【优化方案】2012高中数学 第3章3.1.2第一课时不等式的性质课件 新人教B版必修5_图文

3.1.2 .

不等式的性质

学习目标 1.认识并掌握不等式的性质及其推论. 认识并掌握不等式的性质及其推论. 认识并掌握不等式的性质及其推论 2.重点是不等式的性质. .重点是不等式的性质. 3.难点是不等式性质的证明. .难点是不等式性质的证明.

第一课时

课前自主学案 第 一 课 时

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基

实数的运算性质与大小关系:a-b> a>b > 0?_____________ , a- b< 0?_________ , ?_____________, - < ?_________, a<b < a=b = a-b=0?____________ - = ?____________.

知新益能 不等式具有下列重要性质 (1)性质 : 如果 性质1: 如果a>b, 那么 b<a ; 如果 性质 , 那么_______; 如果b<a, 那 , a>b 么_________,称为不等式的对称性. ,称为不等式的对称性. (2)性质 :如果 性质2:如果a>b且b>c,则______,称为不等式 a>c , 性质 且 , 的___________. . 传递性 (3)性质 :如果a>b,则a+c____b+c. 性质3:如果 , + > + 性质 推论1: 推论 :不等式中的任意一项都可以把它的符号变 成相反的符号后,从不等式的一边移到另一边. 成相反的符号后,从不等式的一边移到另一边.称 为不等式的_________法则. 法则. 为不等式的 移项 法则

推论2: 如果a>b, c>d, 则 a+ c>b+ d(同向不 推论 : 如果 , , + + 同向不 等式可以相加). 等式可以相加 . ac>bc (4) 性 质 4 : 如 果 a>b , c>0 , 则 ______ ; 如 果 ac<bc a>b,c<0,则_________ (不等式两边同乘非 不等式两边同乘非0 , , 不等式两边同乘非 数值). 数值 . 推论1:如果a>b>0,c>d>0,则ac____bd; 推论 :如果 , , ; > > 推论2:如果a>b>0,则an_______bn(n∈N+, 推论 :如果 , ∈ n>1)

> 推论 3:如果 a>b>0,则 a____ b(n∈ N+, : , ____ ∈ n>1). . 思考感悟 若a>b>0,c>d,则ac>bd成立吗? 成立吗? > > , > , > 成立吗 提示:不一定成立,例如: = , = , 提示 : 不一定成立 , 例如 : a=3,b=2, c=- ,d=- ,ac<bd. =-4, =- =-5, < =-

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课堂互动讲练

不等式性质的简单应用
例1 判断下列各命题的真假. 判断下列各命题的真假.

(1)若 a> b,则 ac< bc; 若 > , < ; (2)若 ac2> bc2,则 a> b; 若 > ; 2 2 (3)若 a< b< 0,则 a > ab> b ; 若 < < , > c c (4) < ,且 c> 0,则 a> b; > , > ; a b b a (5)若 a< b< 0,则 > ; 若 < < , a b a b (6)若 c> a> b> 0,则 . 若 > > > , > c- a c- b - -

【分析】 依据不等式的性质、实数运算的符 分析】 依据不等式的性质、 号法则进行推理或举例说明. 号法则进行推理或举例说明.
【解】 (1)由于 c 的正 、负或是否为零未知,因而 由于 的正、负或是否为零未知, 的大小缺乏依据, 故该命题是假命题. 判断 ac 与 bc 的大小缺乏依据, 故该命题是假命题 . (2)由 ac2>bc2 知 c≠0,c2>0,所以 a>b,该命题 由 ≠ , , > , 为真命题. 为真命题. ?a<b < (3)由? 由 ?a2>ab; ; < ?a<0
?a<b < 又? ?ab>b2. > < ?b<0

所以 a > ab> b . > 故该命题为真命题. 故该命题为真命题 . c c 1 1 (4)由 < ,且 c> 0,所以 < ,但 a、b 的 由 > , 、 a b a b 符号不确定, 符号不确定,故 a, b 的大小关系也不确定, , 的大小关系也不确定, 故该命题是假命题. 故该命题是假命题 . 2 2 2 a (5)由 a< b< 0?- a>- > 0? a > b ? > >-b> ? 由 < < ? >- ab 2 b . ab

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a b 故该命题是假命题. 即 > ,故该命题是假命题. b a (6)a> b> 0?- a<- , <-b, > > ? <- 1 1 c> a> b> 0? 0< c- a< c- b? > > > ? < - < - ? > c- a c- b - - a b 故该命题是真命题. > 0? ? > ,故该命题是真命题. c- a c- b - -

点评】 要判断命题是真命题, 【 点评 】 要判断命题是真命题 , 应说明理 由或进行证明, 推理过程应紧扣有关定理、 由或进行证明 , 推理过程应紧扣有关定理 、 性质等, 性质等 , 应熟练掌握不等式的性质及其推论 的条件和结论, 的条件和结论 , 若判断命题是假命题只需举 一反例即可. 一反例即可.

下列命题: 自我挑战 1 下列命题: 若 a>b, ac >bc ; ① , 则 ② 若 ac>bc, 则 a>b;③若 a>b, c>d,则 a , ; , , 1 1 - c>b- d;④ 若 a>b, ab≠ 0,则 > ;⑤若 - ; , ≠ , a b c b a>b, c<d, cd≠ 0,则 > ; ⑥若 a2 > 2,则 > , < , ≠ 0, >b a d a>|b|;⑦若 a>b,c∈ N,则 ac>bc.其中假命题 ; ,∈ , 其中假命题 的个数是________. 的个数是 .

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解析: 解析:当 c= 0 时,①假;当 c<0 时,②假; = 同向不等式不能相减, 同向不等式不能相减,如 3>1,1>- 8,而 3- - , - 1<1- (- 8),③假;当 a>b>0 时,④假; -- , 当 c<0, a>b>0, d>0 时 ,⑤假; , , 当 a<0, |a|>|b|时,⑥假; , 时 当 b<a<0,c 为正偶数时,⑦假. , 为正偶数时, 故假命题的个数为 7.

答案: 答案:7

利用不等式的性质证明不等式
例2

已知: 已知: f(x)= loga x, a> 1> b> c> 0, = , > > > > , b- f( c) c- f( b) -( ) -( ) 证明: . 证明: > b- c a- c - -

分析】 【分析】 先确定分母 b-c 与 a-c 的大小,从 - - 的大小, 1 1 的大小关系, 而得出 与 的大小关系,再确定分子 b- - b-c a-c - - f(c)与 c-f(b)的大小关系,最后由性质得出两分 的大小关系, 与 - 的大小关系 数的大小关系. 数的大小关系.

【证明】 ∵ a> b> c,∴ a- c> b- c> 0, 证明】 > > , - > - > , 1 1 ∴ < , a- c b- c - - 又 ∵ f(b)= logab, f(c)= loga c, a> 1, ∴ f(b) = , = , > , > f(c), , 又∵ 1> b> c> 0,∴f(b)< 0,f(c)< 0, > > > , < , < , ∴ 0<- <-f(c),又 b> c> 0, <-f(b)<- , > > , <- <- ∴ b- f(c)> c-f(b)> 0, - > - > , b- f( c) c- f( b) -( ) -( ) 1 1 . 又 > > 0,∴ , > b- c a- c b- c a- c - - - -

点评】 【 点评 】 两个不等式只作同向加法不作减 需要减时两边同乘“ 法 , 需要减时两边同乘 “ - 1”, 再同向相加 ” 即可. 即可. 自我挑战2 已知 已知a>b,c<d,求证 : a-c>b- 自我挑战 , ,求证: - - d.

证明:法一: 证明:法一:∵ a>b, ∴ a- b>0. , - 又 c<d,∴ d- c>0. , - ∴ (a- c)-(b- d)= (a- b)+(d- c)>0. - - - = - + - ∴ a- c>b- d. - - 法二: 法二:∵ c<d,∴- c>- d. , - 又 a>b,∴ a- c>b- d. , - -

1 1 例3 已知 a, b, x, y 是正整数,且 > , , , , 是正整数, a b x>y, , y x > . 求证: 求证: x+ a y+ b + +

分析】 从目标考虑, 构造x+ , + , 【 分析 】 从目标考虑 , 构造 + a, y+ b, 可想到取倒数. 可想到取倒数.

1 1 证明】 【证明】 ∵ > >0, x>y>0, , , a b a b x y ∴ > >0,0< < . a b x y a b 各边同时加 1 得, 0+ 1<1+ <1+ . + + + x y x x+ a y+ b y + + < > . ∴ 1< ,∴ x y x+ a y+ b + +

点评】 在理解的基础上, 记准、 【 点评 】 在理解的基础上 , 记准 、 记熟不 等式的九条性质并注意在解题时灵活、 等式的九条性质并注意在解题时灵活 、 准确 地加以应用. 地加以应用.

自我挑战 3 若 a> b> 0, c< d< 0, e< 0, > > , < < , < , e e 求证: 求证: 2> 2. ( a- c) ( b- d) - ) - )

证明: 证明: c<d<0?- c>- d>0? ? - ?? a- c>b- d>0 - - ? a>b>0 1 1 ? 2 2 ?( a- c) >( b- d) >0? -) ( - ) ? 2< 2? ( a- c) ( b- d) ? -) - ) e<0 e e ? 2> 2. ( a- c) ( b- d) -) - )

? ?

不等式性质的综合题 我们知道, 中 例4 我们知道 , 在 △ ABC中 , 若 c2 = a2 + b2 , 是直角三角形, 则 △ ABC是直角三角形 , 现在请你研究 : 若 是直角三角形 现在请你研究: cn = an + bn(n>2, 且 n∈ N + ), 问 △ ABC为何 , ∈ , 为何 种三角形?为什么? 种三角形?为什么? 分析】 本题条件较为抽象, 【分析】 本题条件较为抽象,可先取一些 特值试探一下. 特值试探一下.

3 a= , b= , = ≈ , 【解】 令 n=3, =1, =1, c= 2≈1.26, = , 则 画以 1,1,1.26 为边的三角形草图,观察易知是 , 为边的三角形草图, 锐角三角形. 锐角三角形. 上述用特殊值试验的结论具有一般性, 上述用特殊值试验的结论具有一般性,请看如 下证明: 证明: ∵cn=an+ bn(n>2 且 n∈N+),∴c>a,c>b. ∈ , , 的最大边,所以要证明△ 由于 c 是△ABC 的最大边,所以要证明 △ABC 锐角三角形, 为锐角, 是锐角三角形, 只需证明 C 为锐角, 即证 cosC>0 即可. 即可.

a +b -c ∵ cosC= = ,要证 cosC>0, , 2ab 2 2 2 只要证明 a + b >c . ∵ a<c, b<c,n>2,且 n∈ N+, , , , ∈ 2 n-2 2 n- 2 2 n- 2 2 n- 2 ∴ a ·a <a ·c , b ·b <b ·c , n n 2 2 n 2 ∴ a + b <(a + b )c - , n n n n 2 2 n-2 2 2 又∵ a + b = c ,∴ c <(a + b )c ,即 c <a 2 +b , 为锐角. ∴ cosC>0,角 C 为锐角.故△ ABC 为锐角三 , 角形. 角形.

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【 点评】 本题是一道难得的好题, 由特殊到一 点评 】 本题是一道难得的好题 , 般的探究方法是一种重要的解题思维方法, 般的探究方法是一种重要的解题思维方法 , 横跨 几何、 三角、 代数三个章节, 几何 、 三角 、 代数三个章节 , 显示了其较强的综 合性. 合性. 自我挑战4 已知奇函数 已知奇函数f(x)在区间 -∞,+∞)上 在区间(- ,+∞ 上 自我挑战 在区间 是单调减函数, 、 、 ∈ , 是单调减函数,α、β、γ∈R,且α+β>0,β+γ>0, + , + , γ+α>0,试判断:f(α)+f(β)+f(γ)与0的关系并证 + ,试判断: + + 与 的关系并证 明.

解: f(α)+ f(β)+ f(γ)<0. + + 证明如下: 证明如下: 由 α+ β>0 得 α>- β. + - ∵ f(x)在 R 上是单调减函数,∴f(α)<f(- β). 在 上是单调减函数, - . 为奇函数, 又∵ f(x)为奇函数,∴ f(α)+ f(β)<0. 为奇函数 + 同理 f(β)+ f(γ)<0,f(γ)+f(α)<0. + , + ∴ f(α)+ f(β)+ f(γ)<0. + +


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