高中数学 1.2 导数的计算 1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导

1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

1.几个常用函数的导数

原函数 导函数

f(x)=c(c 为常 f'(x)=0 数)

f(x)=x f'(x)=1

f(x)=x2 f'(x)=2x

f(x)=

1 x

f'(x)=?

1 x2

f(x)= x

f'(x)=

1 2x

【做一做1】 对于函数y=x2,其导数值等于原来函数值的点



.

解析:y'=2x,令2x=x2,解得x=0或x=2,所以适合条件的点是

(0,0),(2,4). 答案:(0,0),(2,4)

2.基本初等函数的导数公式

原函数 导函数

f(x)=xα(α ∈Q,α≠0)

f'(x)=αxα-1

f(x)=sin

x

f'(x)=cos x

f(x)=cos

x

f'(x)=-sin x

f(x)=ax

f'(x)=axln a

f(x)=ex f'(x)=ex

f(x)=logax

f'(x)=

1 xln

a

f(x)=ln x

f'(x)=

1 x

1.如何理解常数函数的导数为0的意义? 剖析:设f(x)=c,则f'(x)=0的几何意义为函数f(x)=c的图象上每一点 处的切线的斜率都为0,其物理意义为若f(x)=c表示路程关于时间的 函数,则f'(x)=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于 静止状态.

题型一

题型二

题型三

题型一

题型二

题型三

题型一

题型二

题型三

反思求简单函数的导函数有两种基本方法: (1)用导数的定义求导,但运算比较复杂; (2)用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度. 在解题时,应先根据所给问题的特征,将题中的函数化为基本初
等函数,再选择合适的求导公式求解.

题型一

题型二

题型三

【变式训练 1】 求下列函数的导数: (1)y=x-5; (2)y=4x;

(3)y= x x x;

(4)y=log7x;

(5)y=sin

π 2

+

x

.

解:(1)y'=-5x-6.

(2)y'=4xln 4.

111

7

(3)∵y= x2 ·x4 ·x8 = x8,

∴y'=

7 8

x-18.

(4)y'= xl1n7.

(5)∵y=sin

π 2

+

x

= cos x,

∴y'=-sin x.

题型一

题型二

题型三

用求导公式求切线的斜率(或方程)

【例2】 求曲线y=lg x在点M(10,1)处的切线的斜率和切线方程.

分析:所求切线斜率就是函数y=lg x在x=10处的导数.求出切线的

斜率后,再根据直线方程的求法求出切线方程.

解:∵y'=(lg x)'= xln110,

∴y'|x=10= 10l1n10.

∴曲线 y=lg x 在点 M(10,1)处的切线的斜率为 k= 10l1n10.

∴切线方程为

y-1=

1 10ln10

(x

?

10),

即 x-(10ln 10)y+10(ln 10-1)=0.

题型一

题型二

题型三

反思求函数在某一点处的导数,需要先对原函数进行求导,再将变 量值代入导函数求解.

题型一

题型二

题型三

【例3】 已知直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交于A,B两点,O是坐

标原点,试在x轴上方抛物线弧OA上求一点P,使△ABP的面积最大.

分析解答本题的关键是在x轴上方抛物线弧OA上寻求到直线x-

2y-4=0的距离最大的点P,可考虑用切线或直接用点到直线的距离

公式求解.

解(方法一)因为|AB|为定值,所以要使△PAB 的面积最大,只要
点 P 到直线 AB 的距离最大,即只要点 P 是抛物线弧 OA 上平行于
AB 的切线的切点即可.设 P(x,y),由题意知,点 P 在 x 轴上方,所以 y= (x>0),所以 y'=21 .因为 kAB=12,所以21 = 12,x=1.由 y2=x(y>0), 得 y=1,所以点 P 的坐标为(1,1).

题型一

题型二

题型三

(方法二)设 P 02,0 ,因为|AB|为定值,所以要使△PAB 的面积最

大,只要使点 P 到直线 AB:x-2y-4=0 的距离最大即可.设点 P 到直线

AB 的距离为 d,则 d=|02-250-4| =

1
5|(y0-1)

2-5|.

联立

-2-4 = 2 = ,

0,消去

x

解得

y=1±

5.y0∈(0,1+

5].所以当

y0=1 时,d 最大,此时△PAB 的面积最大,所以点 P 的坐标为(1,1).

题型一

题型二

题型三

反思利用基本初等函数的求导公式,结合导数的几何意义可以解决 一些与距离、面积相关的最值问题.解题的关键是正确确定所求切 线的位置,进而求出切点坐标.另外也可利用函数求最值的方法确 定点P的坐标.
【变式训练3】 设点P是曲线y=ex上的任意一点,求点P到直线 y=x的最小距离.
解:根据题意,设平行于直线y=x的直线与曲线y=ex相切于点 P(x0,y0),该切点即为到直线y=x距离最近的点,如图所示.

题型一

题型二

题型三


相关文档

高中数学1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
18学年高中数学1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的
高中数学导数及其应用1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式课时达标训练
高中数学第一章导数及其应用1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式课时达
「精品」高中数学第一章导数及其应用1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式课时达
高中数学第一章导数及其应用1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式课件新
18学年高中数学导数及其应用1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式课时
【新】高中数学第一章导数及其应用1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式课时达标
18学年高中数学导数及其应用1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式课件
18学年高中数学第一章导数及其应用1.2导数的计算第1课时几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式
电脑版