江苏省泰州市姜堰区2014-2015学年高二数学下学期期中试题 文

2014~2015 学年度第二学期期中考试 高二数学试题(文科)
(考试时间:120 分钟 总分 160 分) 注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效. 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应 答题线上. ) 1.设 i 是虚数单位,则 i =
6



.

2.写出命题“

?x ? ?1,?? ?,

1 ?1 x ”的否定: z?





3.设 i 是虚数单位,则复数 4. “ x ? 1 ”是“ x ? 1 ”的

1? i i 的共轭复数 z =






条件.(请在“充要” 、 “充分不必要” 、 “必要不充分” 、

“既不充分也不必要”中选择一个合适的填空) 5.将演绎推理“函数 y ? 2 x ? 1 的图像是一条直线. ”恢复成完全的三段论形式,其中大前提 是 ▲ .

6.设 i 是虚数单位,复数 z 满足

z ? (3 ? 4i)

=1,则

z

的最大值为



.

7.学校举办了排球赛,某班 45 名同学中有 12 名同学参赛.后来又举办了田径赛,该班有 20 名同学参赛.已知两项比赛中, 该班有 19 名同学没有参加比赛, 那么该班两项都参加的有 ▲ 名同学. 8.设集合 A ? ?0,1?,则满足 A ? B ? ?0,1,2? 的集合 B 的个数是: ▲ .

9.在 R 上定义运算⊙: a ⊙ b ? ab ? 2a ? b ,则关于实数 x 的不等式: x ⊙ ( x ? 2) ? 0 的解 集为 ▲ .

10.已知全集 U=R,集合 A= 范围是 ▲ .

? x x ? a? , B ? ??1, 2? ,若 (CU A) ? B ? ? ,则实数 a 的取值
2 2

11.设 i 是虚数单位, M ? {1, 2,(a ? 3a ?1) ? (a ? 5a ? 6)i}, N ? {1, 2,3, 4}, M ? N , 则实数 a ?
3





2?

12.已知

2 2 3 3 4 4 m m ? 23 , 3 3 ? ? 33 , 3 4 ? ? 4 3 , ???, 3 2015 ? ? 2015 3 7 7 26 26 63 63 n n ,

n ?1 ? 2 则 m



.

-1-

3 4 f ( x) ? ( ) x ? ( ) x 5 5 ,则 f ( x) 在 R 上单调 13.求“方程 3 ? 4 ? 5 的解”有如下解题思路:设
x x x

递减,且 f (2) ? 1 ,所以原方程有唯一解 x ? 2 .类比上述解题思路,方程 解为 ▲ . 14.下列说法正确的是 ▲ .(填上所有正确答案的序号)

x3 ? x ?

1 1 ? x3 x 的

① 3? 2 ? 6 ? 5; ② 任何集合都有子集; ③ 实数没有共轭复数; ④ 命题“正三角形的三条边全相等.”的逆否命题是“如果一个三角形的三条边全不相等, 那么这个三角形不是正三角形.” 二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (本小题满分 14 分) 已知命题 p: 方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实根;q:不等式 4x2+4(m–2)x+1>0 的解集为 R. (1)若命题 q 为真,求实数 m 的取值范围. (2)若命题“p 且 q”和“非 p”为假,求实数 m 的取值范围.

16. (本小题满分 14 分)

1 1 ? ? x ? yi x , y 的值; (1)已知 1 ? i 2 ? 3i ,求实数
(2)已知

z1 , z2 ? C ,若 z1 ? 3 ? 4i, z2 ? 5, z1 ? z2 是纯虚数,求 z2 .

17. (本小题满分 14 分)

? 6 ? A ? ?x ? 1? B ? x x 2 ? 2 x ? a 2 ? 2a ? 0 ? x ?1 ? , 已知集合 .

?

?

(1)当 a ? 4 时,求 A ? B ; (2)若 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围.

-2-

18. (本小题满分 16 分) 图(1) 、 (2) 、 (3) 、 (4)分别包含 1 个、5 个、13 个、25 个第二十九届北京奥运会吉祥物“福 娃迎迎” ,按同样的方式构造图形,设第 n 个图形包含 f (n) 个“福娃迎迎”.

(1)

(2)

(3) 第 18 题

(4)

(1)求出 f (5) ; (2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出 f (n ? 1) 与 f ( n) 的关系式(不需写出证明过 程) ; (3)根据你得到的关系式求 f ( n) 的表达式.

19. (本小题满分 16 分) 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c . (1) 设集合 A={x|f(x)=x}. ①若 A={1,2},且 f(0)=2,求 f(x)的解析式; ②若 A={1},且 a≥1,求 f(x)在区间[﹣2,2]上的最大值 M(a) . (2) 设 f(x)的图像与 x 轴有两个不同的交点,a>0, f(c)=0,且当 0<x<c 时,

1 ?c f(x)>0.用反证法证明: a .

-3-

20. (本小题满分 16 分) 已知函数

f ? x ? ? ? x 2 ? ? a ? 1? x ? a ? 1, g ? x ? ? x ? x ? a ? ? 1
2

,其中 a 为实数.

(1)是否存在 明理由. (2)若集合

x0 ? ?0,1?, 使得f ?x0 ? ? 1 ? 0 ?若存在,求出实数 a 的取值范围;若不存在,请说

A ? x f ? x ? ? g ? x ? ? 0, x ? R

?

?

中恰有 5 个元素,求实数 a 的取值范围.

2014~2015 学年度第二学期期中考试 高二数学试题(文科)参考答案及评分标准

1.-1 是一条直线 10. a ? 2

2.

?x ? ?1,?? ?,

1 ?1 x

3.-1+i 7 .6 12.2015

4.充分不必要 8.4 13.-1 或 1

5.一次函数的图像 9.

6 .6 11.-1

?x ? 2 ? x ? 1?

14.①②

15.(1)由 ? ? 16 ?m ? 2? ? 1 ? 0 ?1 ? m ? 3
2

?

?

???????6 分

(2)由题意 p 真 q 假, 由 p 真,得Δ 1=m2–4>0,∴m>2 或 m<–2???????10 分

?m ? 2或m ? ?2 ? m ? ?2或m ? 3 ? m ? 1 或 m ? 3 ? 所以,当 p 为真 q 为假时, ????????14 分
x?
16.(1) (2)设

17 7 ,y? 26 26 ???????6 分

z2 ? a ? bi, a, b ? R
???????8 分

z1z2 ? ?3 ? 4i ?? a ? bi ? ? 3a ? 4b ? ? 4a ? 3b? i
?a 2 ? b 2 ? 25 ? ?3a ? 4b ? 0 ?4a ? 3b ? 0 ?

???????10 分

?a ? 4 ?a ? ?4 ?? 或? ?b ? 3 ?b ? ?3 ? z2 ? 4 ? 3i或z2 ? ?4 ? 3i

????????14 分

-4-

17. 解: (1)

A ? ?x |1 ? x ? 7?



B ? ? x | x 2 ? 2 x ? 24 ? 0? ? ? x ? 4 ? x ? 6? a ? 4 当 时, ,


A ? B ? ?x |1 ? x ? 6?
B ? ? x ( x ? a )( x ? a ? 2) ? 0?

??????5 分

(2)

①当 a ? ?1 时, ? B ? ?,? A ? B 不成立; ②当 a ? 2 ? ?a, 即 a ? ?1 时, B ? (?a, a ? 2),

??????8 分

??a ? 1 ? A ? B,? ? ?a ? 2 ? 7 ,解得 a ? 5;
③当 a ? 2 ? ? a, 即 a ? ?1 时, B ? (a ? 2, ?a),

??????10 分

?a ? 2 ? 1 ? A ? B,? ? ??a ? 7 解得 a ? ?7;

??????12 分 ??????14 分

综上,当 A ? B ? B ,实数 a 的取值范围是 (??, ?7] ? [5, ??)

18. (1)? f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25, ? f(5)=25+4×4=41. ????????4 分 (2)? f(2)-f(1)=4=4×1. f(3)-f(2)=8=4×2, f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4, 由上式规律得出 f(n+1)-f(n)=4n. ????????10 分 ? (3) f(2)-f(1)=4×1, f(3)-f(2)=4×2, f(4)-f(3)=4×3, f(n-1)-f(n-2)=4· (n-2), f(n)-f(n-1)=4· (n-1) ? f(n)-f(1)=4[1+2+ +(n-2)+(n-1)]=2(n-1)· n, ????????14 分
? f(n)=2n2-2n+1( n ? 2 ) ? f(1)=1 也满足上式,? f(n)=2n2-2n+1

????????16 分

19.解: (1)①由 f(0)=2 可知 c=2,又 A={1,2}, 故 1,2 是方程 ax2+(b﹣1)x+c=0 的两实根.

1? 2 ?


1? b c ,2 ? a a,
????????4 分

解得 a=1,b=﹣2 ∴f(x)=x2﹣2x+2=(x﹣1)2+1,

②由题意知,方程 ax2+(b﹣1)x+c=0 有两相等实根

x1 ? x2 ? 1,

1?1 ?
根据韦达定理得到:

1? b c ,1 ? a a ,即 b ? 1 ? 2a, c ? a ,??????8 分
-5-

∴f(x)=ax2+bx+c=ax2+(1﹣2a)x+a,x∈[﹣2,2]

2a ? 1 1 ? 1? 2a 其对称轴方程为 x= 2a

1 ?1 ? ? ? ,1? 2 a ?2 ? 又 a≥1,故 1﹣
∴M(a)=f(﹣2)=9a﹣2, ????????12 分

1 c ?c x1 x2 ? f x ? 0 ? ? 的两个实根为 x1 , x2 ,则 a ,因为 f(c)=0,所以另一 (2)假设 a ,设

?1? 1 1 f ? ??0 ? ? 0, c ? 个根为 a ,即 ? a ? ,而 f(x)的图像与 x 轴有两个不同的交点,且 a>0,所以 a
这与当 0<x<c 时,f(x)>0 矛盾.

1 ?c 所以假设不成立,即 a .
20. (1)

????????16 分

f ? x ? ?1 ? ?x2 ? ? a ?1? x ? a ? ? ? x ? a ?? x ?1? ? 0

?x ? ? 1或 x ?a

?当a ? ? 0,1? 时,?x0 ? ? 0,1? , f ? x0 ? ?1 ? 0
(2)

??????4 分

f ? x ? ? ?x2 ? ? a ?1? x ? a ?1 ? 0
2

有 2 相异解实根时, ??????6 分

? ? ? a ? 1? ? 4 ? a ? 1? ? 0 ? a ? ?3, 或a ? 1
g ? x? ? x ? x ? a ? ?1
2

=0 有 3 个相异实根时,

g ' ? x ? ? ? x ? a ??3x ? a ?
??????8 分

g ? x? ? 0 g ? x ? 当 a ? 0 时, , =0 有 1 解;
'

当 a?0 时 ,

a?

? a? ?a ? a g ? x ? 在 ? ??, a ? 上增,? a, ? 上减,? , ?? ? 上增 ? 3? ?3 ? 3 , , 极 大 值
=0 有 1 解; ??????10 分

g ? a ? ? ?1 ? 0



g ? x?
a?

当 a?0 时 ,

a? ? ?a ? a g ? x ? 在 ? ??, ? 上增,? , a ? 上减,? a, ?? ? 上增 3? ? ?3 ? 3 , , 极 小 值

3 ?a? g ? ? ? 0 ?a ? 3 2 g ? x? g ? a ? ? ?1 ? 0 2 .??????12 分 ,要使 =0 有 3 解,只须 ? 3 ?

a?
下面用反证法证明

33 2 2 时,5 个根相异.
-6-

假设

?x0 ? R, f ? x0 ? ? g ? x0 ? ? 0

??????14 分

2 ? ?? x0 ? ? a ? 1? x0 ? a ? 1 ? 0 ? 2 ? x ? a ? ? x0 2 ? ax0 ? x0 ? 1? ? 0 ? x0 ? x0 ? a ? ? 1 ? 0 即? 两式相减得: 0



x0 ? a 代入②得 0-1=0 矛盾;



x02 ? ax0 ? x0 ?1 ? 0 代入①得 a ? 0 ,这与

a?

33 2 2 矛盾.

所以假设不成立,即 5 个根相异.

a?
综上,

33 2 2 .

??????16 分

-7-


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