第四课时 数列的综合运用

数列专项 第四课时 【知识点梳理】
1. 数列与函数、方程、 不等式等知识的交汇 2.从不同的角度看数列,灵活处理数列的综合问题

数列的综合运用

【例题精讲】
例 1.已知正项数列?an ? 对任意p, q ? N ? , 都有ap?q ? ap ? aq , 若a2 ? 4, 则a9 ?

例 2. 设等差数列?an ?的前n项和为Sn , 若 1 ? a5 ? 4,2 ? a6 ? 3, 则S6的取值范围

例 3. 已知?an ? 是公差为d的等差数列,它的前n项和为Sn , S4 ? 2S2 ? 4, bn ?

1 ? an an

? I ? 求公差d的值
5 (?? ) 若a1 =- ,求数列? b n ?中的最大项和最小项的值 2

例4.数列?an ?的首项为1,前n项和是Sn,存在常数A,B使an ? Sn =An+B对任意正整数 n都成立 (I)若A=0,求证:数列?an ? 是等比数列 ( II )设数列?an ? 是等差数列,若p<q(p,q ? N ? ),且 1 1 1 + = ,求p,q的值 SP Sq S11

【课堂训练】 1.已知等差数列?an ?的公差d ? 0,且a1,a3 ,a9成等比数列,则

a1 +a3 +a9 的值是 a2 +a4 +a10

2. 在各项均为正数的等比数列?an ?中,若a5a6 ? 9, 则log3 a1 +log3 a2 + ??? +log3 a10 =
1

3. 在数列?an ?中,a1 =2,2an?1 =2an +1,则an = 4. 设等比数列?an ?的公比是q,前n项和为Sn ,若Sn ?1,Sn ,Sn?2成等差数列,则q的值为 5. 已知数列?an ? 是递增数列,且对任意n ? N?都有an ? n2 +?n恒成立,则实数?的取值范围是 6. 编辑一个运算程序: 1?1=2,m?n ? k , m?(n ?1) ? k ? 3,(m, n, k ? N ? ), 则 1? 2013的输出结果为

?a x ?5 , ( x ? 6) ? 7.已知函数f ( x)= ? , 数列?an ? 满足an =f (n)(n ? N ? ), 且数列?an ? 是单调递增数列, a ?(4 ? ) x ? 4, ( x ? 6) ? 2
则实数 a 的取值范围是 8. 设1=a1 ? a2 ? ??? ? a7 , 其中a1 , a3 , a5 , a7成公比为q的等比数列,a2 , a4 , a6成公差为 则 1 的等差数列, q 的最小值为 9.已知正项等不数列?an ? 满足:a7 =a6 +2a5 , 若存在两项am , an 使得 am an ? 4a1 , 求

1 4 ? 的最小值 m n

10.已知数列?an ? 和?bn ?的通项公式为的an =3n+6,b n =2n+7(n ? N ? ), ( I )写出c1 , c2 , c3,c4

将集合 ? x / x ? an , n ? N ? ? ? ? x / x ? bn , n ? N ? ?中的元素从小到大依次排列,构成数列c1 , c2 , c3 , ???cn ??? ( II )求证:在数列?c n ?中,但不在数列?bn ?中的项恰为a2 , a4 ??? a2 n , ???

2

11.设 ?an ?的首项为a,公差为d的等差数列(d ? 0),Sn 是其前n项和,记bn = n ? N ? , 其中c为实数 ( I )若c ? 0, 且b1 , b2 , b4成等比数列,证明:Snk ? n 2 S k (k , n ? N ? ) ( II )若 ?bn ? 是等差数列,证明:c=0

nS n , n2 ? c

3


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