上海高三数学_2008-2009学年度北郊高级中学第一学期高三数学摸底考试

2008-2009 学年度北郊高级中学第一学期高三数学摸底考试 试卷
班级 ________ 姓名 ___________ 学号 _____ 一、填空题:

1.已知全集 U = R ,集合 A = x | ?2 ≤ x ≤ 3 , B = { x | x < ?1或x > 4} ,那么集合

{

}

A I (CU B) 等于 ____________ 。 1 2.函数 f ( x ) = x + 1 + 的定义域为 。 2? x 3.若直线 ax ? y + 1 = 0 经过抛物线 y 2 = 4 x 的焦点,则实数 a = ____
4.在 ?ABC 中,若 ∠B = 60 o , AC = 3, AB =

。 。

a 则它的前 10 项的和 S10 = ________ 。 5. 已知等差数列 {an } 满足 a2 + a4 = 4 , 3 + a5 = 10 ,
6.已知向量 a 与 b 都是单位向量,它们的夹角为 120°,且 k a + b = 3 ,则实数 k 的值 是 。 7.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种,分别种在不同土质的三块土地上, 其中黄瓜必须种植。不同的种植方法共有 _________ 种。 8.函数 y = 1 +
2

6 ,则 ∠A =

x ( 0 ≤ x ≤ 4 )的反函数是 __________ 。

9.过抛物线 y = 12 x 的焦点 F 作垂直于 x 轴的直线,交抛物线于 A、B 两点,则以 F 为圆 心 AB 为直径的圆方程是________________。 10.不等式 2
3 x ? +1 x



1 的解集为 2



11.若数列 {a n } 是首项为 1 ,公比为 a ?

的值是 ______________ 。 12.将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 23 456 7 8 9 10 。 。 。 。 。 按照以上排列的规律,第 n 行( n ≥ 3 )从左向右的第 3 个数为 二、选择题:

3 的无穷等比数列,且 {a n } 各项的和为 a ,则 a 2



1 ? x 的图像关于( ) x (A) y 轴对称(B)直线 y = ? x 对称 (C)坐标原点对称 (D)直线 y = x 对称
13.函数 f ( x ) =

14.已知 a, b 都是实数,那么“ a > b ”是“ a > b ”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 15.下面给出四个命题:
2 2





①直线 l 与平面 a 内两直线都垂直,则 l ⊥ a 。②经过直线 a 有且仅有一个平面垂直于直线

b ③过平面 a 外两点,有且只有一个平面与 a 垂直。④直线 l 同时垂直于平面 α 、 β ,则

α ∥ β 。其中正确的命题个数为
(A)3 (B)2 (C)1 (D)0 16.设奇函数 f ( x ) 在 (0,+∞) 上为增函数,且 f (1) = 0 ,则不等式 集为 (A) (?1,0) ∪ (1,+∞) (C) (?∞,?1) ∪ (1,+∞) 三、解答题: (B) (?∞,?1) ∪ (0,1) (D) (?1,0) ∪ (0,1)





f ( x ) ? f (? x ) < 0 的解 x
( )

17.已知函数 f ( x) = cos 2 x ? 2 sin x cos x ? sin 2 x 。 (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求 f(x)的最大值、最小值。

18.已知数列 {an } 是等差数列,且 a1 = 2 , a1 + a2 + a3 = 12 。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)令 bn = an ? 3 ,求数列 {bn } 前 n 项和的公式。
n

19.当 x > 2 时,不等式 x ( x ? 2) + 1 ≥ a ( x ? 2) 恒成立,求实数 a 的取值范围。

20. 如图, 正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AA1 = 2 AB = 4 , E 在 CC1 上且 C1 E = 3EC . 点 (Ⅰ)证明: A1C ⊥ 平面 BED ; (Ⅱ) (理)求二面角 A1 ? DE ? B 的大小。 (文)异面直线 A1C 与 AB 所成的角。 A1 D1 B1 C1

E D A B C

21. 直线 y =

1 1 x 与抛物线 y = x 2 ? 4 交于 A.B 两点, 线段 AB 的垂直平分线与直线 y = ?5 2 8

交于 Q 点。 (1) 求点 Q 的坐标; (2) 当 P 为抛物线上位于线段 AB 下方(含 A.B) 的动点时, 求 ΔOPQ 面积的最大值。

22.在直角坐标平面中,已知点 P (1, 2 ) , P2 2, 2 2 , P 3, 23 ,L , Pn n, 2 n ,其中 n 是正整 1 3 数,对平面上任一点 A0 ,记 A1 为 A0 关于点 P 的对称点, A2 为 A1 关于点 P2 的对称点,., .. 1

(

) (

)

(

)

An 为 An ?1 关于点 Pn 的对称点。 uuuuu r (1)求向量 A0 A2 的坐标; (2)当点 A0 在曲线 C 上移动时,点 A2 的轨迹是函数 y = f ( x) 的图象,其中 f ( x) 是以 3
为周期的周期函数,且当 x ∈ ( 0,3] 时, f ( x) = lg x 。求以曲线 C 为图象的函数在 (1, 4] 上的 解析式。

参考答案:

1. x | ?1 ≤ x ≤ 3 6. k = ?1 or 2

{

}

2.

{ x | x ≥ ?1且x ≠ 2}
2

3. ? 1

4. 75

o

5.
2

95
2

7. 18

8. y = ( x ? 1) ( 1 ≤ x ≤ 3 )

9. ( x ? 3) + y = 36

10. (?∞, ?3] U (0,1] 11. 2 12.

n2 ? n + 6 2

13. C 14.D 15. C

16. D

17. (1) f ( x ) = (2) 当

2 cos(2 x + ), T = π ; 4

π

x = kπ ?

π

8

(k ∈ Z )



,

f ( x)max = 2

;



x = kπ +

3π (k ∈ Z ) 8

时, f ( x) min = ? 2 。 18. (1) an = 2n;(2) S n =

2n ? 1 n +1 3 ?3 + 。 2 2

19. (-∞,4] 20.解法一: 依题设知 AB = 2 , CE = 1 . (Ⅰ)连结 AC 交 BD 于点 F ,则 BD ⊥ AC . 由三垂线定理知, BD ⊥ A1C . 在平面 A1CA 内,连结 EF 交 A1C 于点 G ,

D1 A1 B1

C1

AA1 AC 由于 = =2 2, FC CE 故 Rt△ A1 AC ∽ Rt△FCE , ∠AA1C = ∠CFE ,

∠CFE 与 ∠FCA1 互余.
于是 A1C ⊥ EF . D A F

HE G C B

A1C 与平面 BED 内两条相交直线 BD,EF 都垂直,
所以 A1C ⊥ 平面 BED .

(Ⅱ)作 GH ⊥ DE ,垂足为 H ,连结 A1 H .由三垂线定理知 A1 H ⊥ DE , 故 ∠A1 HG 是二面角 A1 ? DE ? B 的平面角。

EF = CF 2 + CE 2 = 3 ,
CG = CE × CF 2 3 2 2 = , EG = CE ? CG = . EF 3 3

EG 1 1 EF × FD 2 = , GH = × = . EF 3 3 DE 15

又 A1C =

AA12 + AC 2 = 2 6 , A1G = A1C ? CG =

5 6 . 3

A1G =5 5. HG 所以二面角 A1 ? DE ? B 的大小为 arctan 5 5 . tan ∠A1 HG =
解法二: 以 D 为坐标原点,射线 DA 为 x 轴的正半轴, 建立如图所示直角坐标系 D ? xyz . z D1 A1 B1 C1

uuur uuu r DE = (0,1) DB = (2, 0) , 2,, 2, uuur uuuu r A1C = (?2, ? 4), 1 = (2, 4) . 2, DA 0, uuur uuu r uuur uuur (Ⅰ)因为 A1C DB = 0 , A1C DE = 0 ,
故 A1C ⊥ BD , A1C ⊥ DE . 又 DB I DE = D , 所以 A1C ⊥ 平面 DBE .

依题设, B (2, 0) C (0, 0) E (0,1) A1 (2, 4) . 2,, 2,, 2,, 0,

E D A x B C y

uuur uuuu r n ⊥ DE , n ⊥ DA1 . 故 2 y + z = 0 , 2x + 4z = 0 . 令 y = 1 ,则 z = ?2 , x = 4 , n = (4, ? 2) . 1, uuur n,1C 等于二面角 A1 ? DE ? B 的平面角, A
cos n, A1C =
n ? A1C n A1C

(Ⅱ)设向量 n = ( x,y,z ) 是平面 DA1 E 的法向量,则

=

14 . 42 14 . 42

所以二面角 A1 ? DE ? B 的大小为 arccos

1 ? ? y=2x ? x = ?4 ? x = 8 ? 21. (1) 解方程组 ? 得? 或? 即 A(-4,-2),B(8,4), 从而 AB 的中 ? y = 1 x 2 ? 4 ? y = ?2 ? y = 4 ? 8 ? 1 点为 M(2,1). 由 k AB = ,直线 AB 的垂直平分线方程 y-1=-2 (x-2).令 y=-5, 得 x=5, 所 2
以 Q(5,-5) (2) 直 线 OQ 的 方 程 为 x+y=0, 设 P(x,

1 2 x - 4). 因 为 点 P 到 直 线 OQ 的 距 离 8

1 x + x2 ? 4 1 8 d= = x 2 + 8 x ? 32 , 2 8 2

OQ = 5 2 ,所以 SΔOPQ=
2

1 5 2 OQ d = x + 8 x ? 32 。 2 16

因为 P 为抛物线上位于线段 AB 下方的点, 且 P 不在直线 OQ 上, 所以-4≤x<4 3 -4 或 4 3 -4<x≤8. 因为函数 y=x +8x-32 在区间[-4,8] 上单调递增, 所以当 x=8 时, ΔOPQ 的面积取到最大值 30。 22. (1) A0 A2 = (2, 4) ; (2)当 x ∈ (1, 4] 时, g ( x ) = lg( x ? 1) ? 4 。

uuuuu r


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