2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.3 两角和与差的正切同步训练 苏教版必修4.doc

2019-2020 学年高中数学 第 3 章 三角恒等变换 3.1.3 两角和与差的 正切同步训练 苏教版必修 4
一、填空题 1+tan 75° 1. =________. 1-tan 75° π? 3 ?π ? ? 2.已知 α ∈? ,π ?,sin α = ,则 tan?α + ?的值等于________. 4? 5 ?2 ? ? 4 3.若 sin α = ,tan(α +β )=1,且 α 是第二象限角,则 tan β 的值是________. 5 1 1 π 3π 4.已知 tan α = ,tan β = ,0<α < ,π <β < ,则 α +β 的值是________. 2 3 2 2 1 ?π ? 5.已知 tan? +α ?=2,则 的值为______. 2 2sin α cos α +cos α ?4 ? α +β 2 6.如果 tan α ,tan β 是方程 x -3x-3=0 的两根,则 =________. α -β 7.tan 10°tan 20°+tan 20°tan 60°+tan 60°tan 10°=________. cos α -sin α 8.已知 α 、β 均为锐角,且 tan β = ,则 tan(α +β )=________. cos α +sin α 二、解答题 9.求下列各式的值: sin 7°+cos 15°sin 8° (1) ; cos 7°-sin 15°sin 8° (2)(1-tan 59°)(1-tan 76°). 10.在△ABC 中,求证: tan tan +tan tan +tan tan =1. 2 2 2 2 2 2 11. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角 α ,β ,它们的终边分别与 2 2 5 单位圆相交于 A,B 两点,已知 A,B 的横坐标分别为 , . 10 5

A

B

B

C

C

A

求:(1)tan(α +β )的值;(2)α +2β 的大小. 三、探究与拓展 π π 2 2 12.已知在△ABC 中,0<A< ,0<B< ,sin A= ,tan(A-B)=- . 2 2 10 11 求:(1)tan B 的值;(2)A+2B 的大小.

答案 1 5π 2 3 1.- 3 2. 3.-7 4. 5. 6.- 7.1 8.1 7 4 3 2 - +cos 15°sin 8° 9.解 (1)原式= - -sin 15°sin 8° sin 15°cos 8° = =tan 15°=tan(45°-30°) cos 15°cos 8° 3 1- 3 tan 45°-tan 30° = = =2- 3. 1+tan 45°tan 30° 3 1+ 3 (2)原式=1-tan 59°-tan 76°+tan 59°tan 76° =1-(tan 59°+tan 76°)+tan 59°tan 76° =1-tan 135°(1-tan 59°tan 76°)+tan 59°tan 76° =1+1-tan 59°tan 76°+tan 59°tan 76°=2. 10.证明 ∵A+B+C=180°, ∴ + + =90°. 2 2 2 A+B C ?A+B? ∴ =90°- .∴tan? ? 2 2 ? 2 ? C? 1 ? =tan?90°- ?= . 2? C ? tan 2 ?A+B?·tan C=1. ∴tan? ? 2 ? 2 ? ∴

A B C

?tan A+tan ? 2 ?
A

B?
2? ?

tan

C
2 =1,

1-tan tan 2 2 ∴tan tan +tan tan =1-tan tan . 2 2 2 2 2 2 即 tan tan +tan tan +tan tan =1. 2 2 2 2 2 2 11.解 由条件得 cos α = ∵α ,β 为锐角, 7 2 2 ∴sin α = 1-cos α = , 10 sin β = 1-cos β =
2

B B

A

C

C

A

B

A

B

B

C

C

A

2 2 5 ,cos β = . 10 5

5 . 5

sin α 因此 tan α = =7, cos α

sin β 1 tan β = = . cos β 2 tan α +tan β (1)tan(α +β )= = 1-tan α ·tan β =-3. 1 1-7× 2 1 2× 2 2tan β 4 (2)∵tan 2β =tan(β +β )= = = , 2 1-tan β ?1?2 3 1-? ? ?2? 4 7+ 3 tan α +tan 2β ∴tan(α +2β )= = =-1. 1-tan α ·tan 2β 4 1-7× 3 3π ∵α ,β 为锐角,∴0<α +2β < , 2 3π ∴α +2β = . 4 12.解 (1)∵A,B 是锐角,sin A= 7 2 1 ∴cos A= ,tan A= , 10 7 tan A- A-B ∴tan B=tan[A-(A-B)]= 1+tan A·ta A-B 1 2 1 + -tan B 7 11 7 1 tan A-tan B = = (或解 tan(A-B)= = 1 2 3 1+tan A·tan B 1 1+ - 1+ tan B 7 11 7 2 1 =- ,∴tan B= ). 11 3 1 (2)∵tan B= , 3 2 3 2tan B 3 ∴tan 2B= = , 2 = 1-tan B 1 4 1- 9 tan A+tan 2B ∴tan(A+2B)= 1-tan A·tan 2B 1 3 + 7 4 = =1. 1 3 1- × 7 4 1 3 又 tan A= <1,tan B= <1. 7 4 ∵A,B 是锐角, π π ∴0<A< ,0<B< , 4 4 2 , 10 1 7+ 2

3π ∴0<A+2B< . 4 π ∴A+2B= . 4


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