复旦大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练:数列[

复旦大学附中 2013 届高三数学一轮复习单元训练:数列 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=( A.58 【答案】B 2.设 s n 是等差数列{a n }的前 n 项和,已知 s 6 =36, A. 15 【答案】D 3.已知等差数列 ?a n ? 满足 a 2 A. 8 【答案】C 4.设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a4 ? 9, S3 ? 15 ,则数列 {a n } 的通项为( A.2n-3 【答案】C 5. 在公差不为零的等差数列 ? an ? 中,a1 , a3 , a7 依次成等比数列, 7 项和为 35,则数列 ? an ? 的 前 通项 an ? ( A. n 【答案】B 6.数列 ?a n ?中, a n ?1 ? ) B. n ? 1 C. 2n ? 1 D. 2n ? 1 B.2n-1 C.2n+1 D.2n+3 ) B. 9 B. 16 C. 17 s n =324, s n ? 6 =144 (n>6),则 n=( D. 18 ) B.88 C.143 ) D.176 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

? 3 , a n ?1 ? 17, (n ? 2) , S n ? 100 ,则 n 的值为(
C. 10 D. 11

)

an ,且 a1 ? 2 ,则 an 等于( 1 ? 3a n
B.

)

A.

16 5n ? 1

2 6n ? 5

C.

4 6n ? 5

D.

4 3n ? 1
)

【答案】B

,则a 2 ? a5 ? a7 ? a10 ? ( 7.在等差数列 {a n } 中, 若前11项和S11 ? 11
A. 【答案】C 8.用数学归纳法证明 3 ? n (n≥3,n∈N)第一步应验证(
n 3

5

B.6

C.4

D.8

) D. n=4

A. n=1 【答案】C

B. n=2

C. n=3 ) C.24 )

9.等差数列{an}中,a5+a7=16,a3=4,则 a9=( A.8 【答案】B B.12

D.25

10.在等差数列 ? an ? 中,若前 5 项和 S5 ? 20 ,则 a3 等于( A.4 B.-4 C.2

D.-2

【答案】A 11.等差数列 {an } 前 n 项和满足 S 20 ? S 40 ,下列结论正确的是( A. S 30 是 S n 中最大值 C. S 30 =0 【答案】D 12.已知实数列 1, a, b, 2 成等比数列,则 ab ? ( A. 【答案】C 第Ⅱ卷(非选择题 13.已知数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ? 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) ) )

B. S 30 是 S n 中最小值 D. S 60 ? 0

4

B.

?4

C.

2

D.

?2

1 2 2 n ? n ? 3 ,则这个数列的通项公式为____________ 4 3

? 59 ? 12 , n ? 1 【答案】 a n ? ? 6n ? 5 ? ,n ?1 ? 12
{an }

14.已知等差数列 【答案】 ? 3

满足:

a1005 ?

4? 3 ,则 tan(a1 ? a2009 ) ? ____________.

15.在等差数列 ? an ? 中, a1 ? ?2008 ,其前 n 项和为 S n ,若 于 【答案】4022 .

S12 S10 ? ? 2 ,则 S 2011 的值等 12 10

16. 已知数列{an}的前三项依次是-2, 6, n 项和 Sn 是 n 的二次函数, a100=____________ 2, 前 则 【答案】394 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知数列{an}的前 n 项和 S n ? (1)求{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 bn ?

1 2 3 n ? n. 2 2

1 ,求{bn}的前 10 项和 T10 . a n a n ?1

时 【答案】 n ? 1 , a1

? S1 ? 2
1 2 3 1 3 n ? n ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? n ? 1 2 2 2 2

n ? 2时, a n ? S n ? S n?1 ?
当n

? 1时, a1 ? 1 ? 1 ? 2 也满足上式

所以 a n ? n ? 1 (2)由(1)得: bn ?

1 1 1 1 ? ? ? an an ?1 ? n ? 1?? n ? 2 ? n ? 1 n ? 2

5 ?1 1? ?1 1? ?1 1? 1 1 ? b1 ? b2 ? ? b10 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3? ?3 4? ? 11 12 ? 2 12 12

18.设数列

满足





。数列

满足

是非零整数,且对任意的正整数 。 (1)求数列 (2)记 和 的通项公式; ,求数列

和自然数 ,都有

的前 项和



【答案】 (1)由







数列

是首项为 1 公比为

的等比数列,







,由



,…

同理可得当 n 为偶数时,

; n 为奇数时, 当

; 因此

(2) 当 n 为奇数时,

当 n 为偶数时





①×

得:



①-②得:

因此 19.如图, P ( x1 , y1 ), P ( x2 , y2 ),?, P ( xn , yn ), (0 ? y1 ? y2 ? ? ? yn ) 是曲线 1 2 n

C : y 2 ? 3x ( y ? 0) 上的 n 个点,点 Ai (ai , 0) (i ? 1, 2,3,?, n) 在 x 轴的正半轴上, ?Ai ?1 Ai Pi

是正三角形( A0 是坐标原点) . (Ⅰ) 写出 a1 , a2 , a3 ; (Ⅱ)求出点 An (an , 0)(n ? N *) 的横坐标 an 关于 n 的表达式; (Ⅲ)设 bn ?

1 1 1 1 ,若对任意正整数 n ,当 m ? ? ?1,1? 时,不等式 ? ? ??? an ?1 an ? 2 an ?3 a2 n

t 2 ? 2mt ?

1 ? bn 恒成立,求实数 t 的取值范围. 6

【答案】 (Ⅰ) a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 12 . (Ⅱ)依题意 An (an , 0), An ?1 (an ?1 , 0) ,则

xn ?

an ?1 ? an ? an ?1 ? an ? , yn ? 3 ? ? 2 2 ? ?

在正三角形 P An ?1 An 中,有 n

yn ?

3 3 | An ?1 An |? (an ? an ?1 ) . 2 2

3 ? a ? an ? ? 3 ? n ?1 ? ? 2 (an ? an ?1 ) . 2 ? ?
? an ? an ?1 ? 2(an ?1 ? an ) ,
? an 2 ? 2an ?1an ? an ?12 ? 2(an ? an?1 ) (n ? 2, n ? N *) ,
同理可得 an ?1 ? 2an ?1 an ? an ? 2(an ?1 ? an )
2 2

① ②

(n ? N *) .

①-②并变形得

(an?1 ? an?1 )(an?1 ? an?1 ? 2an ? 2) ? 0 (n ? 2, n ? N *)

? an ?1 ? an ?1 ,
? an?1 ? an?1 ? 2an ? 2 ? 0 , ? (an?1 ? an ) ? (an ? an?1 ) ? 2 (n ? 2, n ? N *) .
∴数列 ?an ?1

? an ? 是以 a2 ? a1 ? 4 为首项,公差为 2 的等差数列.

? an?1 ? an ? 2(n ? 1), (n ? N *) ,

? an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ? ? (an ? an?1 ) ,
? 2(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n)

? n2 ? n .

? an ? n(n ? 1) (n ? N *) .
(Ⅲ)解法 1 :∵ bn ?

1 1 1 1 ? ? ??? (n ? N *) , an ?1 an ? 2 an ?3 a2 n ? 1 an ? 4 1 a2 n ? 2 ??? 1 an ?1 1 a2 n ? 2 (n ? N *) .

∴ bn ?1 ?

1 an ? 2

?

1 an ?3 1 ?

? bn ?1 ? bn ?

a2 n ?1

?

?

1 1 1 ? ? (2n ? 1)(2n ? 2) (2n ? 2)(2n ? 3) (n ? 1)(n ? 2)

?

?2(2n 2 ? 2n ? 1) . (2n ? 1)(2n ? 2)(2n ? 3)(n ? 2)

∴当 n ? N * 时,上式恒为负值, ∴当 n ? N * 时, bn ?1 ? bn , ∴数列 ?bn ? 是递减数列.

? bn 的最大值为 b1 ?

1 1 ? . a2 6

若对任意正整数 n ,当 m ?

? ?1,1? 时,不等式 t 2 ? 2mt ? 1 ? bn 恒成立,则不等式
6

t 2 ? 2mt ?

1 1 ? 在 m ? ? ?1,1? 时恒成立,即不等式 t 2 ? 2mt ? 0 在 m ? ? ?1,1? 时恒成立. 6 6
2

设 f (m) ? t ? 2mt ,则 f (1) ? 0 且 f (?1) ? 0 ,

?t 2 ? 2t ? 0 ? ∴? 2 ?t ? 2t ? 0 ?
解之,得

t ? ?2 或 t ? 2 ,

即 t 的取值范围是 (??, ?2) ? (2, ??) .

20.在数列 (Ⅰ)求

中, 的通项公式;





(Ⅱ)令 (Ⅲ)求数列

,求数列 的前 项和 。

的前 项和



【答案】 (Ⅰ)由条件得

,又

时,



故数列

构成首项为 1,公式为

的等比数列.从而

,即



(Ⅱ)由







两式相减得 :

, 所以



(Ⅲ)由



所以



21.设 Tn 为数列 ?a n ?的前 n 项之积,满足 Tn ? 1 ? a n (n ? N ) .
?

(1)设 bn ?

1 ,证明数列 ?bn ? 是等差数列,并求 bn 和 a n ; Tn
2 2 2

(2)设 Sn ? T1 ? T2 ? L ? Tn 求证: a n ?1 ? 【答案】(1)∵ Tn ? 1 ? a n (n ? N ), a n ?
?

1 1 ? S n ? an ? . 2 4

Tn , (n ? 2) , Tn ?1

∴ Tn ? 1 ?

Tn , ( n ? 2) Tn ?1
1 1 ? , (n ? 2) , Tn Tn ?1 1 Tn
∴ bn ? bn ?1 ? 1, (n ? 2) .

∴1 ?

∵ bn ?

∵ Tn ? 1 ? a n , ∴ T1 ∴ b1 ?

? 1 ? a1 ? 1 ? T1 ,∴ T1 ?

1 , 2

1 ? 2, T1

∴数列 ?bn ? 是以 2 为首项,以 1 为公差的等差数列, ∴ bn ? 2 ? (n ? 1) ? n ? 1 , ∴ Tn ?

1 1 , ? bn n ? 1
∴ a n ? 1 ? Tn ? 1 ?

1 n ?1

(2) Sn ? T1 ? T2 ? L ? Tn ?
2 2 2

1 1 1 , ? 2 ?L ? 2 2 3 (n ? 1) 2



1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ?L ? ? ? ?L ? ? ? 2 2 2 3 (n ? 1) 2 ? 3 3? 4 (n ? 1)( n ? 2) 2 n ? 2
1 2
∴ a n ?1 ?

? an ?1 ?

1 ? Sn 2

当 n ? 2 时,

1 1 1 1 1 1 ? 2 ?L ? ? 2? ?L ? 2 2 2 3 (n ? 1) 2 2?3 n(n ? 1)

1 1 1 1 ? ? ? an ? , 4 2 n ?1 4 1 1 2 当 n ? 1时, S1 ? T1 ? ? a1 ? , 4 4 1 ∴ S n ? an ? . 4 ?
22.已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足: a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

, n ? N *,

(1)设 bn ?1

?? b ? b ? ? 1 ? n , n ? N * ,求证:数列 ?? n ? an ?? an ? ?

2

? ? ? 是等差数列; ? ?

(2)设 bn ?1 ?

2?

bn , n ? N * ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. an
bn an ? bn ,∴ an ?1 ? = an an 2 ? bn 2
bn ?1 ?b ? 1? ? n ? ? an ?
2

【答案】 (1)∵ bn ?1 ? 1 ?



?b ? b ∴ n ?1 ? 1 ? ? n ? 。∴ an?1 ? an ?
2 2 2 ? 2 ? ? bn ?1 ? ? bn ? ? ? bn ? ? ? bn ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1? n ? N *? ? ? an ?1 ? ? an ? ? ? an ? ? ? an ? ? ? 2

2



∴数列 ??

?? b ? 2 ? ? n ? ? ? 是以 1 为公差的等差数列。 ?? an ? ? ? ?
2

(2)∵ an > 0,bn > 0

? an ? bn ? ,∴
2

? an 2 ? bn 2 < ? an ? bn ? 。
2

∴ 1 < an ?1 ?

an ? bn an 2 ? bn 2

? 2。 (﹡)

设等比数列 {an } 的公比为 q ,由 an > 0 知 q > 0 ,下面用反证法证明 q=1

若 q > 1, 则 a1 =

a2 2 < a2 ? 2 ,∴当 n > log q 时, an ?1 ? a1q n > 2 ,与(﹡)矛盾。 a1 q

若 0 < q < 1, 则 a1 =

a2 1 > a2 > 1 , ∴当 n > log q 时,an?1 ? a1q n < 1 , (﹡) 与 q a1

矛盾。 ∴综上所述, q=1 。∴ an ? a1 ? n ? N *? ,∴ 1 < a1 ? 2 。 又∵ bn ?1 ? 2 ?

bn 2 2 的等比数列。 = ? bn ? n ? N *? ,∴ {bn } 是公比是 an a1 a1 2 > 1 ,于是 b1 < b2 < b3 。 a1
即 a1 ?

若 a1 ?

2 ,则

又由 a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

a1 ? bn a12 ? bn 2

,得 bn =

a1 ? a12 2 ? a12 a12 ? 1



∴ b1,b2,b3 中至少有两项相同,与 b1 < b2 < b3 矛盾。∴ a1 = 2 。

2?
∴ bn =

? 2? ? 2?
2

2?
2

? 2?

2

?1

= 2。

∴ a1 =b2 = 2 。


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