高中数学人教B版必修二课件:1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积_图文

第一章—— 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 [学习目标] 1.理解正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积及表面积的定义 及计算公式. 2.了解球、圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式. 栏目索引 CONTENTS PAGE 1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测 挑战自我,点点落实 重点难点,个个击破 当堂训练,体验成功 预习导学 挑战自我,点点落实 [知识链接] 1.棱柱的侧面形状是 平行四边形 ;棱锥的侧面是 三角形; 棱台的侧面形状是 梯形 . 2.圆柱、圆锥、圆台的底面形状是 圆 . 3.三角形的面积S=1 ah(其中a为底,h为高),圆的面积 2 S= πr2 (其中r为半径). 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 4 [预习导引] 柱体、锥体、台体、球的表面积 几何体 圆柱 圆锥 表面积公式 S= 2πr(r+l) (其中r为底面半径,l为母线长) S= πr(r+l) (其中r为底面半径,l为母线长) 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 5 圆台 球 S= π(r′2+r2+r′l+rl) (其中r′,r分别为上、下底面 半径,l为母线长) S= 4πR2 (其中R为球的半径) 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 6 课堂讲义 重点难点,个个击破 要点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积 例1 已知正四棱锥底面边长为 4 ,高与斜高夹角为 30°, 求它的侧面积和表面积. 解 如图所示,设正四棱锥的高为PO, 斜高为PE,底面边心距为OE,它们组成 一个直角三角形POE. 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 7 4 ∵OE=2=2,∠OPE=30° . 2 OE ∴PE=sin 30° =1=4. 2 1 1 ∴S 正四棱锥侧=2ch′=2×(4×4)×4=32, S表面积=42+32=48. 即该正四棱锥的侧面积是32,表面积是48. 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 8 规律方法 1.要求锥体的侧面积及表面积,要利用已知条 件寻求公式中所需的条件,一般用锥体的高、斜高、底面 边心距等量组成的直角三角形求解相应的量. 2.空间几何体的表面积运算,一般是转化为平面几何图形 的运算,往往通过解三角形来完成. 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 9 跟踪演练1 解 若一个底面是正三角形的三棱 柱的主视图如图所示,求其表面积. 由主视图知三棱柱的高h=1,底面三角形边长为2, 2 3 故 S 侧=3×2×1=6,S 底=2×2 × 4 =2 3, S 表=S 侧+S 底=6+2 3. ∴几何体的表面积为 6+2 3. 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 10 要点二 空间几何体的表面积 例2 如图所示,已知直角梯形ABCD, BC ∥ AD , ∠ ABC = 90 °, AB = 5 cm, BC=16 cm,AD=4 cm.求以AB所在直线为轴旋转一周所得 几何体的表面积. 解 以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台, 其上底半径是4 cm,下底半径是16 cm, 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 11 母线 DC= 52+?16-4?2=13(cm). ∴ 该几何体的表面积为 π(4 + 16)×13 + π×42 + π×162 = 532π(cm2). 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 12 规律方法 1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在 轴截面上,因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体 表面积的关键. 2.棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的 射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解. 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 13 跟踪演练 2 解 在题设条件不变的情况下,求以 BC 所在直 线为轴旋转一周所得几何体的表面积. 以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆 锥的组合体,如图所示: 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 14 其中圆锥的高为16-4=12(cm), 圆柱的母线长为AD=4 cm, 故该几何体的表面积为 2π×5×4+π×52+π×5×13=130π(cm2). 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 15 要点三 球的表面积 例3 有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个 正方体各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点, 求这三个球的表面积之比. 解 设正方体的棱长为a. (1)正方体的内切球球心是正方体的中心,切点 是六个面正方形的中心,经过四个切点及球心 作截面,如图①, 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 16 a 所以有 2r1=a,r1=2, 2 所以 S1=4πr2 = π a . 1 (2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点, 过球心作正方体的对角面得截面,如图②, 2 2r2= 2a,r2= 2 a, 2 所以 S2=4πr2 = 2π a . 2 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 17 (3)正方体的各个顶点在球面上,过球心 作正方体的对角面得截面,如图③, 3 所以有 2r3= 3a,r3= 2 a, 2 所以 S3=4πr2 = 3π a . 3 综上可得S1∶S2∶S3=1∶2∶3. 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 18 规律方法 求解. 1. 在处理球和长方体的组合问题时,通常先作 出过球心且过长方体对角面的截面图,然后通过已知条件 2.球的表面积的考查常以外接球的形式出现,可利用几何 体的结构特征构造熟悉的正方体,长方体等,通过彼此关 系建立关于球的半径的等式求解. 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 19 跟踪演练 3 已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点, AH∶HB = 1∶2,AB⊥平面α,H为

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