用数学软件Maple计算定积分(例题与习题)

用数学软件 Maple 计算定积分(例题与习题) 2012/6/15 例 题
1. a:=n->n*sum(1/(n^2+k^2),k=1..n); Limit(a(n),n=infinity)=limit(a(n),n=infinity);
n

? 1 a := n ??? n ? ? ? 2 ? k ??? 1 n ??? k 2 ?

? ? ? ? ?

lim
n ??? ?

1 1 1 ? 1 ? I ? ( n ??? 1 ??? n I ) I ? ( n ??? 1 ??? n I ) I ? ( 1 ??? n I ) I ? ( 1 ??? n I ) ? ? ? 2 ? 2 2 2 ? ??? n ?? ??? ??? ??? ? ? n n n n ? ? ? 4

2. limit(integrate(arctan(x)^2/x,x=n..n+1),n=infinity);

3 limit(integrate(x^n/(1+x),x=0..1),n=infinity);

f[n_]:=Integrate[x^n/(1+x),{x,0,1}]; Limit[f[n],n?Infinity]

5. f:=x->sqrt(1-sin(x)): a:=0:b:=Pi: Integrate(f(x),x=a..b)=integrate(f(x),x=a..b);

1

6. f:=n->integrate(tan(x)^n,x=0..Pi/4); f(n)+f(n-2);

f:=n->integrate(tan(x)^n,x=0..Pi/4); f(4)+f(2); f(5)+f(3); f(10)+f(8); f(9)+f(7);

8 F:=(x,y)->integrate(exp(t^2),t=0..x)+integrate(cos(t^2),t=0..y)+sin(x+y); Fx:=diff(F(x,y),x); Fy:=diff(F(x,y),y); DyDx:=-Fx/Fy;

2

9 x:=t->2*t^2; y:=t->int(exp(u)/u,u=1..1+2*ln(t)); t0:=2: Dx:=D(x)(t0): Dy:=D(y)(t0): Dxx:=(D@@2)(x)(t0): Dyy:=(D@@2)(y)(t0): Yijie=Dy/Dx: simplify(%); Erjie=(Dx*Dyy-Dxx*Dy)/Dx^3: simplify(%);

x[t_]:=2*t^2; y[t_]:=Integrate[Exp[u]/u,{u,1,1+2*Log[t]}]; Y[t_]=y'[t]/x'[t]; Er[t_]=Y'[t]/x'[t]; Y[2];

3

Simplify[%] Er[2]; Simplify[%]

11 f:=x->(sin(x)-cos(x))/(1+sin(x)*cos(x)): a:=0:b:=Pi/2: Integrate(f(x),x=a..b)=integrate(f(x),x=a..b);

16. f:=x->integrate(exp(-t^2),t=0..x^2); plot(f(x),x=-2..3,thickness=2);

f:=x->integrate(exp(-t^2),t=0..x^2); diff(f(x),x);

4

solve(diff(f(x),x),x); diff(f(x),x$2); solve(diff(f(x),x$2),x);

17(1) f:=x->sin(x)/x: F:=Integrate(f(t),t=1..x^2): Diff(F,x)=diff(F,x);

with(plots): f:=x->int(sin(t)/t,t=1..x^2); quxian:=plot(f(x),x=-5.5..5.5,thickness=3): display(quxian,scaling=unconstrained);

5

(2) f:=x->integrate(sin(t)/t,t=1..x^2): a:=0:b:=1: Integrate(x*f(x),x=a..b)=integrate(x*f(x),x=a..b);

20 f:=x->int(sin(t^2),t=0..sin(x))/x^3; Limit(f(x),x=0)=limit(f(x),x=0);

21 with(plots): f:=x->max(x,x^2,x^3); plot(f(x),x=-2..2,thickness=3);

6

with(plots): f:=x->max(x,x^2,x^3); F:=x->int(f(t),t=0..x); plot(F(x),x=-2..2,thickness=3,scaling=constrained);

22 f:=x->x*exp(x)/(1+exp(x))^2: Integrate(f(x),x=0..infinity)=integrate(f(x),x=0..infinity);

23 a:=7: f:=x->1/(1+x^2)/(1+x^a): Integrate(f(x),x=0..infinity)=integrate(f(x),x=0..infinity);

7

24 n:=7: f:=x->ln(x)^n: Integrate(f(x),x=0..1)=integrate(f(x),x=0..1); n!;

n:=16: f:=x->ln(x)^n: Integrate(f(x),x=0..1)=integrate(f(x),x=0..1); n!;

25 f:=x->12*(sin(x)^4-sin(x)^6); Integrate(f(x),x=0..Pi/2)=integrate(f(x),x=0..Pi/2);

28(1) f:=x->exp(-x); Integrate(f(x),x=0..infinity)=integrate(f(x),x=0..infinity);

8

(2) f:=x->exp(-x): Int(Pi*f(x)^2,x=0..infinity)-Int(Pi*(1-x)^2,x=0..1)=int(Pi*f(x)^2,x=0..inf inity)-int(Pi*(1-x)^2,x=0..1);

(3) Int(Pi*ln(y)^2,y=0..1)-Int(Pi*(1-y)^2,y=0..1)=int(Pi*ln(y)^2,y=0..1)-int(P i*(1-y)^2,y=0..1);

> Int(2*Pi*x*exp(-x),x=0..infinity)-Int(2*Pi*x*(1-x),x=0..1)=int(2*Pi*x*exp( -x),x=0..infinity)-int(2*Pi*x*(1-x),x=0..1);

29 A:=x->2*1: dw:=x->x*mu*g*A(x): W1:=Integrate(dw(x),x=0..1/sqrt(2))=integrate(dw(x),x=0..1/sqrt(2)); W2:=Integrate(dw(x),x=1/sqrt(2)..1)=integrate(dw(x),x=1/sqrt(2)..1); W:=Integrate(dw(x),x=0..1)=integrate(dw(x),x=0..1);

2

W1 := ? ? ?

2

2 x ? g d x ???

?g 2

0

9

W2 := ? ? ?

1

2 x ? g d x ???
2 2

?g 2

W := ? 2 x ? g d x ??? ? g ? ?
0

1

> 30(1) w:=x->2*sqrt(R^2-x^2): dP:=x->mu*g*x*w(x): P:=Integrate(dP(x),x=0..R)=integrate(dP(x),x=0..R);
R

? P := ? 2 ? g x ? ?
0

R ??? x
2

2

d x ???

2 3

R csgn ( R ) ? g
3

a:=abs(R): w:=x->2*sqrt(a^2-x^2): dP:=x->mu*g*x*w(x): P:=Integrate(dP(x),x=0..a)=integrate(dP(x),x=0..a);
R

? P := ? ? ?

2 ?g x

R ??? x
2

2

d x ???

2 3

R

3

?g

0

a:=abs(R): w:=x->2*sqrt(a^2-x^2): dP:=x->mu*g*(x+4*a/3/Pi)*w(x): P:=Integrate(dP(x),x=0..a)=integrate(dP(x),x=0..a);
R

? P := ? ? ? ? ?

4 R ? ? 2 ? g ? x ??? ? ? 3 ? ? ? ?

R ??? x
2

2

d x ???

4 3

R

3

?g

0

>

10

习 题
1 u:=n->(1/n)*sum(sin(a+b*(k-1)/n),k=1..n): Limit(u(n),n=infinity)=limit(a(n),n=infinity);
? 1 ?? ? ? 2 ? ? ? 2 cos ( a ) cos ? b ? ??? 2 sin ( a ) cos ? b ? sin ? b ? ??? cos ( a ) cos ? b ? ??? cos ( a ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ? ? n ? ? n ? ?n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?b ? 1 ?b ? sin ? ? ??? ? ? cos ( a ) cos ? ? ?n ? 2 ? ? ?n ? ? ? ? ? ?
2

lim
n ??? ?

? ?b ? ? b ( n ??? 1 ) ? ??? sin ( a ) sin ? ? ? cos ? ? ? n ?? ? ? ? n ? ?? ? ?

?b ? ?b ??? sin ( a ) sin ? ? ??? 2 cos ( a ) cos ? ?n ? ?n ? ? ? ? b ( n ??? 1 ) ? sin ? ? ? ? n ? ? ? ? ? 1 ??? cos ? ?

? ?b ? ??? 2 sin ( a ) cos ? ? ?n ? ?

2

? ?b ? sin ? ? ?n ? ? ? ? ? ?
2

? ? ??? cos ( a ? ?

? )? ? ? ?

? b ?? 1 ? ? ? ??? ? n ?? 2 ? ??

? ? 2 cos ( a ) cos ? b ? ? ? ?n ? ?

? ?b ? ?b ? ?b ? ?b ? ?b ? ??? 2 sin ( a ) cos ? ? sin ? ? ??? cos ( a ) cos ? ? ??? cos ( a ) ??? sin ( a ) sin ? ? ? cos ? ? ?n ? ?n ? ?n ? ? n ?? ? ?n ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?b ? 1 ?b ? ?b ? ?b ? sin ? ? ??? ? ? cos ( a ) cos ? ? ??? sin ( a ) sin ? ? ??? 2 cos ( a ) cos ? ? ?n ? 2 ? ? ?n ? ?n ? ?n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?b ? ?b ? ?b ? ??? 2 sin ( a ) cos ? ? sin ? ? ??? cos ( a ) ? sin ? ? ? ?n ? ?n ? ? ?n ? ? ? ? ? ? ? ? ? cos ( a ) cos ( b ) ??? sin ( b ) sin ( a ) ??? cos ( a ) b
2

? ? ? b ??? ? ? 1 ??? cos ? ? ? ? / n ??? ? ? n ??? ? ? ???

2 f:=x->sqrt(2*x-x^2): a:=0:b:=2: Integrate(f(x),x=a..b)=integrate(f(x),x=a..b); plot(f(x),x=0..2,scaling=constrained);
2

? ? ? ?

2 x ??? x

2

d x ???

? 2

0

11

> 5 f:=x->x*abs(x): Integrate(f(x),x=a..b)=integrate(f(x),x=a..b); plot(f(x),x=-2..2,scaling=constrained);
b

3 ? ? x x d x ??? ??? a ? { ? ? 1 3 3 ? ? a

a

3

2

0

a ??? 0 otherwise

b ?? ?? ? ?? 3 ? ?? ? ??? ? ? ? ?? 3 ? ?? b ? ?? ?? 3 ??

3

? b ??? 0 ? ? ? ? ? 0 ??? b ? ? ? ?

12

> 6 f:=x->sqrt(1+cos(2*x)): a:=0:b:=Pi: Integrate(f(x),x=a..b)=integrate(f(x),x=a..b); plot(f(x),x=a..b,scaling=constrained);
?

? ? ?

1 ??? cos ( 2 x ) d x ??? 2

2

0

13

8 f:=x->sqrt(1-exp(2*x)): a:=0:b:=ln(1/2): Integrate(f(x),x=a..b)=integrate(f(x),x=a..b); evalf(%); evalf(sqrt(3)/2+ln(2-sqrt(3)));
? ? ? ?
? ln ( 2 )

1 ??? e

(2 x)

d x ???

3 2

???

1 2

ln ( 2 ???

3 ) ???

1 2

ln ( 2 ???

3 )

0

-0.4509324931

??? -0.4509324940

-0.4509324950

9 f:=x->(x^5+cos(x)^2)*sin(x)^2: a:=-Pi/2:b:=Pi/2: Integrate(f(x),x=a..b)=integrate(f(x),x=a..b);
?

? ? ? ?
?

2

( x ??? cos ( x ) ) sin ( x ) d x ???
5 2 2 ? 2

? 8

10 f:=x->int(sin(t)/(Pi-t),t=0..x); a:=0:b:=Pi:

14

Integrate(f(x),x=a..b)=integrate(f(x),x=a..b);
? sin ( t ) f := x ??? ? dt ? ? ? ??? t ? ?
0 x

? Si ( ? ) ??? Si ( x ??? ? ) d x ??? 2 ? ?
0

?

11 x:=t->cos(t^2); y:=t->t*cos(t^2)-int(cos(u)/u/2,u=1..t^2); Yi:=t->D(y)(t)/D(x)(t); Er:=t->(D(x)(t)*(D@@2)(y)(t)-D(y)(t)*(D@@2)(x)(t))/(D(x)(t))^3: t0:=sqrt(Pi/2): Yi(t0); Er(t0);evalf(%); evalf(-1/sqrt(2*Pi)); >
x := t ??? cos ( t )
2

? 1 cos ( u ) 2 y := t ??? t cos ( t ) ??? ? du ? ? 2 u ? ?
1

t

2

Yi := t ???

D ( y )( t ) D ( x )( t )

2 2

?

?

(? 2

? ( ?3

2 4 ?

? ??? 2 ) ??? 2 ? )
( 3 /2 )

2

-0.4795746738 -0.3989422802

12 f:=x->min(2,x^2); a:=-3:b:=2: Integrate(f(x),x=a..b)=integrate(f(x),x=a..b); evalf(%); evalf(10-8*sqrt(2)/3);

f := x ??? min ( 2 , x )
2

15

? min ( 2 , x 2 ) d x ??? ? min ( 2 , x 2 ) d x ? ? ? ? ? ?
-3 -3

2

2

6.228763833

??? 6.228763833

6.228763834

14 f:=x->x*sin(x)^5: a:=0:b:=Pi: Integrate(f(x),x=a..b)=integrate(f(x),x=a..b);
? x sin ( x ) 5 d x ??? 8 ? ? ? 15 ?
0 ?

15 f:=x->cos(x)*arctan(exp(-x)): a:=-Pi/2:b:=Pi/2: Integrate(f(x),x=a..b)=integrate(f(x),x=a..b); evalf(%); evalf(Pi/2);
? ? ( ?x )

? ? ? ?
?

2

cos ( x ) arctan ( e
? 2

? ) d x ??? ? ? ?
?

2

cos ( x ) arctan ( e
? 2

( ?x )

) dx

1.570796327

??? 1.570796327

1.570796327

16 f:=x->1/(1+exp(1/x)): a:=-exp(1):b:=exp(1): Integrate(f(x),x=a..b)=integrate(f(x),x=a..b); evalf(%); evalf(exp(1));
e e

? ? 1 ? ? ? ? 1 ? ? ? ? 1 ??? e ? x ?
?e

? ? ? ?

? ? 1 ? d x ??? ? ? ? 1 ? ? ? ? 1 ??? e ? x ?
?e

? ? ? ?

dx

2.718281828

??? 2.718281828

2.718281828

>

16

18 f:=x->int(sin((x-t)^2),t=0..x); Diff(f(x),x)=diff(f(x),x);
x

2 f := x ??? ? sin ( ( x ??? t ) ) d t ? ? ? 0

? ?1 ? x 2 ? FresnelS ? ? ?x ? 2 ? ? ?

? ? ? ?

2

? 2 ? ? ??? sin ( x ) ? ?

> 19 F:=(x,y)->int(exp(t),t=0..y^2)-int(t/exp(t),t=0..x); Fx:=diff(F(x,y),x); Fy:=diff(F(x,y),y); DyDx:=-Fx/Fy; simplify(%);
x

F := ( x , y ) ??? ? ? ? ?

y

2

0

? t ? t e d t ??? ? t d t ? e ? ?
0
x ( ?x )

Fx := ? ( e ??? 1 ) e
x

( ?x )

??? ( e ??? 1 ??? x ) e
2 (y )

Fy := 2 y e
DyDx := ? 1 ? ( e ??? 1 ) e
x ( ?x )

??? ( e ??? 1 ??? x ) e
x 2 (y )

( ?x )

2 ye
1 e 2
2 ( ? x ??? y )

x

y

20 a:=n->int(arctan(x),x=n..n+1); Limit(a(n),n=infinity)=limit(a(n),n=infinity);
n ??? 1

a := n ??? ? ? ?

arctan ( x ) d x

n

lim
n ??? ?

? n arctan ( n ) ??? ??? ? 2

1 2

ln ( 1 ??? n ) ??? arctan ( n ??? 1 ) n ??? arctan ( n ??? 1 ) ???
2

1 2

ln ( 2 ??? n ??? 2 n )
2

17

21 f:=x->3*x^2-10/3; 3*x^2-int(f(x),x=0..2)-2;
10 3

f := x ??? 3 x ???
2

3 x ???
2

10 3

> 22 f:=x->int(exp(-t^2),t=0..x)-7*x+1; plot(f(x),x=0..1);
? ( ?t2 ) f := x ??? ? e d t ??? 7 x ??? 1 ? ? ?
0 x

23 f:=x->int(ln(t)/(1+t),t=0..x); with(plots): A:=plot(f(x)+f(1/x), x=0.1..4): B:=plot(ln(x)^2/2, x=0.1..4): display(A,B);
x

? ln ( t ) f := x ??? ? dt ? ? 1 ??? t ? ?
0

18

不相等? 25 a:=x->int(sin(t)/t,t=0..3*x); b:=x->int((1+t)^(1/t),t=0..sin(x)); Limit(a(x)/b(x),x=0)=limit(a(x)/b(x),x=0);
3 x

? a := x ??? ? ? ? ? ?

sin ( t ) t

dt

0

? b := x ??? ? ? ? ? ?

sin ( x )

( 1 ??? t )

? 1 ? ? ? ? t ? ? ?

dt

0

lim
x ??? 0

Si ( 3 x ) ? ? ? ? ? ?
sin ( x )

???
? 1 ? ? ? ? t ? ? ?

3 e

( 1 ??? t )

dt

0

>

19

26 f:=x->piecewise(x<0,1+x^2,exp(-x)); a:=1:b:=3: Integrate(f(x-2),x=a..b)=integrate(f(x-2),x=a..b);
( ?x )

f := x ??? piecewise ( x ??? 0 , x ??? 1 , e
2

)

? 2 ( x ??? 2 ) ??? 1 ? ? { ? ( 2 ??? x ) ? e ? ?
1

3

x ??? 2 otherwise

( -1 ) 7 d x ??? ??? e 3

>

> 27 f:=x->1/(x^2-x-2); a:=3:b:=infinity: Integrate(f(x),x=a..b)=integrate(f(x),x=a..b);
f := x ???
?

1 x ??? x ??? 2
2

? 1 2 ? d x ??? ln ( 2 ) ? 2 ? x ??? x ??? 2 3 ? ?
3

> 28(1) f:=x->sin(x)*cos(x)/x; a:=0:b:=infinity: Integrate(f(x),x=a..b)=integrate(f(x),x=a..b);
sin ( x ) cos ( x ) x

f := x ???
?

? sin ( x ) cos ( x ) ? ? d x ??? ? ? x 4 ? ?
0

> (2) f:=x->sin(x)^2/x^2; a:=0:b:=infinity:
20

Integrate(f(x),x=a..b)=integrate(f(x),x=a..b);

f := x ???
?

sin ( x ) x
2

2

? 2 ? ? sin ( x ) ? d x ??? 2 ? 2 x ? ?
0

> 29 f:=x->1/x/sqrt(1-ln(x)^2): a:=1:b:=exp(1): Integrate(f(x),x=a..b)=integrate(f(x),x=a..b);
e

? ? ? ? ? x ?
1

1 1 ??? ln ( x )
2

d x ???

? 2

f:=x->1/x/sqrt(1-ln(x)^2): a:=1:b:=exp(1): Integrate(f(x),x=a..b)=integrate(f(x),x=a..b);
e

? ? ? ? ? x ?
1

1 1 ??? ln ( x )
2

d x ???

? 2

30 f:=x->x^n*exp(-x): a:=0:b:=infinity: Integrate(f(x),x=a..b)=integrate(f(x),x=a..b);
? n ( ?x ) d x ??? ? ( n ??? 1 ) ? x e ? ?
0 ?

n:=5: f:=x->x^n*exp(-x): a:=0:b:=infinity: Integrate(f(x),x=a..b)=integrate(f(x),x=a..b);
? 5 ( ?x ) d x ??? 120 ? x e ? ?
0 ?

21

33 with(plots): plot(x*exp(-x),x=0..10,y=0..0.5,thickness=3,color=red);

(1) A ?

?

??

xe
0

?x

dx ? 1

f:=x->x*exp(-x): Integrate(f(x),x=0..infinity)=integrate(f(x),x=0..infinity);

(2) V x ? ?

?

??

( xe
0

?x

) dx ?
2

?
4

f:=x->x*exp(-x); V:=Pi*Integrate(f(x)^2,x=0..infinity)=Pi*integrate(f(x)^2,x=0..infinity);

V y ? 2?

?

?? 0

x ? xe

?x

d x ? 4?

f:=x->x*exp(-x); V:=2*Pi*Integrate(x*f(x),x=0..infinity)=2*Pi*integrate(x*f(x),x=0..infinit y);

22

34 f:=y->arcsin(y); g:=y->0; #Washer method V:=Pi*Integrate(((g(y)-Pi/2)^2-(f(y)-Pi/2)^2),y=0..1)=Pi*integrate(((g(y)Pi/2)^2-(f(y)-Pi/2)^2),y=0..1);
f := y ??? arcsin ( y )

g := y ??? 0
2 ? 2 ? ? ? ? ? V := ? ? ??? ? arcsin ( y ) ??? ? d y ??? ? ? ? 4 2 ? ? ? ? ? ? 0 1

1 2 ? ? ? ? ??? ? ??? 2 ? 4 ?

? ? ? ?

> f:=x->sin(x); g:=x->1; #Shell method V:=2*Pi*Integrate((Pi/2-x)*g(x)-(Pi/2-x)*f(x),x=0..Pi/2)=2*Pi*integrate((P i/2-x)*g(x)-(Pi/2-x)*f(x),x=0..Pi/2);
f := x ??? sin ( x ) g := x ??? 1
? 2

? V := 2 ? ? ? ? ? ?

?

1 2 ? ? ? ? 1 ??? x ??? ? ??? x ? sin ( x ) d x ??? 2 ? ? ? ? ??? ? ??? 1 ? 2 ? ? 2 2 8 ? ? ?

? ? ? ?

0

> 35 (1) width:=x->2*2*sqrt(1-x^2): dP:=x->mu*g*(1-x)*width(x): Integrate(dP(x),x=-1..1)=integrate(dP(x),x=-1..1);
1

? ? 4 ( 1 ??? x ) ? g ? ?
-1

1 ??? x

2

d x ??? 2 ? g ?

23

(2) A:=x->2*2*sqrt(1-x^2)*4: dw:=x->(1-x)*mu*g*A(x): w:=Integrate(dw(x),x=-1..1)=integrate(dw(x),x=-1..1);
? w := ? 16 ( 1 ??? x ) ? g ? ?
-1 1

1 ??? x

2

d x ??? 8 ? g ?

24


相关文档

高中数学定积分计算习题
用数学软件Maple计算定积分
高考数学 新课标定积分应用 例题、习题及详解
maple……数学计算软件
考研数学高等数学强化习题-定积分(计算)
江苏专转本高等数学_不定积分_例题加习题
数学软件Maple使用教程
用数学软件Maple做线性代数(2013.5.15)
电脑版