2009年普通高等学校招生全国统一考试数学文(辽宁卷,含答案)

2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学文(辽宁卷,含答案)

一、选择题:本大题 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

目要求的。

(1)已知集合 M=﹛x|-3<x ? 5﹜,N=﹛x|x<-5 或 x>5﹜,则 M N=

(A) ﹛x|x<-5 或 x>-3﹜

(B) ﹛x|-5<x<5﹜

(C) ﹛x|-3<x<5﹜
(2)已知复数 z ?1? 2i ,那么 1 = z

(D) ﹛x|x<-3 或 x>5﹜

(A) 5 ? 2 5 i 55

(B) 5 ? 2 5 i 55

(C) 1 ? 2 i (D) 1 ? 2 i

55

55

? ? (3)已知 an 为等差数列,且 a7 -2 a4 =-1, a3 =0,则公差 d=

(A)-2

(B)- 1 2

(C) 1 (D)2 2

(4)平面向量 a 与 b 的夹角为 600 ,a=(2,0), | b |=1,则 | a+2b |=

(A) 3 (B)2 3 (C)4 (D)12

(5)如果把地球看成一个球体,则地球上的北纬 600 纬线长和赤道长的比值为

(A)0.8 (B)0.75 (C)0.5 (D)0.25

(6)

已知函数 f (x) 满足:x ? 4,则 f (x) = (1 )x ;当 x<4 时 f (x) = f (x ?1) ,则 f (2 2

?olg 3)

2

=

(A) 1 24

(B) 1 12

(C) 1 (D) 3

8

8

(7) 已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C

的方程为

(A) (x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2

(B) (x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2

(C) (x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2

(D) (x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2

(8)已知 tan? ? 2,则 sin2 ? ? sin? cos? ? 2cos2 ? ?

(A) ? 4 3

(B) 5 4

(C) ? 3 4

(D) 4 5

(9)ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 内随机取一点,取到的点

到 O 的距离大于 1 的概率为

(A) ? 4

(B)1? ? 4

(C) ? 8

(D)1? ? 8

10)某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据 a1 , a2 ,。。。 aN ,其中收入记为

正数,支出记为负数。该店用右边的程序框图计算月总收入 S 和月净盈利 V,那么在图中空白

的判断框和处理框中,应分别填入下列四个选项中的

(A)A>0,V=S-T

(B) A<0,V=S-T

(C) A>0, V=S+T

(D)A<0, V=S+T(11)下列 4 个命题

p1

:

?x

?(0, ??), (1)x 2

?

(1)x 3

p2 : ?x ? (0,1), ㏒ 1/2x>㏒ x 1/3

p3

: ?x ? (0, ??), (1)x 2

?㏒

x 1/2

p4

: ?x ?(0,

1), (1)x 32

?㏒

x 1/3

其中的真命题是

(A) p1, p3 ( B) p1, p4 (C) p2 , p3 (D) p2 , p4

(12)已知偶函数 f (x) 在区间?0, ??) 单调增加,则满足 f (2x ?1) < f (1) 的 x 取值范围是
3

(A)( 1 , 2 ) 33

(B) [ 1 , 2 ) 33

(C)( 1 , 2 ) 23

(D) [ 1 , 2 ) 23

2009 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)

数学(文科类) 第 II 卷
二-填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)在平面直角坐标系 xoy 中,四边形 ABCD 的边 AB//DC,AD//BC,已知点 A(-2,0),B(6,
8),C(8,6),则 D 点的坐标为___________.
(14)已知函数 f (x) ? sin(?x ??)(? ? 0) 的图象如图所示, 则? = (15)若函数 f (x) ? x2 ? a 在 x ?1处取极值,则 a ?
x ?1
(16)设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为 m)。

则该几何体的体积为

m3

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应用写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 10 分)

等比数列{ an }的前 n 项和为 sn ,已知 S1 , S3 , S2 成等差数列

(1)求{ an }的公比 q;

(2)求 a1 - a3 =3,求 sn

(18)(本小题满分 12 分)

如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量
船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 750 ,300 ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均 为 600 ,AC=0.1km。试探究图中 B,D 间距离与另外哪两点距离相等,然后求 B,D 的距离(计 算结果精确到 0.01km, 2 ? 1.414, 6 ? 2.449)
(19)(本小题满分 12 分) 如图,已知两个正方形 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内,M,N 分别为 AB,DF 的中点。
(I)若 CD=2,平面 ABCD ⊥平面 DCEF,求直线 MN 的长; (II)用反证法证明:直线 ME 与 BN 是两条异面直线。
(20)(本小题满分 12 分)

某企业有两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸(单位:mm)的值落在(29.94,30.06) 的零件为优质品。从两个分厂生产的零件中个抽出 500 件,量其内径尺寸,的结果如 下表: 甲厂

(1) 试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率;

(2) 由于以上统计数据填下面 2?2 列联表,并问是否有 99%的把握认为“两个分厂生产的

零件的质量有差异”。

甲厂

乙厂

合计

优质品

非优质品

合计

附: x2 ? n(n11n22 ? n12n21)2 , p(x2 ? k) 0.05???0.01

n1?n2?n?1n?2

k 3.841????????

(21)(本小题满分 12 分)

设 f (x) ? ex (ax2 ? x ?1) ,且曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线与 x 轴平行。

(I) (II)

求 a 的值,并讨论 f(x)的单调性;
证明:当? ?[0, ? ]时,f( cos? ) ? f(sin? ) ? 2 2

(22)(本小题满分 12 分)
已知,椭圆 C 以过点 A(1, 3 ),两个焦点为(-1,0)(1,0)。 2
(1) 求椭圆 C 的方程; (2) E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直线
EF 的斜率为定值,并求出这个定值。

一、选择题

辽宁文数学答案

(1)A (2)C (3)B

(7)B (8)D (9)B

二、填空题 (13)(0,-2)
三、解答题

(14) 3 2

(17)解:

(Ⅰ)依题意有

(4)B (5)C (6)A (10)C (11)D (12)A
(15)3 (16)4

a1 ? (a1 ? a1q) ? 2(a1 ? a1q ? a1q 2 )

由于 a1 ? 0 ,故

2q2 ? q ? 0

又 q ? 0 ,从而 q ? -1

5分

2

(Ⅱ)由已知可得

a1

?

a(1 ?

1 )2 2

?

3

故 a1 ? 4

从而 Sn

?

(4 1?(? 1 ?( ?

1 )n) 2? 1)

8(1 ?( ? 3

1 )n) 2

2

(18)解:

在 ?ACD中, ?DAC=30°, ?ADC=60°- ?DAC=30°,

所以 CD=AC=0.1

又 ?BCD=180°-60°-60°=60°,

故 CB 是 ?CAD底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA

5分

在 ?ABC中, AB ? AC , sin?BCA sin?ABC

即 AB= AC sin 60? ? 3 2 ? 6

sin15?

20

10 分

因此, BD ? 3 2 ? 6 ? 0.33km 20
故 B、D 的距离约为 0.33km。

12 分

(19)解 (Ⅰ)取 CD 的中点 G 连结 MG,NG. 因为 ABCD,DCEF 为正方形,且边长为 2,

所以 MG⊥CD,MG=2, NG ? 2 .
因为平面 ABCD⊥平面 DCEF, 所以 MG⊥平面 DCEF,可得 MG⊥NG.

所以 MN ? MG2 ? NG2 ? 6

……6 分

(Ⅱ)假设直线 ME 与 BN 共面,

…..8 分

则 AB ? 平面 MBEN,且平面 MBEN 与平面 DCEF 交于 EN,

由已知,两正方形不共面,故 AB ? 平面 DCEF.

又 AB∥CD,所以 AB∥平面 DCEF.而 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线,

所以 AB∥EN.

又 AB∥CD∥EF,

所以 EN∥EF,这与 EN ? EF=E 矛盾,故假设不成立。

所以 ME 与 BN 不共面,它们是异面直线。

……..12 分

(20)解:

( Ⅰ ) 甲 厂 抽 查 的 产 品 中 有 360 件 优 质 品 , 从 而 甲 厂 生 产 的 零 件 的 优 质 品 率 估 计 为

360 ? 72% ; 500

……6 分

乙厂抽查的产品中有 320 件优质品,从而乙厂生产的零件的优质品率估计为 320 ? 64% 500

(Ⅱ)

甲厂

乙厂

合计

优质品

360

320

680

非优质品

140

180

320

合计

500

500

1000

……8 分

x2 ? 1000? (360?180 ? 320?140)2 500? 500? 680? 320
? 7.35 ? 6.635,

所以有 99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”。 (21)解:
(Ⅰ) f '(x) ? ex (ax2 ? x ?1? 2ax ?1) .有条件知,

……12 分

f '(1) ? 0 ,故 a ? 3? 2a ? 0 ? a ? ?1.

………2 分

于是 f '(x) ? ex (?x2 ? x ? 2) ? ?ex (x ? 2)(x ?1) .

故当 x ?(??, ?2) ? (1, ??) 时, f '(x) <0;

当 x ?(?2,1) 时, f '(x) >0.

从而 f (x) 在 (??, ?2) , (1, ??) 单调减少,在 (?2,1) 单调增加.

………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f (x) 在[0,1] 单调增加,故 f (x) 在[0,1] 的最大值为 f (1) ? e ,

最小值为 f (0) ? 1.

从而对任意 x1 , x2 ?[0,1] ,有 f (x1) ? f (x2) ? e ?1? 2 .

而当? ?[0, ? ] 时, cos?,sin? ? [0,1] . 2

从而

f (cos?) ? f (sin?) ? 2

………10 分 ………12 分

(22)解:(Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为 x2 1? b2

?

y2 4b2

? 1。

因为

A 在椭圆上,所以 1 1? b2

?

9 4b2

? 1,解得 b2 =3, b2 = ?

3 4

(舍去)。

所以椭圆方程为 x2 ? y2 ? 1. 43

......4 分

(Ⅱ)设直线AE方程:得 y ? k(x ?1) ? 3 ,代入 x2 ? y2 ? 1得

2

43

(3+4k 2)x2 +4k(3 ? 2k)x ? 4( 3 ? k)2 ?12 ? 0 2

设E(

xE



yE

),F(

xF



yF

).因为点A(1,

3 2

)在椭圆上,所以

4( 3 ? k)2 ?12

xE ?

2 3 ? 4k 2



yE

?

kxE

?

3 2

?k



又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以 ?k 代 k ,可得

.......8 分

4(3 ? k)2 ?12

xF ?

2 3 ? 4k 2



yF

?

?kxF

?

3 2

?k



所以直线 EF 的斜率 kEF

?

yF xF

? yE ? xE

?

?k(xF ? xE ) ? 2k xF ? xE

?

1。 2

即直线 EF 的斜率为定值,其值为 1 。 2

.......12 分


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