决等比数列问题时,要牢记 a1≠0,q≠0.

思路方法技巧

命题方向 等比数列的性质 [例 1] 在等比数列{an}中,已知 a4a7=-512,a3+a8= 124,且公比为整数,则 a10=__________.
[答案] 512

[解析] 利用“若 m+n=k+l,则 aman=akal”解决. 由 a4a7=-512,知 a3a8=-512. 解方程组?????aa33a+8=a8-=511224., 得?????aa38==-1248,; 或?????aa38==1-284,.

5 ∵q 为整数,∴q=

aa83=-2,

∴a10=a3q7=-4×(-2)7=512.

[点评] 本例题主要考查等比数列的性质及解方程组的能 力,当然若将条件化为 a1、q 的形式,亦可求解,只不过麻烦 一些罢了,因此,在解题时,要注意观察题目特点,寻找所给 条件中各项的下标规律,灵活运用性质.

(1)在等比数列{an}中,已知 a7a12=5,则 a8a9a10a11= __________.
(2){an}为等比数列,且 a1a9=64,a3+a7=20,则 a11= ________.
[答案] (1)25 (2)1 或 64

[解析] (1)解法 1:∵a7a12=a8a11=a9a10=5, ∴a8a9a10a11=52=25. 解法 2:由已知得 a1q6·a1q11=a21q17=5, ∴a8a9a10a11=a1q7·a1q8·a1q9·a1q10=a41·q34=(a21·q17)2=25. (2)∵a1a9=a3a7=64, ∴a3,a7 是方程 x2-20x+64=0 的两根. 解得?????aa37==41,6; 或?????aa37==146. ,

①若 a3=4,a7=16,则由 a7=a3q4 得,q4=4, ∴a11=a7q4=16×4=64. ②若 a7=4,a3=16,则由 a7=a3q4 得,q4=14, ∴a11=a7q4=4×14=1. 故 a11=64,或 a11=1.

命题方向 等差、等比数列的综合问题及方程思想
[例 2] 已知四个数前三个成等差,后三个成等比,中间 两数之积为 16,首尾两个数之积为-128,求这四个数.
[分析] 求四个数,给出四个条件,若列四个方程组成 方程组虽可解,但较麻烦,因此可依据条件减少未知数的个 数.设未知数时,可以根据前三个数成等差来设,也可以依 据后三个数成等比来设,还可以依据中间(或首尾)两数之积 来设,关键是要把握住未知量要尽量少,下一步运算要简捷.

[解析] 设所求四个数为2qa-aq,aq,aq,aq3.

则由已知??????aq???·?aq?=16,



?????2qa-aq???·?aq3?=-128.



由①得 a2=16,∴a=4 或 a=-4.

由②得 2a2q2-a2q4=-128.

将 a2=16 代入整理 q4-2q2-8=0. 解得 q2=4,∴q=2 或 q=-2. 因此所求的四个数为-4,2,8,32 或 4,-2,-8,-32.

[点评] (1)根据四个数中前 3 个成等差、后三个成等比列 方程时,可以据后三个成等比用 a、q 表示四个数,也可以据 前三个成等差,用 a、d 表示四个数,由于中间两数之积为 16, 将中间两个数设为aq,aq 这样既可使未知量减少,同时解方程 也较为方便.

(2)注意到中间两数的特殊地位,可设第三个数为 x,则第 二个数为1x6,则第一个数为3x2-x,最后一个数为1x63 ,再利用 首尾两数之和为-128 可列出关于 x 的方程1x63 ·???3x2-x???=-128, 解之得 x=±8,则更简捷.

三个互不相等的数成等差数列,如果适当排列三个数, 又可成为等比数列,这三个数的和为 6,则这三个数为 ________.
[答案] -4,2,8

[分析] 三个数适当排列,不同的排列方法有 6 种,但这 里不必分成 6 种,因为若以三个数中哪一个数为等比中项分类, 则只有三种情况,因此对于分类讨论问题,恰当的分类是解决 问题的关键.

[解析] 由已知,可设这三个数为 a-d,a,a+d,则 a -d+a+a+d=6,∴a=2,
这三个数可表示为 2-d,2,2+d, ①若 2-d 为等比中项,则有(2-d)2=2(2+d),解之得 d =6,或 d=0(舍去).此时三个数为-4,2,8.

②若 2+d 是等比中项,则有(2+d)2=2(2-d),解之得 d =-6,或 d=0(舍去).此时三个数为 8,2,-4.
③若 2 为等比中项,则 22=(2+d)·(2-d),∴d=0(舍去). 综上可知此三数为-4,2,8.

探索延拓创新

命题方向 等比数列的综合应用

[ 例 3]

设 数 列 {an} 的 首 项

a1



a≠

1 4





an + 1 =

??12an

?n为偶数?

???an+14 ?n为奇数? .

记 bn=a2n-1-14,n=1,2,3,…….

(1)求 a2、a3; (2)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论.

[解析] (1)a2=a1+14=a+14,a3=12a2=12a+18. (2)∵a4=a3+14=12a+38,所以 a5=12a4=14a+136, 所以 b1=a1-14=a-14,b2=a3-14=12(a-14),b3=a5-14=14 (a-14). 猜想:{bn}是公比为12的等比数列.

证明如下:



bn+1



a2n+1-14=12a2n

-14



12(a2n-1+14)-14



12(a2n-1-

1 4)

=12bn (n∈N*),

∴{bn}是首项为 a-14,公比为12的等比数列.

在公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中,已知 a1 =1,且 a1=b1,a2=b2,a8=b3.
(1)求数列{an}的公差 d 和数列{bn}的公比 q; (2)是否存在常数 a,b 使得对一切正整数 n,都有 an=logabn +b 成立?若存在,求出 a 和 b;若不存在,说明理由.

[解析] (1)由已知 a1=b1=1,a2=b2,a8=b3,得

?? 1+d=q, ???1+7d=q2,

解得?????qd= =65, ,

或????? qd= =10, .

(舍去)

(2)假设存在 a,b 使得 an=logabn+b 成立, 即有 1+5(n-1)=loga6n-1+b. 整理,得(5-loga6)n-(4+b-loga6)=0.

∵an=logabn+b 对一切正整数 n 恒成立.

∴?????54- +lbo-gal6o=ga06, =0, ∴a=5 6,b=1.

合作探究 已知数列{an}为等差数列且公差 d≠0,{an}的部分项组成 等比数列{bn},其中 bn=akn,若 k1=1,k2=5,k3=17,求 kn. [分析] 由条件知,等比数列前三项为 b1=a1,b2=a5,b3 =a17,由此可求出{bn}的通项公式,再求 bn=akn 及{an}的通项 公式可解出 kn.

[解析] ∵{bn}是等比数列,∴b22=b1·b3, 又 b1=a1,b2=a5,b3=a17, ∴a25=a1·a17,∵an=a1+(n-1)d, ∴(a1+4d)2=a1(a1+16d), ∵d≠0,∴a1=2d,∴an=(n+1)d, ∴b1=2d,b2=6d,b3=18d, ∴公比 q=bb21=3,∴bn=b1qn-1=2d·3n-1, ∵bn=akn,∴2d·3n-1=(kn+1)d, ∴kn=2×3n-1-1.

名师辨误作答

[例 4] 已知数列{an}是各项均为正数的等差数列,且 lga1, lga2,lga4 成等差数列,又 bn=a12n,n=1,2,3,…,求证数列{bn} 为等比数列.

[错解] 由条件知,2lga2=lga1+lga4, ∴a22=a1·a4, 设等差数列的公差为 d, 则(a1+d)2=a1(a1+3d),∴d2=a1d, ∴d=a1,∴a2n=a1+(2n-1)d=2nd, ∴bn=a12n=21nd,

1 ∴bbn+n 1=2n+11d=12,
2nd
∴数列{bn}是等比数列.

[辨析] ①在解方程变形过程中,不可在方程两边同时约 去含未知量的因式,错解中,由 d2=a1d 约去 d 得出 d=a1 是错 误的,②在判定{bn}是等比数列,做除法bbn+n 1时,应先说明 bn≠0.

[正解] ∵lga1,lga2,lga4 成等差数列, ∴2lga2=lga1+lga4=lg(a1·a4),∴a22=a1·a4. 设等差数列{an}的公差为 d,则(a1+d)2=a1(a1+3d), ∴d2=a1·d,∴d(a1-d)=0, ∴d=0 或 d=a1, ①当 d=0 时,{an}为常数列,{bn}也为常数列,此时数列 {bn}是首项为正数,公比为 1 的等比数列.

②当 d=a1 时,a2n=a1+(2n-1)d=2nd, ∵a1>0,∴d>0, ∴bn=a12n=1d·21n,显然 bn≠0.
11 ∴bbn+n 1=d1d·2·2n1+n1=12(n≥1), 此时数列{bn}是首项为 b1=21d,公比为12的等比数列. 综上可知,数列{bn}是等比数列.

课堂巩固训练

一、选择题

1.在等比数列{an}中,a3·a4·a5=3,a6·a7·a8=24,则 a9·a10·a11 的值等于( )

A.48

B.72

C.144

D.192

[答案] D

[解析] ∵{an}为等比数列,令 bn=anan+1an+2,则{bn}为 等比数列,由条件知,b3=a3a4a5=3,b6=a6a7a8=24,∴公比

3 q=

bb63= 3

234=2,∴a9a10a11=b9=b3q6=3×26=192,故选

D.

2.公差不为 0 的等差数列第 2,3,6 项构成等比数列,则公

比为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

[答案] C

[解析] 由题设等差数列{an}中,a23=a2·a6, ∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d), ∵d≠0,∴d=-2a1, ∴a1≠0.故公比 q=aa23=aa11++2dd=--3aa11=3.

二、填空题 3.等比数列{an}中,a1a9=256,a4+a6=40,则公比 q 的 值为__________.
[答案] 2,-2,12或-12

[解析] ∵a4a6=a1a9=256,a4+a6=40, ∴a4 与 a6 是方程 x2-40x+256=0 的两根, ∴?????aa46==382 或?????aa46==832 , ∵a6=a4q2,∴q2=4 或14, ∴q=±2,或±12.

4.在等比数列{an}中,a3=3,a7=6,则 a11=________.
[答案] 12 [解析] ∵a7=a3q4,∴q4=aa73=2, ∴a11=a7·q4=6×2=12.

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